基础教育阶段学生数学素养的四维一体模型，本文主要内容关键词为：素养论文,四维论文,模型论文,数学论文,基础论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2006年，义务教育数学课程标准（修改稿）提出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养.”笔者以为，“数学素养”这一概念的提出，是与我国基础教育课程改革倡导的“全面、和谐发展”的教育理念相一致的，它表明数学素养是数学教育改革的目标，也是提高数学教育质量的关键.在数学课程改革不断深化的今天，积极探寻“数学素养”的内涵底蕴，进一步明确“数学素养”的概念本质将具有十分重要的意义.事实上，我们可以看到，尽管“数学素养”已频繁地出现于数学课程与教学改革的相关文件中，但是，由于这些文件并没有非常清晰地诠释“数学素养”的内涵或者说明“数学素养”的外延，不仅已在数学教育教学研究过程中出现了滥贴数学素养“标签”的现象，而且容易在实践层面产生对数学素养培养本质的偏离.本文拟在相关概念辨析的基础上对数学素养概念进行再探究，以期能较为准确地把握数学素养培养的本质内涵.
一、对基础教育阶段学生数学素养及其概念研究的评析
到目前为止，不同的人对数学素养概念常常有着不同的诠释，甚至可谓莫衷一是.
（一）用“数学素质”来定义“数学素养”，或者或明或暗地将“数学素质”与“数学素养”等同起来
王子兴先生认为，所谓的“数学素养”就是指“数学科学方面的素质”，它是数学科学所固有的内蕴特性，是在人的先天生理基础上通过后天严格的数学学习活动获得的、融于身心中的一种比较稳定的状态，只有通过数学教育的培养才能赋予人们的一种特殊的心理品质[1].张玉林先生认为：“数学素养是指基本的数学思想方法和语言、基本的数学思维品质、基本的数学观念和意识或者说是数学文化中最基本的素质等.”[2]这两种定义本质上就是用“数学素质”来定义“数学素养”.张奠宙教授曾从知识观念、创造能力、思维品质、科学语言四个层面对数学素质进行概括，指出数学素质应包括数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流四个部分，这种表述似乎没有廓清数学素质与数学素养的区分，甚至可以认为它更多的是从数学素养角度对数学素质进行了同质化的概括[3].当然，还有许多表述，尽管它们在具体的表述上有一些差异，但就定义方法而言，相关表述中没有能很好细究“素质”与“素养”的本质区分依然是一个共同的弱点，应予以其必要的辨析.事实上，尽管“数学素养”与“数学素质”本身是相关的两个概念，甚至可以认为，“数学素养”本质上是全面实施数学素质教育的一个必然要求，是数学教育贯彻素质教育思想的学科落脚点，是针对传统数学应试教育诸多弊端的一种策略应对；但是，我们应当看到，“数学素质”与“数学素养”毕竟是两个不同的概念.从心理学角度分析，“素质”是在先天遗传的基础上，经过长期的身心积淀形成的、最终的、颇为稳定的个性特点，而“素养”则主要是后天通过短时的培养和练习就能获得的知识、技能、技巧等经验系统.“素养”是形成“素质”的重要前提或来源，但素养离素质毕竟还有一段距离，只有当素养稳定下来沉淀为人的身心结构中质的东西时，它才成为素质.从教育学角度分析，数学素养承载着数学素质教育目标的重任，体现了数学教育的核心价值和要求.党中央、国务院于20世纪80年代所提“素质教育”中的“素质”是一个广义概念，是与“应试教育”相对的概念范畴，在本质上，它是针对整个学生群体而言的，包括知识、能力、道德、文化等方面的素养以及狭义性的素质内容.狭义性的素质内容更多的是针对具体主体而言的，此时它是与知识、能力相并列而又与人的行为相关联的概念.从词性角度分析，抽象名词“数学素养”这一概念中的“养”是一个动词性的词素，据此意味着“数学素养”必须充分反映学生在数学学习过程中持续的自主发展作用，数学教育强调学生“数学素养”培养实际上是强调要让学生经由数学学习获得较好的自我发展，强调数学教育教学中要树立以人为本的理念，强调人的可持续发展.抽象名词“数学素质”这一概念中“质”是一个名词性的词素，更多地反映了数学学习的静止的终结状态，或者说，“数学素质”强调一种先天的静态结果或存在状态.综合上述分析可知，较之于“数学素质”，“数学素养”更具有“后天的教养效果”的意味，“数学素养”更注重数学活动主体在数学活动中的动态生成过程及其效果，从某种意义上，数学活动只有让学生在活动中思考、在质疑中探索、在挫折中创造，才能真正实现学生的主动发展，提升学生的数学素养.
