例析变式题组的层级设计——以“用轴对称求最短距离”的题组练习为例，本文主要内容关键词为：轴对称论文,层级论文,为例论文,最短论文,距离论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在中考复习课中，教师经常有意识地设计以某个知识技能训练为主线的题组(问题链)，能帮助学生举一反三，触类旁通。具体教学时，一个完整的问题组通常包括3个层级：基本问题、背景变式问题、拓展延伸型问题。下面以“用轴对称求最短距离”的题组为例，通过牧童饮马问题及2009年的中考试题来说明进行问题解决教学时的3个层级的问题设计，供读者参考。
一、基本问题
此层级训练的主要目的是基于某种吸引研究者的兴趣的问题情境，展示要研究的数学问题的基本结构、基本解决方法和解决技巧要点。选题要求是：必须包括数学问题的完整结构，影响学生实施数学化的干扰因素要尽可能少，探索基本解决方法的过程必须自然。
例1 (中国古代数学问题——牧童饮马问题)如图1，牧童在A处放牧，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，牧童从A处将马牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短?
图1
数学模型分析：其中的数学问题可简述为“已知直线CD和直线CD同侧两点A、B，在直线CD上作一点M，使AM+BM最小”。
解题技巧说明：为了在已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点，对其中一个点作轴对称变换，把同侧点转化为异侧点，利用“两点之间线段最短”求最小值。
解决方法：如图2，先作点A关于直线CD的对称点
，交CD于点M，则M为所求的点。
图2
方法的合理性证明：如图3，在CD上任取一点
。
图3
【说明】作为题组的“基石”，教学中重在通过基础题帮助学生理解问题的本质结构，明白相关的解题策略——解决线段的和最短的问题，需要寻求和其中一条线段长度相等的线段，从而将线段的和最短转化为线段最短的问题；明确解决问题的方法和程序，并理解其中相关的数学原理。
二、背景变式问题
背景变式即改变题设条件的呈现背景，通过背景迥异而实质数学问题一样的系列问题组成问题链，强化学生对数学模型的识别及应用，提高快速发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的学习兴趣。
例2 (湖北·荆门卷)一次函数Y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)。
图4
(1)求该函数的解析式；
(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时点P的坐标。
解析：(1)该函数的解析式为y=-2x+4(过程略)；
(2)C、D为定点，且在定直线OB的同侧，P为定直线OB上的动点。
图5
如图5，设点C关于点O的对称点为C'，连接DC'、PC'。
则PC=PC'。
因为PC+PD=PC'+PD≥C'D，
所以当点C'、P、D共线时，PC+PD取得最小值，最小值是C'D。
易得此时点P的坐标为(0,1)。
图6
如图6，连接CD，
在Rt△C'CD中，
【说明】此题含有的“牧童饮马问题”模型结构完整简洁，与坐标平面相结合，其呈现由纯几何方式变为数形结合方式。对掌握了坐标知识及勾股定理的学生而言，可直接练习，能起到进一步加深对问题模型的理解的作用。
例3 (福建·龙岩卷)如图7，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为＿＿。
图7
解析：A、C是定点，且在定直线MN的同侧，P为定直线上的动点。
由圆的对称性知，作点C关于MN的对称点必为D。易知AD的长即为PA+PC的最小值。可求得OE=3，OF=4，过点D作DH⊥AB于点H(如图8所示)，易求得DH=7，进而由勾股定理求得PA+PC的最小值为
。
图8
【说明】此题把圆的对称轴(即直径MN）作为定直线，动点P在直径MN上，两个定点A、C都在直径MN的同侧，且在轴对称图形(圆)上，这是此类问题设计的基本思路。我们学过的各种轴对称图形(如正方形、菱形、等腰梯形、线段、角等)都可以作为编制相关问题的背景。这些图形本身的性质往往是计算折线段的最小值(相当于“牧童饮马问题”中的AM+BM的最小值——线段
的长度)的依据。此类问题在2009年各地的中考试卷中为数不少。
例4 (湖北·孝感卷)在平面直角坐标系中，有A(3,-2)，B(4,2)两点，现另取一点C(1,n)，当n=＿＿时，AC+BC的值最小。
解析：点C(1,n)是定直线l∶x=1上的动点，而A、B是定点，且在定直线l的同侧。作点4(3,-2)关于定直线J的对称点A'(-1,-2)。过A'B的直线
与定直线l的交点即为所求的点。令x=1，可得n=-0.4。
【说明】较之于前面的问题，此题中作为“牧童饮马问题模型”要件的定直线、两定点A和B在定直线的同侧等条件显得比较隐蔽，对模型的识别主要靠问题本身。在题组中，这种变式题是不可忽视的部分。
例5 (湖北·鄂州卷)如图9，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为( )。
图9
解析：A、D是定点，且在定直线DC的同侧，P为定直线BC上的动点，此题仍然是讨论定直线上的动点到定直线同侧两定点的距离之和最小的问题。只不过设问点有变化——不是求最小值，而是要细究取得最小值时点P的位置。
如图10，作点A关于BC的对称点A'，连接A'D交BC于点
。
图10
【说明】同一数学模型，可从不同角度或切入点设问，以有效避免学生机械套用模型解题而对模型中的数学原理缺乏深入全面的理解。改变设问方式与背景变式有效结合，能提高学生解决问题的能力。此题就最佳位置设问，而下面的例6改为立足于周长设问，需要学生剔除目标式中的常量，以明确该数学模型。
