数学研究性学习及其特点，本文主要内容关键词为：研究性学习论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在新颁布实施的《全日制普通高级中学课程计划（试验修订稿）》中研究性学习成为一个亮点.新的中学数学大纲与原大纲相比，最大的变化就是新增加了“探究性活动”和“研究性课题”，这一改革举措，引发我们对研究性学习及其在数学教学中的实施进行深入的思考.
作为一种学习方式，研究性学习是渗透于学生的所有学科、所有活动之中的，当然它也应渗透于数学学科与数学学习活动之中.由于数学学科的高度抽象和应用的广泛，为研究性学习方式提供了极为广阔的空间.只要处理得当，原有的课程内容也能在相当大程度上支持学生研究性学习的展开.这已为许多优秀教师的实践所证实.因此，积极探索开展“数学研究性学习”的规律，“带好这个头”，对推动研究性学习的全面实施，有着极为重要的意义.
1.数学研究性学习
数学研究性学习是以培养学生的数学创新意识和实践能力为目的，它主要通过与数学学科内容相关的课题，在教师的指导下，学生积极地参与、体验问题的提出和解决的全过程.使学生不但发展了思维能力，而且逐渐领悟到数学科学研究的基本过程和方法，提高学生的科学精神和人格素养.
数学教学大纲中提倡教师和学生自己提出问题、编拟课题.师生应该在数学学习中积极、自觉地捕捉相关的课题.
例如有一道小学智力竞赛问题：现有一个19°的模板（图1），请你设计一种办法，只用这个模板和铅笔在纸上画出1°的角来.
这个问题不少学生都会抓住19°×19=361°比360°多1°的特点，机智地给出解答.
作为学生，会作了，一般就完事大吉！很少有人能够深入地反思.因此放过了研究探索的契机.作为教师这时候应该不失时机地发挥指导作用.引导学生去思索：
（1）现有一个17°的模板和铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？
（2）用一个21°的模板和铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？
对（1）、（2）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.
通过思索、讨论，学生可以小结，具有怎样整数度数的模板可以画出1°的角，哪些整数度数的模板不能画出1°的角.
于是问题的一般形式是：
请你设计一个“α°角模板”（α°取15°～60°范围的整数度数），用这个模板可以画出1°的角来.
用数学语言表述为：是否存在整数x，y，使得αx-180y=1
①
进一步一般化可得到定理：
不定方程ax+by=c存在整数解（a、b为正整数，c为整数）的充分必要条件是d｜c，其中d=（a，b）.
这是一个适合于中学生开展研究性学习的非常好的问题.上面的例子包含着一个从具体问题到数学抽象定理，进行层层深入探究的过程.在这样的过程中，学生可以初步学会从数学角度去认识世界，解决实际问题，掌握数学的思维方法，获得做研究、做数学的美妙感受.由此我们知道数学研究性学习与传统的数学知识、方法的学习有着明显的区别.研究性学习更加重视的是学生能力的培养与整个学习过程所带给学生的积极的体验.
2.数学研究性学习的特点
数学研究性学习既是研究性学习的重要组成部分，又是学生数学学习的有机组成部分，所以它应具有研究性学习的一般特点，又有着受数学学科特点所决定的鲜明特色.特别地，数学研究性学习是对“数学研究”的体验与“学习”，因而，它不但应具有数学研究的基本特色，而且更应具备中学生的学习特点，是这两种特点的有机综合.
数学研究有哪些特色呢？当英国数学家外尔斯（Wiles）证明了费尔马大定理以后，美国数学家Jermy Kahan曾于1999年9月发表《从费尔马大定理的证明得到的十条经验》的文章，他认为：
①严肃的数学思考不仅需要时间，而且需要善于思考的勇气和技巧；
②数学研究需要个人独立的进行；
③数学研究也需要合作；
④数学结果的证明是一个具有社会性的工作；
⑤学生应该检查教师教给他们的数学的正确性；
⑥在问题解决的过程中，事后的分析是必不可少的；
⑦波利亚的元认知理论“你知道一个与之相关的问题吗？”，也助了外尔斯一臂之力；
⑧代数与几何是互相联系的；
⑨数学不再仅仅是欧洲男士们的专利了；
⑩数学是一个活生生的知识主体.
上述数学研究的特点与初涉数学领域的学生的学习特点相结合，我们认为“数学研究性学习”的突出特点主要体现在以下几个方面：
2.1较高的抽象性
数学是“一种研究思想事物的科学”，决定了数学研究性学习的较高的抽象性.它的抽象性表现在其特殊的抽象内容、特殊的抽象方法、特殊的抽象程度.如果说其他学科研究可以采用实验的手段，那么，数学研究经常借助的却是“思想实验”.
