随机时间变换下的寿险精算模型，本文主要内容关键词为：精算论文,寿险论文,换下论文,模型论文,时间论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
0 引言
时间变换概念起源于20世纪20年代经济学家们对超通货膨胀的研究，例如：Allais[1]提出推进货币的时间标度应该是总产出指数。Barro[2]认为分析货币需求的合适的时间标度应该是通货膨胀。Mandelbrot和Tsylor[3]、Clark[4]提出资产价格行为的调整是基于经济时间，而不是日历时间。引入时间变换可以简化问题结构，在经济时间下获得简单的统计性质。例如，在各种混合正态分布假设下，经济时间标度下的目标过程是统计上易于处理的正态过程，参见Tauchen与Pitts[5]、Harris[6]、Lamoureux[7]、Luu[8]等，而Ané[9]的研究说明资产收益的正态性可以通过随机时间变化来恢复，Geman[10]则进一步考虑了隐含时间变换的可恢复性问题。
国内对时间变换的研究主要是吴冲锋等[11-16]提出的基于成交量进程的股价动力学模型，提出了根据交易的时间、股价和成交量的三维空间建立标度变换，从日历时间维度转换到成交量维度，重新构造股价序列的研究方法，把成交量融入价格序列中，体现量价配合的思想，基于成交量股价序列的统计特性要比原来的序列更简单，更容易刻画。黄登仕[17]详细评述了金融市场标度理论的最新进展。
在保险问题中也存在着时间变换的思想，存在着日历时间与经济时间的差别。最常见的就是，对于保费的收取，可以是按照年份收取，也可以是按照如月份、季度、半年等时间单位收取，不同的缴费周期仅仅是因为采用了不同的时间单位来观察问题，这实际上就是一种时间变换的思想，只不过是一种最简单的线性时间变换。再如，对各种设备的使用情况进行分析时，就不能简单的只考虑日历时间，而应该考虑到不同时段的使用频率不同，从而即使对相同长度的日历时间，机器的磨损程度也是不同的，这时就应该根据机器的使用频率对日历时间进行划分，这也是一种时间变换方法，只是现在是一种随机时间变换，得到的是随机周期。再如在汽车保险中确定保费费率时，不同汽车的使用情况不能简单的仅仅考虑汽车使用的日历年限，而应该注意到车子的行驶路程很重要，为了考虑一个适用的精算模型，就可以引入随机时间变换的思想，按照汽车的行驶路程而不是日历时间来设计相应的保险产品，比如按照每行驶单位车程调整保费费率、缴纳保费的新型保险产品。
最后，对于寿险问题，张洪涛[18]指出，与财产保险不同，人身保险具有变动的危险率，因为危险是以死亡为基础测定的，不同年龄的人死亡率不同，特别是人到晚年，死亡率更是加速度增加。而现有的保险产品设计原则和寿险精算模型，基本上没有考虑这种影响。因此，可以考虑对应于日历时间，存在着一个经济时间，经济时间的推进是由死亡率的变动决定的。例如，在经济时间下，人的寿命服从De Moivre定律，经济寿命是一个服从均匀分布的随机变量，而在日历时间下的寿命不是均匀分布，在某些高死亡率下，日历时间推进得慢，寿命取值得概率大，而在低死亡率时，日历时间推进的快，当然这种时间推进程度的不均匀产生的是一种随机时间变换，不是简单的线性时间变换。同样的，在日历时间下，由于死亡率的不均匀，不是常数死亡率，不能对寿命应用指数分布假设，但是可以找到一个经济时间，在经济时间下，死亡率成为常数，经济寿命就具有指数分布了。此外许多因素对寿命的影响都可以看做是通过一种时间变换实现的，比如人们生活水平或者医疗条件的变化等。
有了经济时间，经济寿命的表述，就可以根据其统计性质，定义经济时间下的保险产品。当然，对于可以精确观测的经济时间，可以直接在现实中应用经济时间保险产品，比如汽车保险，可以设计并直接应用车程保险产品。但是，对如某些问题，经济时间不一定可以方便的观测到，或者仅仅是一种理论结果，而日历时间下的结果可以观测到，这时经济时间保险产品就成为一种桥梁，通过不同时间保险产品的关系，得到日历时间下的保险产品的定价问题，在现实世界中应用日历时间产品。这种情况下，研究经济时间是为了帮助简化日历时间下保险问题的统计性质，以便对日历时间下的保险产品的定价有更好的认识，从而更准确的定价。
1 日历时间下的寿险精算模型
寿险精算模型[19-20]建立的一般思路是，首先选定新生儿，设其死亡年龄为X，已知其生存到了x岁，用(x)来表示年龄x的生命，(x)的剩余寿命记为了，建立个体的生存分布
模型，进而可以得出相应的危险率函数μ(x)、期望剩余寿命
等。
2 经济时间下的生存模型
在日历时间下选择个体(x)，其未来剩余日历寿命为T=X-x｜X＞x。随机过程S=S(t)给出了日历时间为t时的经济时间，令第i年对应的经济时间长度为
，显然
，i∈N。有了经济时间后，就可以定义经济死亡年龄等。
定义1 对于死亡年龄为X的个体(x)，定义
为个体的经济死亡年龄，称s=S(x)为个体的经济年龄，这里s为已知常数。在经济时间下将个体记为(S)，定义e=S-s｜S＞s为个体(s)的未来剩余经济寿命。