（二）用“能力”、“数学能力”来定义“数学素养”
于凤艳等老师认为：“学校教学中学生的数学素养是学生的一种能力，是学生能够理解数学在社会所起的作用，并有很好的数学判断能力和能够有效地运用数学.这是作为一个有创新精神、关心他人和有思想的公民，从事当前及未来生活所必需的具有的数学能力.”[4]马云鹏教授认为：“数学素养是指学生可以终身受益的数学能力.作为培养学生一般素养的数学教育，除基础知识和技能外，更应当包括解决问题的能力、数学交流的能力、数学推理的能力以及了解数学和现实的联系等.”5张杰先生认为：“所谓数学素养，概括地讲就是指灵活运用数学的理论与方法，观察、分析、解决问题的能力.如何提高学生这方面的能力是当前数学教学改革中，提高教学质量的重要环节.”[6]如此类的一些定义本质上并没有认识到“数学素养”的外延要比“数学能力”的外延大，或者说这些表述实质上是窄化了“数学素养”的内涵.这是因为，数学素养既体现了数学能力的要求，又体现了数学视野和数学底蕴的要求，它要求学生能够理解数学的作用，具有较好的数学判断和运用能力.借助相关工具书，我们可以对数学能力、数学素养有着进一步的认知.关于“能力”，《现代汉语词典》中的解释为：“能胜任某项任务的主观条件”，《教育大辞典》中的解释为：“顺利完成某种活动所需的个性心理特征.”有一些心理学教科书中还将“能力”解释为“足以使人成功地完成某种活动的心理特征”.基于这种意义，我们不难理解有关数学课程与教学论著作给出的数学能力定义，比如，“数学能力是一种特殊的能力，它是与数学活动相适应，保证数学活动顺利完成所必须具备的人的心理特征.”[7]（P367）关于“素养”一词，《现代汉语词典》解释为：“平日的修养”，《辞海》解释为：“经常修习培养”.在此意义下，可以认为“数学素养”更多地是指数学活动主体通过长期的数学学习和实践感悟在数学方面所能达到的高度，这也表明数学课程标准中提出数学素养或许是想对学生功用性和非功用性数学底蕴、数学修养作进一步的强调.
（三）从数学素质或数学能力相关要素综合的角度对数学素养进行描述
吴钦萱老师认为：“数学素养，就是在人的先天生理的基础上，受后天环境、数学教育的影响，通过个体自身的实践和认识活动，所获得的数学知识、技能以及数学意识和思维品质.”[8]桂德怀、徐斌艳老师则在借鉴国家描述框架的基础上，指出“数学素养是数学情感态度价值观、数学知识、数学能力的综合体现.”[9]数学能力是进行数学活动的能力，数学素养是进行数学活动的素养，它们都是形成、发展、存在、表现于相关的数学活动，都是有效认识客观事物、影响主体可持续发展的核心因素，数学素养与数学能力有一定的相关性.从数学素质或数学能力相关要素综合的角度对数学素养进行的描述，一方面使人清晰地认识到数学素养是一个复合性的概念，在数学课程教学中很难找到一种单独的特征能够概括所谓的“数学素养”；另一方面，使人在实践层面能进一步理解课程标准中关于“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三维一体的目标，因为，从总体上说，这里“数学素养”概念所表述的内涵与“三维一体”目标所表述的内涵还是比较接近的.然而，“数学素养”究竟应由哪些“要素”或“维度”综合，这些“要素”或“维度”之间具有哪些关联性，它们如何进行相互作用、相长互生？尚需进一步甄别与探究.再者，由于我国基础教育既包括小学教育，又包括普通中学教育，小学生所应具有的数学素养应不同于中学生所应具有的数学素养，基础教育阶段学生的数学素养具有明显的层次性，因此，笼统地说学生的数学素养是某些方面的统一或者综合，显得较为简单化、抽象化，应当注意不同阶段学生数学素养的具体体现.