我们以脍炙人口的哥尼斯堡七桥问题为例：在17世纪的东普鲁士小城镇哥尼斯堡有一条小河流经市中心，河中有小岛A和D，河上有七座桥连接着这两个小岛及河两岸B与C（见图2），居民经常沿河过桥散步，于是有人提出这样的问题：一个人能否每座桥恰好通过一次（无重复无遗漏），回到出发点.
这个看似简单的问题，众市民反复试验均未成功.于是有人写信给当时在彼德堡科学院的数学教授欧拉，请他帮助解决.欧拉并没有亲自去桥上走走试试，而是运用他的智慧，敏锐的洞察力看到：该问题与所走过的路程长度无关，岛屿、陆地只是靠桥梁来连接着的地点.从而他将问题数学化、抽象化处理：将两个岛和河岸抽象成四个点A、B、C、D，将七座桥抽象为七条线，于是问题等价地转化为能否一笔画出图3所示的图形，使问题得以顺利解决.
通过这个例子，对我们有什么启示呢？七桥问题是众市民与欧拉共同研究的问题，他们的情况对比很能说明数学研究方式的特色.
令人深思的是：为数众多的双目健全的市民为什么抵不过一个双目几近失明的欧拉呢？归根结底在于欧拉较强的理性思维能力，能够“数学地”看待问题，通过分析、抽象出问题的数学模型，通过数学问题解决得到实际问题的答案.这里，我们看到了数学抽象的威力，数学能用抽象思维把握事物的本质.
时代在发展，今天我们的中学生的动手实践水平理应远远高于17世纪哥尼斯堡城的市民.我们开展研究性学习的目的，决不是让学生像当年哥尼斯堡城的市民那样到实践中“走来走去”，而是要感悟到欧拉那样的研究问题的抽象方法.
2.2广阔的开放性
研究性学习的基本特点就是开放性.数学科学体系本身是开放的，学生的思维活动是开放性的，数学为学生个体施展才华提供了广阔的知识空间.数学研究需要思维自由想象基础上的选择与构造，决定了数学研究性学习有着广阔的开放性.
数学研究性学习在学习内容、学习时间和地点、学习方式以及研究过程、方法和结果等方面与传统的数学教学活动相比具有明显的开放性.
现在人们选用开放性问题作为研究性学习的课题.然而研究性课题的开放性绝不仅仅是问题的开放，重要的是激发学生的发散性思维、求异思维和思维的批判性，培养学生开放性的数学思维，及开放性的数学观念.
2.3较深刻的探究性
数学是培养创造性思维的优良载体，决定了数学研究性学习有着较深刻的探究性，数学是具有创新意识的知识主体，知识主体培养创新意识的潜能需要探究性学习的方式来开发.因此，探究性是研究性学习的核心，当然也是数学研究性学习的核心.布鲁纳说：“探索是数学的生命线.”数学正是人类在认识世界，对未知领域的不断探索中形成和发展的.学生进行数学研究性学习，探究、揭示事物的本质规律和特点的过程，获得探究过程的体验与探究问题的科学方法，发展其思维的探究性与思维的创造性.
总之，数学研究性学习是在探究的过程中获取数学知识或方法，在探究性的学习过程中开发学生的创新意识.探究不是目的，而是一种手段.
我们还认为，数学研究需要坚持与毅力，因此数学研究性学习非常有利于培养一个人的钻研精神.
江泽民说：“解答数学题，最重要的是培养一个人的钻研精神”.恰当地揭示了数学研究性学习对造就人才的重要作用.我国著名数学家王梓坤院士说：“凡举科学研究，3分选题，3分勤毅，2分机遇，2分天赋.四者具备，必成上品.其实何止科研，一切大事，莫不如此.选题靠师友交流，靠信息通畅，靠个人胆识.勤奋与毅力则出于自身之理想、兴趣、热情与自勉自制.机遇存在于环境遭遇与人际关系之中，有驾而上者，有溺而存者，全在有所准备，及时抓住或避免.天赋与生俱来难以改变，但用我之长，避我之短，则可自择也.”其实数学研究性学习正是让学习者体验使用观察、归纳、类比、联想、想象直到得出猜想的合情推理方法的运用，也要体验尝试、错误、直到成功的艰辛与喜悦，还要体验互相协作交流奇思异想而激发的兴趣与激情.通过数学研究性学习有利于学习者人文素养的全面提高.
在《从费尔马大定理的证明得到的十条经验》的文章最后作者说了这样一段话：“教师通常是把数学看作一种既成事实，而不是把数学看作是具有创新意识的知识主体，也不是把数学看作是能使学生个体施展其才华的知识空间，从而正确地把数学知识教给学生”.这就告诉我们，教师只有把数学教学看成是数学思维活动的过程教学，把数学看作是具有创新意识的知识主体，把数学看作是能使学生个体施展其才华的知识空间，才能正确地把数学知识教给学生.有了如上观念与认识的转变，才能正确理解与实行数学研究性的学习方式.