例6 （四川·达州卷）在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为边BC的中点，P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为＿＿（结果不取近似值）。
图11
解析：B、Q在直线AC同侧，动点P只能在AC上运动。△PBQ中，B、Q为定点，故BQ长不变，要使△PBQ周长最小，应使动点P到两定点B、Q之和PB+PQ最小。
AC是正方形的对称轴，点Q关于对角线AC的对称点Q'一定落在边CD上（如图12所示），当B、P、Q'共线时PB+PQ=PB+PQ'取最小值，其值为
。
图12
例7 （四川·遂宁卷）如图13，二次函数的图象经过点
，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6。
图13
(1)求二次函数的解析式。
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标。
(3)略。
解析：(1)二次函数的解析式为：
(2)抛物线的对称轴是定直线，A、D为定点且在对称轴的同侧，户为定直线上的动点。因此，需要作点A或点D关于对称轴的对称点。
因为点A、B关于直线x=4对称，所以PA=PB。
所以，PA+PD=PB+PDt≥DB。
所以当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值。
即DB与对称轴的交点即为所求点P。
设直线x=4与x轴交于点M
图14
由PM∥OD，
易证△PMB∽△DOB。
所以点P的坐标为
。
【说明】从例1中直接依托单一的数学模型设问，到例2～7中把数学模型与各种轴对称图形、成轴对称的函数图象相组合，或置于坐标平面等背景，从而形成新的变式题。这些背景不影响问题的基本结构，也不影响通过轴对称变换解决问题的基本思路，它们的作用只是使得其中一个定点关于定直线的对称点落在特定的位置，方便计算这个对称点和另一个定点之间的距离。
三、拓展延伸型问题
此层级通过基本问题结构的局部灵活重组、或者结论的拓展延伸、或者与其他问题的有机组合，加深学生对相关知识的理解，同时强化策略及思想等更高层面的能力。拓展延伸型问题也可以通过设问方式的改变，丰富问题设计的立意及内涵。
第(3)小题中，由于四边形PABQ中，边AB为定值，因此，要使其周长最小，需要使可变化的折线段之和BQ+QP+PA最小。可过点A作关于x轴的对称点A'，过点B作关于y轴的对称点B'，连接A'B'，交x轴于点P，交y轴于点Q，则P、Q即为所求(如图18所示)。
图18
易求得
。所以所求四边形的周长为
。
【说明】从一条定直线上的一个动点到分布在两条定直线上的两个动点，孤立地看，变量增多(BQ、QP、AP)，问题较基本模型更复杂；但原数学模型中借助轴对称变换思想转换成两个新的定点(即点A'和点B'）之间的最短距离问题的解题策略是一致的。
当此题和例1形成一个题组呈现时，两相对比不难发现，在涉及多动点的折线最值问题时，通过多次轴对称变换常常可利用两点之间线段最短求最值，仿此可提出在平面甚至空间中的更一般的猜想。
【说明】对于第(2)小题中的问题①，解法1中严格按照“牧童饮马问题”模型的解题步骤来解答，思路清晰，如果从整体上把握“牧童饮马问题”模型，不难发现此模型的一个重要性质：当模型中的两个定点在动点所在的定直线方向平移时，使折线长度最短的动点的位置也随之平移相应的距离。解法2注意并充分利用了这一点，形成了如下的逻辑思维流程：使折线长度最短的动点的位置的平移距离→两个定点A、B的平移距离→产生A、B的函数图象整体的平移距离→图象平移在表达式上的反映(平移前后两个表达式的关系)。在此基础上发现求平移后的表达式的简洁解法。这里，对数学模型的深层性质的整体把握是产生新的思维流程并产生简解的根本保证。从设计变式题组的效果来看，如果着眼于数学能力的提升，对于此类问题应该有所涉及。
对于第(2)小题中的问题②，通过简单的动静转换，不难提炼出这样的基本问题：A'B'是定直线(此处为x轴)，CD是长度一定的线段，当CD在定直线上移动时，确定线段的位置，使得A'D+CB’最短；题中通过对其中一个变量线段CB'的平移，巧妙地创造了应用“牧童饮马问题”模型的条件，在题组中设计这样的问题，能提高学生自觉分析问题结构、开拓模型应用思路的意识和创新能力。
值得一提的是，以上的变式题组均是在“求同”——“形异质同”的设计思路指导下设计的，从深入掌握技能的角度看，最理想的变式题组，还应包括求异的题目，也就是形相近而实质不同的问题，就本模型而言，提供如下两例。
图22
图23
例10 (陕西卷)如图23，锐角△ABC中，
，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是＿＿。
解析：由于AD是∠BAC的平分线，作点N关于AD的对称点N'，该点必落在AC上，连接MN'(如图24所示)。
图24
由对称性质知，MB+MN=MB+MN'，直线外一点到直线上各点的连线(包括折线和曲线)中，垂线段最短，因此，当BN'⊥AC时，令BN'与AD的交点为M，则此时BM+MN最小，最小值为4。
【说明】从两定点一定直线的线段和最小问题，到一定点一定直线两动点的线段和最小问题，问题有实质改变，借助对称进行转化的思想一致，但转化后的模型要用“直线外一点到直线上各点的连线(包括折线和曲线)中，垂线段最短”获得解决。
例11 (北京卷压轴题的第(3)小题，利用前面的两个铺垫问题的解答，可写成如下问题)
已知点4(-6，0)，设G为y轴上一点，点P从点
出发，先沿y轴到达点G，再沿GA到达点A，若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达点A所用的时间最短。
问题结构中，条件部分也出现了一定直线、两定点、一动点，也是探究折线长度有关的最值问题，但目标式中MG前有系数
，问题只能转化为“点到直线段的垂线段最短”或费马点问题，也属形相似而质相异。