显然，个体(s)与(x)是同一个体，只是观察的角度不同——经济时间与日历时间的不同。根据定义1，未来剩余经济寿命与未来剩余日历寿命的关系为
命题1 在定义1下，经济剩余寿命满足
1)密度函数为
3 经济时间下的生命保险与生存年金
类似于日历时间下对货币时间价值的考虑，可以定义经济时间下的利息力
。有了经济时间下的生存分布与利息力后，就可以设计经济时间下的保险产品了。首先，考虑如下定义：
综上，等价利息力，可以将不同时间标度统一起来，从而很容易的实现经济时间的精算现值与日历时间的精算现值的互相转换与计算。当无法直接观测经济时间，可以就通过这种转换关系，计算相应的利息力，在日历时间下应用经济时间保险产品。
4 破产概率
根据文献[20]，日历时间的盈余过程为(6)，即
命题5 给出了时间变换下，日历时间下破产概率的结果。本文的结果扩展了文献[20]中的破产概率结果，文献[20]中是在日历时间下的损失过程服从复合泊松过程的条件下得到的，本文则进一步指出，一定条件下，当经济时间下的损失过程服从复合泊松过程时，日历时间下的对应过程不再是复合泊松过程了，但是其破产概率仍然具有类似性质。命题5进一步说明了引入时间变换到保险问题中，方便地简化了损失过程的统计性质，扩展了保险问题的研究范围。
5 实证研究
本节给出经济时间保险产品定价的一个实例，具体说明为什么采用经济时间，如何确定经济时间的大小，如何确定等价利息力，以及如何确定保险产品在不同时间上的价值。基本数据为中国人口1949年－2004年的年死亡率，其中1949-1998来源于《新中国50年统计资料汇编》[21]，1999-2004来源于《中国统计年鉴－2005》[22]。
由式(27)，个体在不同年份的年死亡率是相同的。但是现实中，由于受经济、医疗条件、教育等因素的影响，年死亡率一直是不断变化的[23]。图5-1给出了我国人口历年的年死亡率情况：
图1 1949年－2004年中国年死亡率变化图
图1直观的说明了环境对死亡率的影响：建国初期的死亡率一直较高，最高处发生在三年自然灾害时期；自1978年以后死亡率逐步稳定，而这正是我国实行改革开放政策时期；20世纪90年代后，伴随着我国的经济和医疗卫生条件的不断改进和发展——表现为人均国民收入、人均医院卫生院总床位数、人均医疗技术人员数等各项指标的相对提高，同期的人口年死亡率也呈现相对下降趋势。
大小取决于相对危险率：如果某一年的危险率相对较大，那么保险公司承担的风险也相对较高，所以经济时间很好的描述了保险公司所承担的风险程度。表1给出了当参照标准为1990年时，某些年份的时间进程（由于篇幅所限，其他年份没有一一列出）。
接着，确定的分布。如果以1978年为界，将数据划分为两组，可以发现前一组与后一组有显著的差别——前一组波动较大，后一组则较为平稳。两样本KS检验结果（表2）证明，两组数据来自不同的分布。
选择第2组为研究对象，进行单样本KS检验（表3），结果表明服从均值为0.9819，标准差为0.02704的正态分布。
最后，根据等价利息力关系，就可以日历时间保险产品的价值。表4给出了不同时间保险产品的价值。
上面给出了经济时间保险产品定价的一个实例。必须注意的是，在研究中实际上假定了所有个体都服从同样的生存分布。这样，在常数危险率下，就可以用全国人口年死亡率来代替个体的年死亡率。这样处理的原因，一方面是较为简单，不需要考虑个体的年龄等因素，另一方面是由于人口统计非常困难，可以进行实证研究的数据往往较少、还有一定的误差。当然，如果有更多的数据，如每一年的平均期望寿命，还可以设计其他的经济时间产品，并且都可以采取与本节类似的思路：
(1)对经济时间上的个体的寿命做出假设，建立经济时间上的生存模型；计算产品的经济时间价值；
(2)选择参照标准，估计该生存模型的参数；
(3)根据日历时间数据，求得经济时间进程；
(4)估计经济时间进程的分布，求得等价利息力关系；
(5)根据等价利息力，得到日历时间下的产品的价值。
6 结论
本文首次将随机时间变换引入保险问题中，给出了一种新型的保险产品设计原则，即设计经济时间保险产品。通过对经济时间下的相应精算现值的定义，本文详细研究了经济时间与日历时间下各个精算模型之间的关系。特别的，等价利息力的定义，可以方便地进行生命保险、生存年金、净保费和准备金的经济时间值与日历时间值间的相互转换，实现随机时间标度与日历时间标度的统一，间接地解决了当经济时间不可观测时，经济时间保险产品的应用问题。最后，本文研究了经济时间变换对日历时间下的破产概率问题的影响，通过本文对时间变换下相应调节系数的定义，使破产概率仍然具有类似复合泊松过程的结果。本模型可以应用于很多实践问题，并可以进一步扩展。对于生存分布，可以研究不同时间标度下，生存分布的不变性等。另外，还可以研究经济时间下定期保险与定期生存年金公式，以及相应的等价利息力的定义。对于破产模型，可以进一步研究最大损失函数的不同时间标度分解的关系等。除以上扩展外，本文的思想还可以应用于设计新型的汽车保险产品。