除了上述三类典型的表述之外，还有其他一些不同的表述.郑强立足于内化现代课程论基本原理和反映数学课程发展基本趋势，把“数学素养”界定为：在数学课程学习过程中，学习者通过数学学习，加深对数学知识的理解，内化数学文化的成果，最终在学习者身上体现的一种时代价值或自己达到的新水平，同时能够主动将数学理论应用于生产生活实践[10].笔者从数学活动、全球教育的视角对数学素养进行了分析，认为：“数学是人类的一种创造性活动，它不是定理、公式的简单汇集，而是一个多元复合体，不仅包含数学的知识成分，而且包含数学的观念成分和精神成分，应当充分认识不同的数学成分所对应数学素养的特殊内涵.”“从适应全球发展、满足社会需求、实现终身学习、提高文化水平等多种需要的角度理解数学素养是现代公民所必须具备的一种修养，理解培养学生的数学素养是数学教育的一种基本追求.”[11]这些表述，或从课程意义，或从数学教育的某一方面，对数学素养内涵进行揭示.特别地，由于数学素养的“数学方面”表明了数学素养相对于一般素养的特殊性，数学素养的“教育方面”表明了数学素养相对于一般素养的共同性，因此，如何从数学素养的“教育方面”和“数学方面”更准确地揭示数学素养的本质内涵，从复杂矛盾不同侧面规律性角度探析数学素养的深层问题仍然是值得进一步探究的问题.
二、基础教育阶段学生数学素养四维一体模型的解析
基础教育阶段学生的数学素养是一种具有层次性、整体性的素养，需要从系统的角度将数学素养作为一个整体进行考虑.“基础教育数学课程的基本目标就是要提高学生的数学素养.”[12]（P18）从某种意义上讲，数学课程标准是通过隐性的方式将数学素养表述在各自的课程目标中.具体地说，在义务教育阶段，数学素养是通过知识技能、数学思考、问题解决、情感态度与价值观等维度的目标体现出来的，在普通高中阶段，数学素养是通过基础知识与基本技能、数学能力、数学意识以及数学情感态度价值观等维度的目标体现出来的.综合这两种表述笔者认为，基础教育阶段学生的数学素养是一种非常重要的学科素养，它既是学生个体的一种数学文化修养、一种理性精神气质，也是其作为未来公民的一种必备的基本素质，是其国民素养的重要组成部分，它更多是指基础教育阶段学生主体面对相关问题时应有的数学底蕴、数学能力、数学视野和数学情怀.由此可见，基础教育阶段学生数学素养是一个四维一体的模型.为了便于揭示数学素养中各要素之间的关系以及要素与整体之间的关系，现对构成数学素养不同维度的要素内涵进行进一步的解析.
