“乘法公式”单元教学研究课例
201906 上海市宝山区顾村实验学校 陈 媚
摘 要： 基于单元设计的数学课堂教学，能让学生既见“树木”又见“森林”．笔者从单元设计的视角出发进行课例研究，根据平方差公式与完全平方公式之间的巧妙联系，从剪拼的操作活动出发，调整教学顺序，在同一课时获得两个公式．笔者从“出入相补原理”引入，将数学史融入课堂，引领学生在活动中理解公式中“数”与“形”的有机结合，带给学生一节实践的、情感的、交流的、感悟的教学研究课．
关键词： 单元设计；乘法公式；数学史
一、单元设计的背景以及意义
平方差公式与完全平方公式是七年级上册第九章第四节“乘法公式”的内容．从教学目标来看，平方差公式与完全平方公式都是对特殊的一类多项式相乘的归纳方法．“乘法公式”这一节内容，参考课时为四课时．传统的教学模式是：第一课时，得到平方差公式；第二课时，练习平方差公式；第三课时，得到完全平方公式；第四课时，综合练习两个公式，因此学习能力较弱的学生在辨析两个公式时，仅能对公式各项体现的项数、次数、系数、符号等作表象对比，找到牵强的联系，并不理解公式中每一项的实质含义，也不清楚两个公式之间的联系．
平方差公式与完全平方公式的获取过程在探究方法、体现的数学思想方法（数形结合、从特殊到一般）上都有共通之处．如果从单元设计的角度设计，根据两个公式之间的巧妙联系，合理安排一系列操作活动，调整教学顺序，可以在同一课时获得两个公式，学生在剪拼的过程中，可以自然而然地完成类比、化归，获得“1＋1＞2”的学习效果．
二、第一次课堂实践
（一）教案设计思考
1．关于先用代数方法还是先用几何方法的思考
132例MCN中，MCN-IC 17例，占12.88%，恶性比例与文献[8]报道(6%～36%)相符。严格以OS为诊断必要条件，将混入的分支胰管型胰腺导管内乳头状黏液瘤(branch-duct intraductal papillary mucinous neoplasm，BD-IPMN)排除后，MCN总体恶性比例降低，长期预后改善[9-10]。
传统的教学模式是先用代数方法得到公式，再给学生展现几何直观的无字证明，图形仅作为了解几何背景的用途．对部分八年级学生进行访谈后，发现多数学生知道用多项式与多项式相乘归纳出乘法公式，但对找到公式的规律后如何运用公式、如何图证公式毫无印象，对图形与公式之间的联系不甚理解，没有掌握数形结合思想．学生无法理解公式中的“数”如何转到“形”，利用图形证明公式这一难点无法突破，因此笔者尝试用几何方法得出公式的教学，以“形”助“数”．
2．关于如何体现“几何直观”的思考
教材上关于平方差公式的图形是把割补前后的图放在一起，而七年级学生还没有几何证明的概念，对几何的认识仅停留在各种形状的图形上．怎样让学生明确割补前、割补后的图形之间的联系，体现出几何直观？怎样才能还原古代数学家赵爽的面积割补法并恰到好处地应用这一方法？怎样才能避免学生对公式的机械性记忆？笔者认为，应该让学生动手操作，亲身经历，重新体验1800多年前大数学家的思维历程，为此笔者设计了剪拼的操作活动．
（二）教学设计
初稿设计中，没有任何铺垫，直接进行三个剪拼活动．部分学生对操作指令很茫然，无法跟上教师的指令进行操作，最后是在组内学生的指导下完成“第一剪”，有的学生还剪出了如图1的形状，经过纠正和帮助后才剪出正确形状．在计算其面积时，学生犹豫不决，陷入沉默，教师引导学生剪下虚线下方的长方形，拼到右边，如图2所示．
图1
图2
图3
由此得到了第一个等式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2．
进行活动2时，部分学生又茫然了，因为纸片已经被剪成两个梯形或其他形状了，而有的学生因为不舍得剪，纸片还是图3的形状，而舍得剪的学生却发现无法完成活动2，只好组内共享能用的纸片．
（1）为什么要剪拼？剪拼的目的是什么？
（三）教学反思
通过试讲，一起发现本节课的问题如下．
在得到三个等式后，笔者介绍赵爽和面积割补法，学生恍然大悟．接着按照教学流程，引导学生找准公式中的a、b，设计了五道例题，尝试运用公式，然后引导学生理解公式的结构特征和符号变化规律，设计了六道题辨析公式．
（2）在活动1中的“第一剪”，为什么有些学生会剪错？
（3）为什么在活动1的剪拼环节，有些学生不舍得剪？
（4）在活动1中，怎样表述才能引导学生在得出第二个表达剪后图形面积的代数式后，继续探索各种剪拼方法？
（5）教师的设计意图是借鉴历史，但数学史融入课堂有多种方式，到底是以重构数学史的方式融入，还是以附加式的方式融入？怎样才能达到引起学生思考，促进学生理解的目的？
（6）是否需要这么多例题与辨析练习呢？如果要，应该怎样设计，如何把控时间？
最后，笔者选择用“平方差公式—两数差的完全平方公式—两数和的完全平方公式”的顺序设计活动，因为“两数和的完全平方公式”不需要剪纸，只要拼图即可，如果按教材的顺序安排为第二个活动，就显得“夹生”了．这样的安排过渡自然，符合学生的认知接受规律，肯定了动手操作这一环节的设计，充分渗透了数形结合的数学思想，学生有了亲身经历，教学难点自然而然得以突破．
