数学公式教学之“三忌、三重”，本文主要内容关键词为：数学公式论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学公式是数学知识的精髓，是数学领域中闪光的明珠。对数学公式的正确理解、准确记忆、灵活运用是学习数学的关键之一。数学公式模糊是指学生对已学公式的来源、推导过程理解不透彻，结构形式记忆模糊不清，公式运用不自如等。
对于中学生而言，随着学习内容的日益增多，学过的有些数学公式在一段时间后会记忆模糊。因此，在数学教学的各个阶段，教师要有目的、有计划地帮助学生最有效地理解和记忆数学公式，创造多层次运用所学公式的机会。多年来，笔者把帮助学生多层次理解记忆数学公式作为数学教学的一个重要环节，特别是在数学课堂上，根据学生即时反馈的对公式模糊的信息，及时分析并找出学生对公式的模糊点和模糊的原因，有计划地进行处理，注意数学公式教学的“三忌”和“三重”，收到了良好的效果。下面以三角函数公式的教学为例，谈谈加强学生对数学公式的理解、掌握及提高公式的运用能力的“三忌、三重”。
一、忌直授公式，重推导过程
已学过的数学公式不能在大脑中持久地记忆，经过一段时间不接触就会逐渐模糊以致遗忘，这是正常现象。但识记的规律表明，意义识记比机械识记效果要好，能引起学生兴趣的材料比枯燥的材料识记效果要好。因此，对一些数学公式，教师应创设引人入胜的问题情境，与学生一道在公式的实际背景中寻找公式的来龙去脉，注重公式的推导过程，而不能把学生当做神者，直接将公式授给学生，或按部就班地讲解书上的推导过程。这样会使本来可以通过公式的探索、推导获得一种或几种新的解题思想，进而激发学习兴趣的教学过程，变成了疏远甚至伤害师生感情的过程，使所学的数学公式成了无源无味的缥渺神秘之物，以致学生当天套用后就毫无保留地还给教师。
如教两角和与差的正弦、余弦、正切公式一节，教师应充分认识到两角和的余弦公式：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ的起源或种子性作用。笔者按以下几个环节进行教学，教学效果很好。
1.特例引路
问题1.我们知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，也可用计数器得到任意角的三角函数值的近似值，那么，cos75°的精确值是多少？
问题2.cos75°的精确值与cos30°、cos45°、sin30°、sin45°的值有什么关系吗？让学生共同探索。
如果将角的顶点作为直角坐标系xOy的原点，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，30°、45°、75°角的终边与单位圆O的交点分别为
，单位圆O与x轴正半轴的交点为
，如图1．这时，、的坐标分别为
。利用两点之间的距离公式易得
的值。
图1
比较这些值，发现
与要求的值相近，而其他四条线段的和或差等与
很难建立等量关系。进一步思考如下问题。
问题3.如何构造一条线段与相等且与30°、45°的三角函数值有关呢？
由关于x轴对称的图形，考虑作-30°或-45°角的终边。如作-45°角的终边交单位圆O于点
。
又
。用计数器易验证以上结论正确。
2.推导一般
若将75°变为任意两正角α、β的和，或将75°一般化为任意正角，等式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ还成立吗？
当α＞0、β＞0时，你们能仿照以上计算过程推导公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ吗？留下足够的时间让学生先自己推导这个公式，再阅读教材上的推导过程。这样有利于提高学生由特殊到一般、具体到抽象的分析问题和解决问题的能力，加深学生对此公式的推导过程的理解。
3.负角拓展
当α∈R，β＞0时，学生易得出cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。(*)
那么当α∈R，β＜0时，公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ还成立吗？
图2
图3
4.归纳运用
由此可知对于任意的角α、β，公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ成立，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ也成立。再归纳这两个公式的结构特点。
进一步，由此及诱导公式得出两角和与差的正弦，进而得出两角和与差的正切。
以上的推导过程有利于学生透彻理解公式，深化对分类讨论思想、数形结合思想、转化思想的理解，提高探索问题的能力。
二、忌轻易查找，重再次推导
学生本来已理解、掌握的一些数学公式，一段时间后却变得模糊了。主要有以下几种情况。
1.结构相似的公式相互干扰，模糊了公式的结构特征。如倍角公式①sin2α=2sinαcosα，
？当发现部分学生对此公式模糊时，教师不能轻易让学生查找公式或教师直接写出公式，而应注重引导学生回忆公式的来龙去脉，让知道的学生说说此公式的推导过程，以加深学生对此公式的理解记忆。
2.由于公式多时不用，公式推导的背景来源在思维中模糊了，因此公式与实际数学问题联系不上，对于具体的数学问题难以运用相关的数学公式来解决。对此，切忌直接告诉学生用哪个公式或直接写出所需数学公式，而应注重引导学生分析问题的特点，联想所学的数学知识，让学生自己逐步引出所需公式以解决问题，重现公式的推导过程。
3.模糊了数学公式成立的某些限制条件，以致错误套用公式解题。若发现学生出现这类问题，教师切忌轻易地告诉学生某数学公式成立的某些限制条件，而应注重引导学生回忆此公式为什么有此限制条件，再从公式的推导过程中弄清楚忽略此限制条件会致错的原因。这样做虽然多用了几分钟，但绝不是浪费，而是帮助学生再次理解公式、熟记公式，提高数学思维能力。经过几次不同时间的回忆公式的推导过程，学生对公式自然会记忆清晰、理解深刻、运用自如。
三、忌孤立训练，重联系记忆
在一类数学公式学习了一段时间后或在章节复习阶段，应忌孤立训练，重联系记忆。为了复习而采取做一题记一个公式、做另一题记另一个公式，做后忘前，这既不利于数学知识结构的优化，也不利于数学解题能力、数学素养的提高。如诱导公式，各公式之间联系紧密、结构类似，学生自以为都记得，当获得相关信息的提示时往往能运用它们正确解题，但当其单独运用时，则容易发生记忆错误。对这些公式应注重引导学生从任意角的三角函数的定义想起，注意与相关的诱导公式相联系，做到灵活运用与准确记忆相关公式两到位，进行联系记忆。
如复习时可选用以下例题。
当学生用几种方法正确完成此题后，教师不妨再引导学生集中精力对本题所应用的三角公式进行适当的总结。本题运用了如下几类三角公式：①诱导公式，②同角三角函数的基本关系式，③倍角公式，④和差角公式，⑤和差化积公式，⑥半角公式。它把所学的各种三角公式（包括例题结论）几乎都用上了。
为了让学生有效记忆相关公式，教师不妨顺势追问：前四类公式中还有哪些公式没有用到呢？引导学生一一讲出，教师再将这些三角公式显示出来。这样虽然多花了些时间，但让学生在运用联系中回忆公式，顺应学生的学习心理，使学生在不知不觉中记住了大部分三角公式。
总之，数学公式的教学过程既是探索、推导数学公式的过程，也是有效处理学生数学公式模糊问题的过程；既是分析解决数学问题、学习解题方法的过程，又是培养多方面能力、优化思维品质的过程。数学公式的教学应给每个学生留下一个个美好的回忆，让他们轻松自觉地自由翱翔在神秘的数学世界里，收获成功的快乐。