摘要：开放性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型，既是中考的热点题型，也是中考命题中具有挑战性试题。它有条件开放的、有结论开放的、有条件与结论同时开放的、也有策略开放的。策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题路径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。
关键词：策略开放 标新立异 发散思维
中图分类号：G628.88文献标识码：A文章编号：1671-5691（2019）02-0176-02
开放性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型，既是中考的热点题型，也是中考命题中具有挑战性试题。它有条件开放的、有结论开放的、有条件与结论同时开放的、也有策略开放的。策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题路径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。以下是以一例题来说说如何解策略开放性问题的。
例：小明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y＝ax2(a＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA＝OB＝2 （如图1），求a的值；
图1
（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF＝1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
图2
（3）对该抛物线，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。
分析：（1）直接由抛物线的对称性，结合等腰直角三角形即可求得点B的坐标，进而求解。（2）可过点A作AE⊥x轴于点E，利用相似三角形，或锐角三角函数，或勾股定理求解。（3）设出直线的解析式，并和二次函数联立方程，利用相似三角形求得.或利用面积求解。
解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
因为OA＝OB＝2 ，所以∠AOB＝90°，所以AC＝OC＝BC＝2，所以B(2，－2)。
将B(2，－2)代入抛物线y＝ax2(a＜0)，解得a＝－ 。
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（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，因为点B的横坐标为1，所以B(1，－ )，所以BF＝ 。
又因为∠AOB＝90°，易知∠AOE＝∠OBF，而∠AEO＝∠OFB＝90°，
所以△AEO∽△OFB，所以 ＝ ＝ ＝2，所以AE＝2OE，
设点A(－m，－ m2)（m＞0），则OE＝m，AE＝ m2，所以 m2＝2m，因为m≠0，所以m＝4，即点A的横坐标为－4。
解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，因为点B的横坐标为1，所以B(1，－ )，
所以tan∠OBF＝ ＝ ＝2，
因为∠AOB＝90°，易知∠AOE＝∠OBF，所以 ＝tan∠AOE＝tan∠OBF＝2，所以AE＝2OE，
设点A(－m，－ m2)（m＞0），则OE＝m，AE＝ m2，所以 m2＝2m，因为m≠0，
所以m＝4，即点A的横坐标为－4。
解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，因为点B的横坐标为1，所以B(1，－ )，
设点A(－m，－ m2)（m＞0），则OB2＝12+ ＝ ，OA2＝m2+ m4，AB2＝(1+m)2+(－ + m2)2，
因为∠AOB＝90°，所以AB2＝OA2+OB2，所以(1+m)2+(－ + m2)2＝m2+ m4+ ，因为m≠0，
解得m＝4，即点A的横坐标为－4。
（3）解法一：设点A(－m，－ m2)（m＞0），B(n，－ n2)（n＞0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则 第1个方程×n+第2个方程×m，得(m+n)b＝－ (m2n+mn2)＝－ mn(m+n)，所以b＝－ mn，
又易知△AEO∽△OFB，所以 ＝ ，所以 ＝ ，所以mn＝4，
所以b＝－ ×4＝－2，由此可知不论k为何值，直线AB恒过点B(0，－2)。
解法二：设点A(－m，－ m2)（m＞0），B(n，－ n2)（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB＝S梯形ABFE－S△AOE－S△BOF＝S△AOC+S△BOC，得 × ( n2+ m2)(m+n)－ m× m2－ n× n2＝ OC×m+ OC×n，化简，得OC＝ mn，又易知△AEO∽△OFB，所以 ＝ ，所以 ＝ ，所以mn＝4，所以OC＝2为固定值。故直线AB恒过其与y轴的交点C(0，－2)。
解法三：设点A(－m，－ m2)（m＞0），B(n，－ n2)（n＞0），
则有OA2＝m2+ m4，OB2＝n2+ n4，AB2＝(m+n)2+(－ m2+ n2)2，
因为∠AOB＝90°，所以OA2+OB2＝AB2，所以(m2+ m4)+(n2+ n4)＝(m+n)2+(－ m2+ n2)2，化简得mn＝4，所以OC＝2为固定值。故直线AB恒过其与y轴的交点C(0，－2)。
点评：本题将一只三角板有机地放入平面直角坐标系中，并与抛物线结合，同时构建动态问题，应该说是一道十分不错的好题，求解时除了要能灵活运用所学知识外，还必须充分运用数学思想方法。此题难度较大。
总之，开放探索性问题，特别是策略开放性的探索问题，这种题型可以激发学生的学习兴趣，培养他们的想象能力、思维发散能力、综合分析概括能力等水平思维能力，以及探索创新能力都十分有利。
论文作者:施玲玲
论文发表刊物:《教学与研究》2019年2期
论文发表时间:2018/12/26
标签：横坐标论文; 抛物线论文; 解法论文; 直角论文; 性问题论文; 策略论文; 题型论文; 《教学与研究》2019年2期论文;