一、背景
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。
二、案例描述
例：同学们在全长100米的小路上植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共要栽多少棵树？
片断一：自主探究 化繁为简。
（1）师：要求一共要栽多少棵树苗？你们会解决吗？可能会出现以下三种不同的方法：方法1：100÷5=20，方法2：100÷5+1=21，方法3：100÷5+2=22（板书）。师：一样的题，得到不一样的结果，你们认为哪种对？我们再来看一看，这3个算式里都有100÷5，100÷5求的是什么？（板书：间隔数）那间隔数怎样求呢?（板书：全长÷间隔距离=间隔数）
（2）师：两端要栽时，间隔数与棵数有什么关系呢？猜猜看！生可能说：棵数比间隔数多1；棵数=间隔数；棵数比间隔数少1。师：是吗？你怎么证明给大家看？生：画图。师：好方法!那就在作业单的反面画一画吧!（生作片刻停留状）师：你们遇到了什么困难? 生：100米太长了！师：你们也有同感，有什么好的建议呢？生：可以把100米变短。师：你真会动脑筋！在数学中我们常常用比较简单的例子来验证较为复杂的问题，这就是“化繁为简”的思想。（板书：化繁为简）
片段二：分组探究，寻找规律。
（1）学生画图，教师巡视。师：行，那就听你们的，把100米变短！请你们拿出作业单按自己的想法画一画、填一填，来研究两端要栽时棵数与间隔数的关系，然后把你的发现在4人小组内轻声地交流一下。同学们听明白了吗？（生画图，师巡视收集，指明上台汇报）
（2）学生汇报。
生①：
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我把这条线段看成5米，每隔1米种一棵，两端要栽，就有5个间隔，可以栽6棵。我发现了——棵数=间隔数+1。
生②：
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我把这条线段看成30米，每隔5米种一棵，两端要栽，就有6个间隔，可以栽7棵。我发现了——棵数=间隔数+1。
生③：
我不管这条线段有多长，只要两端都栽，栽2棵，就有1个间隔；栽3棵，就有2个间隔；栽4棵，就有3个间隔……（学生动态演示）我发现了——棵数都等于间隔数+1。（生汇报时师注意引导学生发现他们表示树的不同形式）师：你太棒了!你们同意吗？（同意）掌声鼓励他们!师：刚才这三位同学画的全长都不同，间隔距离也不一样，但都发现了什么？生：棵数等于间隔数+1。师：你们发现了什么？（点2-3人说）师：看来，不管路有多长，也不管每隔几米栽一棵，只要两端都栽，棵数都等于间隔数+1。（板书）师：为什么棵数比间隔数多1呢？你们能不能结合线段图再进一步分析一下并和同位说一说呢？（学生对着图说）师：为了让大家都看清楚，老师——接着说：种一棵树，对应一个间隔，最后多出了一棵树。师：这条路不知道有多长，也不知道每隔几米栽一棵，只知道两端都栽，还是这样的吗？猜猜看！生：是的。（演示，学生比划）：一棵树，对应一个间隔，一棵树，对应一个间隔……一一对应，（板书）最后还是多出了一棵树。师：看来，无论在多少米的路上植树，无论间隔距离是多长，只要两端都栽，棵数都等于——间隔数+1。
片断三：应用模型 解决问题。
师：同学们，刚才我们解决了两个植树的问题，想一想，生活中有哪些也可以看成植树问题？（生答）老师也收集了几个？一起来看看。武汉市轻轨1号线，从东吴大道站到堤脚站全长约25千米，如果相邻两站的距离大约是1千米。一共有多少个车站？师：这个问题和植树问题有联系吗？生：这里把车站看成了植树问题中的——棵数，9千米是——全长，1千米是——间隔距离。师：会做吗？（生独立完成后指明汇报）：25÷1+1=26（个）
片段四：积累方法 提炼延伸。
