课堂教学中如何有效建立新概念——“实数”课例研究，本文主要内容关键词为：实数论文,新概念论文,课堂教学中论文,课例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学课程标准对数学教学活动中概念的建立提出了要求：“抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式.”因此，概念的建立不是单纯的记忆和模仿，而是在教师的引导下学生主动地从事观察、实验、猜想、验证、交流等数学活动的结果.但笔者在教学中发现，课堂引入和探究的方式虽丰富多样，课堂气氛活跃，但课后学生对概念的认识却很模糊，基本知识和基本技能掌握得也不够扎实.本文通过课例研究，诊断数学教学中，影响建立新概念的因素以及探索提高建立新概念有效性的方法.
教学内容：
浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册“3.2实数”.
教学目标：
经历无理数的产生过程，了解无理数、实数的概念；
了解实数的分类，知道实数与数轴上的点一一对应；
理解相反数、绝对值、数的大小比较法则同样适用于实数.
一、第一次教学实践
1.教学过程
教师在课前为学生准备了2×2的方格纸，几组练习题，要求学生准备好计算器、圆规、铅笔、尺.采用了“引入—探究—建立概念”的教学流程.
步骤1：出示方格纸，设每一方格的边长为1个单位.
师：图1中有几种面积不同的正方形？面积和边长分别为多少？
：2种，面积分别为
；边长分别为1，2.
师：你能在方格内利用格点作出正方形吗？如果能，作出的正方形面积、边长分别为多少？
（学生在方格纸上作出如图2的正方形，但在回答面积为2的正方形边长是多少时，出现了冷场，陷入困惑.）
师：比较以上正方形面积的大小，由面积大小能确定其边长的大小吗？为什么？
：能比较边长大小，因为正方形的面积等于边长的平方，面积越大，边长就越大，所以1＜
＜2.
（教师板书：
）
步骤2：利用计算器来探索的十分位、百分位、千分位等数位上的值.
师：现在请大家合作探索，完成下列问题：
（1）由1＜＜2，确定=1.…，能否利用上述方法来确定十分位上的数呢？计算
.
（2）根据①可得：=1.4…，能否再精确到百分位呢？应该计算哪些数的平方？
（3）能否再精确到千分位、万分位呢？
（4）以上得到的1.4，1.41等仅是的近似值，究竟是多少呢？
（最后教师通过多媒体显示：=1.414 213562…）
步骤3：通过比较，总结的特征，建立无理数、实数的概念.
师：有何特征？它是整数吗？是分数吗？是有理数吗？为什么？
（当教师问到是否是分数时，学生都认为是，因为小学阶段认为分数与小数可以互化，教师没有考虑到这一点，所以只能再举例说明分数只能化成有限小数或无限循环小数.）
教师板书：
师：你能举出一些无理数吗？
（学生举出一些无理数，师生一起将无理数分类，巩固练习.）
步骤4：数形结合，构建平台深化概念，更有效地建立概念.
多媒体出示：
把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号连接）.
-1.4，3.3，1.5，，-，π.
师：哪些数你会用数轴上的点表示？哪些不会？
：-1.4，3.3，1.5会表示，，-，π不会表示.
师：无理数能否用数轴上的点表示呢？
（有些学生说能，有些说不能，开始争论.）
教师实物投影步骤1中的2×2方格纸，说明面积为2的正方形的边长为，只要取数轴的单位长度为方格纸中斜向的正方形的边长，就可以在数轴上表示或-.
（教师演示，要求学生在数轴上表示，说明π可以表示在数轴上，可取近似值.）
2.自我评价
（1）学生在完成步骤1“你能在方格内利用格点作出正方形吗”这一操作时无从下手，或作出图形与教师需要的图形不一致.同样，学生面对问题“面积为2的正方形的边长是多少”时，由于之前接触的都是完全平方数开平方，当遇到开不尽的情况时，学生不知道怎样表示正方形的边长，出现了冷场.
（2）步骤2利用计算器探索的十分位、百分位、千分位等数位上的值，教师怕学生不会估算，和学生一起探索到万分位，花费了大量时间，效果也不是很好.
（3）由于小学学过分数和小数可以互化，学生在回答步骤3中“=1.414 213 562是分数吗”这一问题时，认为是分数.教师又用了很多时间举例讲解分数只能化成有限小数和无限循环小数.这堂课讨论完无理数在数轴上的表示后就下课了，没有完成教学任务.
3.课后教研组讨论
教研组长组织教师进行了讨论，主要形成以下观点：
（1）这节课从数学本身的内在需要引入概念，但对学生当时的知识结构、智力水平和学习态度没有认真考虑，造成引入过程中新旧知识无法顺利衔接（如的引出），学生由主动变被动，更谈不上产生兴趣了.
（2）数学教学是思维过程的教学，学生的参与最主要的是思维过程的参与，所以概念的形成应该充分展示思维过程.这节课学生在概念的学习中存在着很多思维障碍（如在数轴上表示和-等），这就要求教师降低思维起点，减小思维跨度，创设思维情境，为学生的主动参与，进行知识的“再创造”打下基础.
