突出“变化与不变”的本质规律--以椭圆内四边形教学为例_数学论文

在“变与不变”中凸现本质呈现规律——以椭圆内接四边形的复习教学为例，本文主要内容关键词为：为例论文,椭圆论文,本质论文,规律论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      在本校“自主、合作、对的智慧课堂”对外公开活动中，笔者为高三教学研讨上了一堂展示课，主题是“椭圆内接四边形的复习教学”，旨在通过分析比较系列问题条件和结论的变与不变，帮助学生学会根据对角线互相垂直的椭圆内接四边形的共性，找到解决问题的途径，增强学生的应变能力和温故知新的能力，提升运用解析几何思想和方法解决问题的信心.

      一、基本情况

      授教班级为四星级学校强化班，学生具有良好的学习习惯和解题能力.

      教学目标 （1）理解对角线互相垂直的椭圆内接四边形的共性；（2）在掌握数学知识的过程中学会思考，在问题探究中巩固椭圆的概念和性质，在温故知新的过程中增强获取新知识解决新问题的能力，发展智慧.

      教学重点 椭圆的概念、性质和解题方法.

      教学难点 选择合适的解题切入口.

      本节课采用五步教学法：（1）搜集整理、推陈出新、“问题成串”；（2）布置学案、课前预习、独立思考；（3）了解学情、获取信息、设计教学；（4）课堂交流、思维展示、互学共赏；（5）思维延伸、复习巩固、整理提高.上述过程主要体现“变与不变”的过程，同样适用于高三复习课.

      二、教学过程

      1.情境引入

      课前导语 “盖将自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也.”同学们一定熟悉这句话吧！是谁的名篇啊？同学们都知道是苏轼的《赤壁赋》中的名句.很好！我们把后面的几句一起背诵：“惟江上之清风，与山间之明月，耳得之而为声，目遇之而成色.取之无禁，用之不竭.是造物者之无尽藏也，而吾与子之所共适.”今天，就让我们一起徜徉在数学的天地间，目取它的月色，耳得它的风声，领悟变与不变的真谛吧！

      设计意图 用学生耳熟能详的名篇激发出学生美好的情感，唤起学生的好奇心.同时通过名篇揭示“变与不变”的主题，用数学的方式对古人名篇进行一种独特的诠释.

      2.数学建构

      ·温故知新

      师：我们就从以下这道经典的高考题说起！请大家观察分析题设和结论各有什么特征？

      

      （2）求四边形ABCD面积的最小值.

      生A：图形是椭圆内接四边形，两条对角线分别过左、右两个焦点，且互相垂直，要证明的不等式的几何意义是说交点P在椭圆内.因为椭圆的离心率是

，所以对角线的交点应该在椭圆内部.可以用放缩法证明：

      

      

      

      师：在（2）的处理过程中，你对自己在哪个地方的处理最为满意？

      生A：四边形ABCD的面积用k表示后，成功地使用基本不等式求出最值，这一步让我很有成就感！

      师：生A对这个问题的分析和解决，思路清晰、表达准确、计算到位、分类完整.特别是求出四边形的面积后，恰当地使用基本不等式轻松地化解了难点.

      师：当然，这个问题的解决方法可能是多样的，同学们是不是还有其他的处理方法呢？

      生B：我的解法略有不同.四边形的面积求出来后，可以化为二次函数求最值，不仅可以求出这个四边形面积的最小值，而且还可以求出最大值.

      

      生C（评价）：两位的展示都很精彩、很完美！

      设计意图 基于学生已有的经验基础，通过这道题给学生提供一个交流的话题，让学生有展示自己想法的机会.根据课前预习捕捉到的信息，采取由学生主讲和补充的方法来促进学生优化自己的思维.另一方面，引例中两条对角线不仅互相垂直，而且分别过左、右两个焦点.这样的问题具有多样的变化视角（垂直、过焦点），为后面的变题埋下伏笔.

      师：我们用字母表示面积，用基本不等式或函数方法、分类讨论思想解决问题.再看问题.

      ·问题呈现

      

      生D：由已知得，PF与FQ在同一直线上，MF与FN在同一直线上.也就是MN和PQ是椭圆的两条弦，且PQ⊥MN于焦点F（0，1）.

      

      

      （3）当k不存在时，同（2）.

      

      师：同学们认为生D的解法好不好？

      生E：她的解法是很好的！特别是后面的换元处理很独特，把面积表示为分式函数，用单调性轻松获解.

      

不过，我又发现在（*）式处使用基本不等式就可以了.

      设计意图 这个问题是在引例的基础上，把对角线的交点移到一个焦点上，同时把椭圆竖了起来，问题的本质没有发生变化.因此，解题的思路和办法基本相同，可以用它来检验学生是否真正领会到解决问题的思想方法，是否有信心和能力独立完成这样的问题.

      3.数学运用

      变题 过椭圆

（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）作两条互相垂直的弦AC，BD.若弦AC，BD的中点分别为M，N，试探究直线MN是否恒过某定点？

      生G：当AC垂直于x轴时，AC为通径，BD为长轴，M为F，N为O，直线MN与x轴重合，所以直线MN如果经过定点，那么定点必在x轴上.当AC，BD关于x轴对称，斜率为±1，直线MN垂直于x轴，垂足应该就是定点.

