离散型随机变量解题要点例析，本文主要内容关键词为：变量论文,要点论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
离散型随机变量的分布列、期望、方差与随机变量的取值以及每个值的概率密切相关，而突破这些关键环节的重要手段是灵活运用排列、组合知识计算概率.为了开拓同学们的视野，特选解分析几例.
例1 将有编号为1、2、3、4的贺卡随意地送给编号为1、2、3、4的四位老师，要求每位老师都得到一张贺卡.记与贺卡编号相同的老师的个数为ε.
（1）求随机变量ε的概率分布；（2）求ε的数学期望.
分析：与贺卡编号相同的老师的个数ε所有可能取值为0，1，2，3，4.
“ε=0”对应事件为“贺卡编号与老师的编号全不相同”；“ε=1”对应事件为“仅有一位老师的编号与贺卡编号相同”；“ε=2”对应事件为“有两位老师的编号与贺卡编号相同”；“ε=3”的情况与“ε=4”是同一个问题，故P（ε=3）=0（即没有“仅有三位老师的编号与贺卡编号相同”）；“ε=4”对应事件为“有四位老师的编号与贺卡编号全相同”.而要求其概率，则要利用等可能性事件的概率公式和排列组合知识来求解，从而获得ε的分布列与Eε.
解：（1）随机变量ε的取值为0，1，2，4.
当1号贺卡送给2号老师时，则2号贺卡有3种送法，当2号贺卡送完以后，3、4号贺卡的送法是惟一的（为了使编号不同）.由于1号贺卡的送法有3种，所以，满足贺卡编号与老师的编号全不相同的送法有3·3=9（种）.当注意到4张贺卡随意地送给4位老师，包含的基本
∴随机变量ε的分布列为：
评注：确定离散型随机变量ε的分布列的关键是要搞清ε取每一个值所对应的随机事件，进一步利用排列组合知识求出ε取每个值的概率.
例2 一袋中装有1个白球和4个黑球，每次从袋中任取一个球，直到取到白球为止.若：（1）每次取出黑球不再放回去，（2）每次取出黑球仍放回去，分别求取球次数的概率分布.
解：由题意得，取球次数ε是一随机变量.
（1）若每次取出黑球不再放回去，则ε的可能取值为1，2，3，4，5.
“ε=1”表示“从中取1个球，取到白球”，则
“ε=2”表示“从中取2个球，第一次取到黑球，第二次取到白球”，则
（分子的含义可理解为取到白球前各种取黑球的可能）
∴若每次取出黑球不再放回去，取球次数ε的分布列为：
（2）由题意，若每次取出黑球仍放回去，则随机变量ε的取值可为一切正整数：1，2，3，…，k，…
“ε=k”表示“每次从中取1个球，前k-1次取到的是黑球，且每次都放回去，第k次取到的是白球”，则由独立重复试验公式可得
故若每次取出黑球再放回去，取球次数ε的分布列为：
例3 一批零件有5个合格品及2个次品.安装机器时，从这批零件中任意取出1个，如果每次取出的次品不再放回去，已知取得合格品之前取出的次品数为ε，求：
（1）ε的概率分布；（2）Eε.
解：（1）由于取得合格品之前取出的次品数为ε，则ε是一随机变量，且其取值为0，1，2.
“ε=0”表示“从7个零件中取出1个，取到合格品”，其概率
“ε=1”表示“从7个零件中取出2个，第一次取到次品，第二次取到合格品”，其概率P（ε
同理，
∴随机变量ε的分布列为：
评注：利用排列数求随机事件的概率，从而获得随机变量的概率分布.
例4 有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ε，求Eε和Dε.
解：这3张卡片上的数字和ε这一随机变量的可能取值为：6，9，12.
“ε=6”表示取出的3张上都标有2，则P（ε
∴随机变量ε的分布列为：
评注：准确地写出离散随机变量的分布列是进一步计算期望与方差的关键，熟练、准确应用公式也是一个重要环节.
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