（3）有效的数学学习必须围绕数学本质进行，不能喧宾夺主，只图表面热闹.例如，步骤2的目的是让学生经历无理数的产生过程，使学生更深刻地理解无理数的概念.把大部分时间放在利用计算器进行探索上，显然有些“过”了.
4.根据以上观点，笔者进行改进
（1）舍去无谓的操作.如步骤1第（2）问，教师直接在2×2方格纸上画出边长为的正方形，让学生确定其面积和边长，这样学生可以将更多的时间和精力放在对无理数的探究上.
（2）注重新旧知识之间的联系.如要求学生回答“面积为2的正方形的边长是多少”这一问题前，教师先引导学生回顾平方根的概念和表示，使学生更容易想到2的平方根为±.
（3）帮助学生顺利解决几何作图这一教学难点.
（4）提高计算器探索过程的有效性.如用计算器探索的十分位、百分位、千分位等数位上的值，只让学生探索到百分位，了解其探索方法即可.
二、第二次教学实践
1.教学过程
第二次教学实践，笔者重点针对“导入—探究—建立概念”教学环节的不流畅及花费时间过长做了重点调整.
步骤1：出示方格纸：设每一方格的边长为1个单位（如图3）.
师：图3中有几种面积不同的正方形？面积和边长分别为多少？
：两种，面积分别为;边长分别为1，2.
师：将四边中点连接，所成正方形的面积是多少？
：面积为2.
师：我们知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，可以记作什么？
：±
.
师：如果一个数的平方等于2，这个数就叫做2的平方根，记作什么？
：±.
师：面积为2的正方形的边长是正还是负呢？
：+.
师：比较以上正方形面积的大小，由面积大小能确定其边长的大小吗？为什么？
：能！因为正方形的面积等于边长的平方，面积越大，边长就越大，所以1＜＜2.
（在步骤1中，教师将学生的回答整理成板书：.）
步骤2：利用计算器来探索的十分位、百分位上的值.
师：由1＜＜2，确定=1.…，能否确定十分位上的数呢？
（有些学生说能，有些说不能，有些则沉默.）
师：那我们就猜一个吧！假如是3，那比1.3要大，比1.4要小，即1.3＜＜1.4，你认为对吗？为什么？
（学生纷纷利用计算器探索，很快得到结论.）
：1.3＜＜1.4是错的，因为
.
师：很好！根据以上探索，我们知道=1.4…，能不能再精确到百分位呢？
：百分位数字为1，因为
，所以1.41＜＜1.42.
师：探索得到的1.4，1.41等仅是的近似值，究竟是多少呢？
（有些学生继续探索，有些开始讨论，最后教师多媒体显示：=1.414 213 562…）
步骤3：通过比较，总结的特征，建立无理数、实数的概念.
师：观察=1.414213562 …，它有何特征？
：它是无限不循环小数.
师：它是整数吗？是分数吗？是有理数吗？为什么？
：它不是整数，是分数，因为分数与小数可以互化，所以也是有理数.
师：好！同意的举手.
（大部分学生都举起了手，还有一些学生认为不是，但又不能说明理由.）
师：其实分数只能化为有限小数和无限循环小数，所以不是分数.
：那它就不是有理数了.
师：说得很好！我们把像这样的无限不循环小数叫做无理数.无理数广泛存在，你能举出一些无理数吗？
（学生纷纷举手回答，教师引导学生依据无理数的特征进行辨析，并总结无理数的三种形式.）
步骤4：数形结合，构建平台深化概念，实现对概念的有效建立.
多媒体出示：
把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号连接）.
-1.4，3.3，1.5，，-，π.
：怎样在数轴上表示和-？
（1）借助辅助图形.
（实物投影步骤1中的2×2方格纸.）
师：如果我在图2上画一条数轴，以小正方形的边长为一个单位长，那么中间这一正方形的边长为个单位长，能否将个单位长表示在数轴上呢？
（学生恍然大悟，都认为可以表示在数轴上.有一些学生认为可以用尺测量线段的长度.）
师：用尺测量可以，但总有误差，还有其他方法吗？
：用圆规.
师：很好，我们以原点为圆心，为半径画圆，与数轴相交于两点（如图4），这两点表示多少呢？
（在教师的演示过程中，学生纷纷举手.）
：分别表示和-.
（2）通过观察深化理解.
师：在这一过程中，你认为哪些图形是多余的？
：我认为2×2的方格中，只要在其中一个方格中画一条对角线就可以得到，其余三条对角线可去掉.
：我发现只要画出1×1的方格，对角线就是个单位长，所以图4其他部分都可以去掉.
（通过比较和提出的画法，最终大家认为的画法更简单，如图5.）
2.教研组评价
（1）第一次教学实践的“导入—探究—建立概念”的教学时间过长，第二次教学实践对这一环节做了调整，整个教学过程自然顺畅（见表1和下页表2，其中表1为时间统计表，表2为建立概念过程中学生回答问题情况统计表）.
（2）无理数在数轴上的表示涉及几何作图，是教学的难点.为降低思维起点，减小思维跨度，教师引导学生在探究中发现和-在数轴上的表示方法，然后再由学生自己动手操作，整个过程衔接自然，实现了知识的“再创造”.