（一）就数学底蕴而言，数学素养是由数学基础知识、基本技能、基本活动经验、基本思想方法构成的一个动静结合、相互作用、协调发展的有层次的综合体
数学基础知识是指一些奠基性、具有原点生长意义的数学知识，主要包括一些基本概念、基本事实、基本命题、基本公式、基本法则，从认知心理学的角度分析，它更多的是一类陈述性数学知识.数学基本技能是指建立在基本数学知识基础之上的一些程序性技能，主要包括运算技能、推理技能、图形处理技能、数据处理技能，它是顺利完成数学任务的操作活动方式或心智活动方式，是以内部心智技能为主导成分与外部操作技能综合的特殊技能.数学基础知识、基本技能简称数学“双基”，它从1953年提出之后，一直成为中国数学教育的核心.如果说中国的数学基础教育在世界上尚有较大影响的话，那么可以认为基础知识和基本技能是功不可没的，在国际数学素养评价中，我国学生非常扎实的基础知识和基本技能较好地说明了这一点.但是，数学底蕴并不能止于数学基础知识和基本技能，特别地，它不能缺少创造性的东西.为此，数学素养的培养尤其要重视“由知转智”的工作.数学基本活动经验是指在数学目标指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识，它是个体在经历了具体数学活动之后留下的、具有个体特色的内容，既可以是感觉知觉的，也可以是经过反省之后形成的经验，它包含策略性内容，模式性、方法性内容与体验性内容等成分，同时又可以区分为（行为）操作的经验、探究的经验、思考的经验与复合的经验[13].数学思想方法是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，基本数学思想方法是对基本数学事实与基本数学理论（特别指那些具有较高概括性和包容性、显示数学特色和贯穿数学前后的基本概念、原理、法则、观念和方法）的本质认识，是学生形成正确数学观的纽带性知识，是知识层面数学观向观念层面数学观转化的桥梁[14].在数学活动实践中，基本数学思想方法大致有三个层次，最低层次的数学思想方法本质上是一些可称之为“解题术”的具体数学方法.这些方法都是在某种特定的情境下才能发挥作用的，具有比较固定的操作程序.中间层次的数学思想方法是解决一类问题时可以采用的共同方法.这些方法的操作程序不是非常具体，但适用的范围比较广泛.较高层次的数学思想方法才是对基本数学事实与基本数学理论的本质认识，比如集合思想、化归思想、对应思想，应予以高度重视.
（二）就数学能力而言，数学素养是由包括运算能力、空间想象能力、思维能力、交流应用能力等多种数学能力组合而成的综合体
数学运算能力是指根据概念、公式、规则对数或式等进行一系列操作以获得确切结论的运演能力，作为数学素养的重要成分，它在掌握算法、运用运算技能以及思维监控方面都有一定的要求.掌握算法方面的要求是：能透彻理解数学概念，能运用有关概念进行运算，能熟记数学公式、运算法则的语法结构，理解、掌握公式、法则的语义内容，能运用公式、法则进行计算，能掌握各种计算方法（包括心算、笔算、估算，以及查表和使用计算器计算的方法），能分析解决问题中的算理，能将用自然语言描述的算法转换为框图或程序语言.运算技能方面的要求是：在进行各种运算时，过程要合理，方法要简捷，结果要正确，能根据问题的需要灵活自如地变换运算的方法，能简化运算过程，缩短运算环节，较快地进入“跳步”运算阶段.思维监控方面的要求是：能为解题提供正确的运算方向和目标，能明了、理解运算过程中每一步骤的合理性，能及时纠正运算过程中出现的错误，能运用有效的方法对运算结果进行检查和判断，具有灵活变换、择优选择运算方法的意识和能力.数学空间想象能力是处理空间形式，探明其关系、结构特征的一种想象能力，是一种对几何结构的表象及其对表象的加工能力.数学空间想象能力的成分包括空间观念，建构表象能力，表象操作能力，几何形象化、直观化能力.空间观念是在空间知觉的基础上形成的，它是在对周围环境直接感知基础上对图形与几何关系的一种理解和把握，是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析、不断由低到高向前发展的认识客观事物的过程.建构表象能力是指在语言或图形的刺激、指导下在头脑中形成表象或者重新建构几何表象的能力.表象操作能力是指对大脑中建立的表象进行变换、加工以便建构新的表象的能力.几何形象化、直观化能力是指将相关数学问题从几何上形象化、视觉化的能力，这种能力是数学空间想象能力中其他三种成分系统化、概括化的结果，是空间想象能力在其他领域中的迁移.数学思维能力是指人们对数学对象的本质的认识能力，它是数学能力的核心部分，较低层次的数学思维能力包含发现属性、发现关系、形成数学概念、概括等方面的能力，较高层次的数学思维能力包含直觉思维、迁移概括、运用思维块、探究创造等方面的能力，中间层次的数学思维能力则包括数学转换能力、数学推理能力、识别模式能力、发现相似性能力、通性通法化概括能力、数学变式能力等多种类型.交流应用能力是指运用数学知识对相关主题进行讨论、整理，并能用简约、精确、通用的数学语言进行学习、交流以及表达丰富的数学思想、解决现实问题的能力.交流应用能力基本层面包括：理解数学符号的能力，用数学语言精确地表达数学观点的能力，良好的符号意识，使用工具与技术进行信息处置的能力（指使用测量工具、计算器、计算机、网络技术等从各种不同信息源获取、评估和使用信息），数学建模能力，将现实问题转化为数学问题或已知数学模型的能力.