通过这节课的学习，你有哪些收获？（生答）（1）师：你们的收获可真多！那“棵数=间隔数+1”我们是怎么验证的呀？（画图）对，画图便于我们“数形结合”地去理解。（板书：数形结合）万一以后我们忘了，或者今后我们还要学习其他的植树情况时，也可以画图帮助我们理解。（2）感知植树的三种情况。师：同学们，今天我们研究了两端要栽的情况，（课件演示）还有别的栽法吗？生：还有一头栽，一头不栽。（课件演示）生：还有两头都不栽。（课件演示）师：下节课我们继续研究它！
三、案例分析
1.自主探究，获得化繁为简的方法策略。“间隔数与棵数到底有什么关系？”引导学生猜测后，用直观模型——画线段图的方法验证，在画图中体会到数据较大，画起来比较麻烦，迫使学生另辟蹊径，主动提出复杂问题简单化即“化繁为简”的方法和策略。片断一学生将全长改成5米、10米、20米、 30米等来探究，通过“以小见大”数形结合来找规律加以验证，整个学习过程都是学生自主探索的结果，在这一过程中，学生积极思考，大胆尝试，体验到了成功的喜悦和学习的乐趣。
2.数形结合，体会构建模型的数学思想。在“植树问题”中最重要的数学思想就是模型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学“植树问题”的难点。为了突破这一难点，片段二突出了线段图的教学，通过几何直观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。在“两端要栽”的情况下，让学生把“点”（树）与“线”（间隔）一一对应起来，发现了栽树的棵数和间隔数之间的关系。
3.引导提炼，领悟模型应用的拓展延伸。片断三练习题通过选取生活中不同的事例，帮助学生认识到公交线路、敲钟等的生活问题都与植树问题有着相同的数学结构，让学生体会在数学学习、研究问题上都很重要的数学思想方法──化归思想。使学生感悟到应用数学模型解决问题所带来的便利，进一步增强对植树问题（两端要栽）数学模型的认知与运用，培养了学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力及抽取数学模型的能力。
4.彰显方法，促进学生能力可持续发展。片断四教师引导学生反思学习历程，再次凸显了数学思想方法，积累了数学活动经验，体现了数学广角的课程魅力。根据学生的认知水平和生活经验，课件演示在笔直的路上植树的另两种情况，便于学生对植树问题的整体把握和沟通，为后续学习植树问题的另两种情况，即 “只栽一端”与“两端都不栽”的模型建构做好了铺垫。
四、案例反思
1.注重了数学模型的建立。学生尝试列式生发多样化解法后，让学生画图验证，自然建立植树问题（两端要栽）的直观模型，积累了数学活动经验，也初步建立了问题的表征，为后面顺利建模做好了铺垫。最后两端要栽时，棵数=间隔数+1，为什么加1？让学生进一步理解数学模型，不但知其然，还知其所以然。
2.体现了数学思想的渗透。（1）在100米的路上画图验证“为什么两端都栽时，棵数=间隔数+1”？学生深刻地体会到“100米太长了” ！主动提出复杂问题简单化的处理策略，生成“化繁为简”的数学思想方法；（2）渗透了从具体情境中抽象出植树问题（两端要栽）的模型思想，突出一一对应，理解其算理，用线段图展示数形结合的思想。
3.贯穿了学习方法的指导。在课堂总结时，让学生回顾学习经历了一个怎样的过程？自然地给学生进行了学法的指导。如果这些规律都忘记了，引导学生可以通过画图重新找回规律。
要注意数学活动的实施需面向全体，比如在自主选择全长和间隔距离米数时，先指名让1-2个同学说说想法，使学习能力较弱的学生也明白选择的技巧，以保证全体学生参与活动的时间和空间；同时教师还要准确把握教学节奏，真正发挥引导作用，帮助学生经历建立数学模型的过程，促进学生数学思维的发展。
论文作者:方萍
论文发表刊物:《中小学教育》2020年第398期
论文发表时间:2020/3/2
标签：间隔论文; 两端论文; 学生论文; 画图论文; 数学论文; 方法论文; 板书论文; 《中小学教育》2020年第398期论文;