      

      

      

      （3）当AC⊥x轴时，BD与x轴重合，M为F，N为0，MN过K;当BD⊥x轴时，结论亦成立.

      综上所述，直线MN恒过定点

      设计意图 同样的条件，同样的图形，继续追问，可以把问题研究得更为透彻.有时候，换一个角度，换一种思维，也许会得到意外的惊喜！

      师（引导）：在这个问题中，四边形对角线的交点恰好在椭圆的焦点处，直线MN恒过的定点与c相关，那么交点移动到长轴上其他位置，结果会是怎样呢？

      生H：仿变题的过程可得，若交点为S（s，0）（-a＜s＜a），则直线MN恒过定点

      师：继续类比猜想：当交点为短轴上的点T（0，t）（-b＜t＜b）时，结果又会是怎样呢？

      生Ⅰ投影推理和结论：直线MN过定点

      师：再进一步，根据以上研究，你能否提出新的猜想？

      生J：若交点为椭圆内的一点Q（s，t），则直线MN恒过定点

      师：将这个结论特殊化即可得到上述两种特例.初步判断这个猜想是成立的，详细的证明请课后补充完整.

      设计意图 引导学生，学习如何合理地提出问题，并努力地解决问题.在不变的总体框架下，把对角线的交点由焦点位置在横轴上做移动变化，探究最后的结果，由特殊性向一般性前进了一步.又引导学生进行合情推理，既然对角线的交点在长轴上有很好的解题效果，很自然地联想到对角线的交点在短轴上也应该会有相应的结果.顺水推舟，容易猜想到一般的结论.这样不仅培养学生解决问题的能力，还可以培养学生提出问题的能力；引导学生正确分析，合理猜想，展现思维过程，发表独特见解；在课堂上彰显数学理性精神，激发数学猜想勇气，弘扬数学文化.

      4.课堂总结

      师：今天我们研究的系列问题都具有什么共同特征？

      生：对角线互相垂直的椭圆内接四边形.

      师：都研究了哪些问题？

      生：四边形面积的最值、对角线中点连线过定点的问题.

      师：研究的方法是什么？

      生：抓住共同点——对角线互相垂直，设一条斜率为k，另一条为

，建立关于k的函数或者方程求最值或者定点.

      师（结束语）：老子说：“道生一，一生二，二生三，三生万物.”尽管问题在变，研究问题的视角在变，问题的核心没有变，解决方法以不变应万变.

      设计意图 “老子说”与开头的“苏子说”首尾呼应，结构完整.从道家的视角揭示“变与不变”的关系，从哲学的高度审视数学中的变题.通过数学课堂这个平台，让学生从数学的角度体验“变与不变”的哲学思想，给学生一个新的感受.

      三、教学反思

      这节课以核心图形“对角线互相垂直的椭圆内接四边形”为载体，以变题为手段，把散落的高考相近题以串珍珠的方式串联起来，“一图以蔽之”，凸显本质，呈现规律.从哲学层面立意，用文学名篇创设情境，展开数学演绎.试图让学生在哲学、文学与数学相融合的意境中，获得对椭圆再学习的提升和感悟.笔者在这次的选材研究、变式处理、教学策略上颇有收获.

      1.选取材料要具有生长性

      对角线互相垂直的椭圆内接四边形是具有生长性的材料，具有多个生长点，如对角线交点的位置、对角线过焦点、四边形的面积、过定点的直线、二次曲线的类型等.以对角线互相垂直为基本点，变化其他的条件或所求，形成系列相关问题.这样处理问题的方式，可以引导学生学习在变化中抓住不变量，以不变应万变.

      2.问题变式要具有挑战性

      变式问题让学生跳一跳，经过一番努力后能够“摘到果子”，让学生获得成就感，这是对学生最好的奖赏.缺少思维含量的成功对学生而言则是廉价的、无趣的.在学生解说自己思维的过程中，发挥检测思维、修正思维、提升思维的作用；让学生之间相互评价，以达到互相学习、反思自己、改进方法的效果；使学生在完成数学解题过程中享受学习数学、做数学的快乐.

      3.变题方向要具有思辨性

      引导学生经历从特殊到一般的过程，让学生有更多“自己的发现”，使学生不仅能解决问题，而且还能发现问题，这样对培养学生的创新能力是很有帮助的.从对角线交点为焦点—x轴上的点—y轴上的点—一般的点（椭圆内部），一步步、一层层，学生学会合理地改变问题、提出问题、猜想结论，学会像数学家那样地思考.

      4.课堂设计要具有文化性

      数学课堂设计中若能融合多学科、多元素，则能有助于学生对事物的整体认识.抓住学科之间的联系，融入哲学、文学，可以增强课堂的趣味；反之，通过数学可以学习哲学，把文学的朦胧意境数学化，也是另一个层面的审美.

      5.课堂氛围要具有民主性

      每个人都会对成功有渴望和需求.激励的语言、轻松愉悦的氛围、民主的教学方式，不仅能使学生产生高昂的情绪，增强自信心、胜任感，而且能鼓舞学生朝着成功的方向不断努力.教师为学生提供充分表现自己的机会，给学生搭建交流不同解法的平台，给学生创建获取成功的可能，让每个学生都在成功中获得自信，变得活泼开朗、积极向上、充满激情，教师教得轻松、教得容易，教学和谐、师生共赢.

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