（三）就数学视野而言，数学素养指学习与运用数学的一种眼光、一种见识、一种修养
这意味着对数学的内容和本质有较为深入的认识和理解，意味着对数学与其他领域联系以及数学作用的了解和感受，意味着运用数学观点与思维方式认识和解决问题的意识与能力.当前值得强调的数学视野包括：（1）以数学为基点进行理性探究，形成从数学角度观察、分析、鉴别、比较问题（包括日常的问题或一些复杂的问题）的意识与习惯，不断拓宽认知空间范围，提高预测事物的能力；（2）能用思维模式、思想方法、数学观念、数学审美等眼光思索、体会、领悟数学与其他学科之间外在或内在的联系（包括数学内部、数学与生活、数学与人类社会、数学与自然、数学与科学等方面的联系）；（3）能从较高观念理解数学的内涵，体会数学的价值（比如，能从静态角度理解方程，能思索、领悟图形与几何领域中平移、旋转、轴对称、中心对称等观念），在问题解决过程中善于把策略创造与逻辑演绎有机结合起来；（4）能体会数学的力量与美，能理解数学知识背后的历史与文化背景，能整体了解课程中关键性数学知识的基本脉络和知识结构，能对事物的意义、可能的前景和相关的真理进行准确预测.
（四）就数学情怀而言，数学素养是指学习、理解与运用数学的一种倾向、一种兴趣、一种需要、一种心境、一种觉悟、一种信念
具有健康数学情怀的人能积极参与数学学习活动，对数学有强烈的好奇心与求知欲，能充分体验数学活动的探索性与创造性，能自觉地形成实事求是、锲而不舍的钻研精神和科学态度以及进行质疑和独立思考的习惯，能在数学活动与现实生活中锻炼自己克服困难的意志、增强自信心，能与别人分享自己在数学实践中的成功体验.从总体上看，数学情怀的核心成分是数学的情感、态度与价值观.情感不仅指学习与应用数学的热情和探究兴趣，还包括经由数学学习获得的热爱、快乐、审美情趣等丰富的内心体验；态度不仅指学习态度，还包括乐观的生活态度、求实的科学态度、宽容的人生态度等；价值观作为一个比较宽泛和抽象的概念，它强调个人价值与社会价值的统一，科学价值与人文价值的统一，以及人类价值与自然价值的统一.
三、结束语
数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.数学素养与数学素质、数学能力等概念既有关联，又有着内涵的不同.数学素养本身是一种整体性的素养，需要从系统的角度将数学素养作为一个整体进行考虑.基础教育阶段学生数学素养是一个涉及数学底蕴、数学能力、数学视野和数学情怀四维一体的模型，它们各有其丰富的素养内涵.科学地界定数学素养概念，准确地把握数学素养培养本质是有效培养学生数学素养的基本前提.特别地，这将有利于通过数学教育提高学生作为未来公民的数学素养，使学生深刻认识和理解数学，并能积极地运用数学知识技能解决问题，有利于引导广大教师设计有效的数学教学，并有意识地增强学生的数学底蕴，提高学生的数学能力，拓展学生的数学视野和培养学生的数学情怀，充分发挥数学在培养人的思维能力、创新意识、科学精神和个性情感等方面的作用.