三、第三次教学实践
上述两次教学实践重点研究了在概念建立过程中学生遇到的思维障碍、成因及改进方法，经过第三次教学实践，笔者从宏观的角度阐述了有效建立概念所需环节及其内在层次性和逻辑性，并尝试总结出具有普遍意义的有效策略.
1.概念的引入
出示图片（如图6），设每一小方格的边长为1个单位.
问题1：图中有几种面积不同的正方形？面积和边长分别为多少？
问题2：连接大正方形四边中点，所成正方形的面积为多少？
问题3：我们知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，可以记作什么？
如果一个数的平方等于2，这个数就叫做2的平方根，记作什么？面积为2的正方形的边长是+还是-呢？为什么？
问题4：比较以上各正方形面积的大小，由面积大小能确定其边长的大小吗？为什么？
【说明】首先，让学生在实际情境中体会到生活中存在着开不尽方的数.学生好奇这些数到底属于哪类数，从而激发探究的欲望；其次，通过比较直观的图形面积大小（如图6），为下一环节用面积法探究做好铺垫；再次，通过数形结合的方式表示，为无理数在数轴上的表示搭建了脚手架，从而让更多的学生积极参与到学习活动中来.
2.概念的探究
利用计算器探索的十分位、百分位上的值.
问题5：由1＜＜2，确定=1.…，能否确定十分位上的数呢？
问题6：我们不妨猜一个数！假如说是3，则比1.3大，比1.4要小，即1.3＜＜1.4，你认为对吗？为什么？
问题7：根据以上方法得=1.4…，能不能再精确到百分位呢？
问题8：以上得到的1.4，1.41等仅是的近似值，究竟是多少呢？
【说明】探究环节让学生尝试采用面积法，并设计了4个问题，目的是让学生经历观察、猜想、验证、交流的过程，从而激起学生的困惑：“究竟是多少呢？”整个过程以板书的形式出现，最后教师再呈现答案，为概念的形成做好铺垫.
3.概念的形成
问题9：观察=1.414 213 562…，它有何特征？
问题10：它是整数吗？是分数吗？是有理数吗？为什么？
（学生回答后，教师总结：其实分数只能化为有限小数和无限循环小数，所以不是分数.）
问题11：我们把像这样的无限不循环小数叫做无理数.无理数广泛存在，你能举出一些无理数吗？
【说明】概念形成是深入理解其内涵与外延的过程，也是将新知融入到已有知识体系的过程.在探究环节基础上，教师设计的问题层层深入，并将结果整理成板书，学生在其中形成了自己对知识的理解并获得了学习策略.
4.概念的深化
怎样在数轴上表示和-？
问题12：如果在图上画一条数轴，以小正方形的边长为一个单位长（如图4），那么中间这一正方形的边长为个单位长，能否将个单位长表示在数轴上呢？
问题13：用尺测量可以，但总有误差，还有其他方法吗？
问题14：很好，我们以原点为圆心，为半径画圆，与数轴相交于两点，这两点表示多少呢？
问题15：在这一过程中，你认为哪些图形是多余的？
【说明】通过探索无理数在数轴上的表示，从而推理得实数与数轴上的点一一对应的过程是概念的深化环节.教师借助辅助图形，为学生搭建脚手架，再通过观察，引导学生撤去不需要的脚手架，使学生积极思维并获得解决问题的有效策略，整个思维流程如图7所示.
四、对建立新概念的有效性的几点思考
1.注重概念引入的有效性
在概念引入过程中，首先，要分析不同类型的数学概念的逻辑结构、概念的背景和发展情况；其次，要分析学生当时的知识结构、智力水平，充分考虑学生在建立概念过程中可能出现的困难，确定知识的生长点，从而选择合适的情境，灵活运用不同的方法有效引入概念.
2.注重概念建立过程中思维的有效性
数学概念是数学思维的载体，数学概念的形成过程是学生通过思维活动“再创造”的过程.但是由于学生的思维水平参差不齐，在概念建立的过程中，无论采用动手实践、自主探究还是合作学习等学习方式，都会遇到很多思维障碍，导致课堂效率低下，或者成为少数学生的表演课.这就需要教师运用教学智慧创设思维情境，降低思维起点，让更多的学生参与到思维过程中来，再通过设计梯度问题减小思维跨度，由浅入深，引领学生逐渐接近概念的本质.
3.注重教学手段的有效性
传统教学手段与现代教学手段各有优点和不足，所以应当使传统教学手段的精华与现代教学手段有机结合，既要守住“传统”，又要用好“现代”.例如，在这堂课中，笔者除了充分运用课件、实物投影外，还注重了板书的处理：在整个概念建立过程中，将学生整个思维活动的轨迹记录下来，并使之条理化、系统化.因此，板书的过程，就是学生对知识“再创造”的过程.它和多媒体结合使用，对促进学生基本知识、基本技能的形成起到了“1+1＞2”的效果.
综上所述，为有效地建立新概念，必须尊重学生的概念形成过程，尊重学生的思维过程，合理运用教学方式和手段，让学生快速、高效地建构新知，提升能力.