三、第二次课堂实践
（一）教案修改与思考
根据第一次上课的缺陷，笔者查阅了相关教学设计和论文．怎样才能让活动带有数学“味道”，让学生不茫然呢？笔者修改为以“出入相补原理”引入，以重构数学史的方式融入课堂．
微课使得高中数学教学能够克服传统教育存在的缺陷，使学生能热爱学习、高效率的学习，使得老师数学教学更加得心应手，提高了教学效率。因此，微课将成为改革数学教学的重要途径，也是一种值得推广的教学方法。在新课程理念下，高中数学教师应采用多种方式开展微课结合课堂教学，积极坚持新课程理念，促进每个学生的发展。积极创造良好教学情境，激发学生学习兴趣，运用微课建立学生知识体系,帮助学生学好数学。
先介绍剪拼的原理——出入相补原理，让学生明白“我”要做什么．网上有现成的视频介绍出入相补原理，但是视频中的活动与本节课联系不密切，还会把本节课的焦点带偏．考虑到学生在六年级上学期学习“圆的面积”时，重温直边形图形的面积公式的推导过程，正是利用出入相补原理，其中两个典型图形（平行四边形、梯形）也正是希望学生在活动1中拼成的图形，于是，笔者添加了表1的“问题引入”环节，水到渠成．
加一个台阶铺垫，学生“跳一跳”，就摘到了原本够不到的“苹果”，让学生知其然更知其所以然．
表1
活动1中的“第一剪”属于机械性操作活动，听不懂指令的学生肯定不是听觉型学生，教师应该设法让学生看到操作演示的过程，帮助学生理解操作指令．教师可以考虑用实物投影仪，把某个学生的操作投影到大屏幕上，但有两个弊端：一是教师要准确判断哪个学生能正确示范操作；二是如果没有事先彩排，选谁都有一定的风险，如果有彩排，那这节课就有演戏的成分．既要确保操作正确，又不能透露剧情，这个演员非教师本人莫属，如果在公开课现场示范，教师既要“导”，又要“演”，分身乏术．于是笔者录制了三个小视频，对应三个操作活动，链接到相应的PPT页面．
活动2只给每位学生发了一张红色的正方形纸，确实是笔者考虑不周．改进后，笔者为每位学生准备了三张或更多的红色正方形纸片，鼓励小组合作，充分发挥团队力量．
该类视频主要讲解焊接操作过程中的操作要领和技术难点，是本课程的重点，该类视频以微课形式为主，配合旁白的讲解，使学生在课前、课中和课后都能掌握到焊接操作要领。
由于这是四个课时的第一课时，本课时的教学目标着眼于得到公式，而关于公式的应用，应该留到后续三个课时解决，所以只需精选四道例题，加以巩固．
（二）课堂实录
环节1：引入新课
师：同学们，回忆一下这两个图形的面积推导公式．（PPT显示平行四边形和梯形，然后动画演示把左边的三角形剪下来，分别补在右边适当的位置，如图4）
师：这里用到一个数学原理，即出入相补原理．把图形的一部分剪下来，补在适当的部位，拼成另一个规则图形求面积．因为一个平面图形移至他处，面积不变，因此，一个图形分割成若干块后，其面积和等于原来图形的面积．
师（举起小正方形纸片）：请问你剪掉的形状是什么？
图4
设计意图：既让学生觉得熟悉又有动手的欲望，还能“悄悄”递出教师搭好的台阶，可谓“一举三得”．在教师别出心裁的引入下，学生明白了原理，有了明确的方向，跃跃欲试．
另外，邓汝燧（华南文艺学院54级学生）在《难忘的一天——怀念李铁夫老教授》⑤（图12）一文中，描述了其在1951年夏天，和同学们亲眼看到李铁夫在华南文艺学院住处（光孝寺内）门口画了一幅“具有民族风格的水彩画——‘水牛春耕图’（这是笔者据画面的内容临时拟的画题）”，应该与司徒常所述是同一件事。
如今除了商超货架及线上平台等市场上食品类产品的争奇斗艳之外，伴随着休闲生活需求的进一步提升，不少食品企业更是将外包装的文章做到了门店的整体升级上。“我们不但增加了休闲区域，升级了每件入店产品的外包装，还结合当下年轻人的审美趋势，打造出具有简约时尚风格的新门店外观。”中国茶馆“茶颜悦色”的相关人士说，“你的产品再好，核心价值再高，都需要有颜值吸引客人进店。”
师：今天，我们利用出入相补原理，剪剪拼拼求面积，请看视频．
生6：能．因为剪下的小长方形的长是a－b，剩下的大长方形的宽也是a－b，一定能拼成长方形．
要实现新技术条件下的课堂交互教学，首先要具备丰富的教学资源，对课纲要求的3D教学资源进行整合，再通过教师的深加工，才能成为可利用的课堂教学资源，各院校专业可根据自身的条件，逐步实现教学资源库建设等硬件建设。
生1：正方形．
师：如果设原来的大正方形边长为a，你剪下的小正方形边长为b．（举起剩余部分）那么剩余部分图形的面积是多少？
生2：a2－b2．
式中，PV表示材积生长率（%）；Vl、V2分别为间隔 n年前与 n年后测得的总材积（m3）；n为两次测定的间隔年数。
抚顺干馏工艺产生的气态产物经冷凝回收系统净化分离后，其中的油、水蒸汽生成了页岩油和干馏污水，气体部分则生成干馏瓦斯。干馏瓦斯按用途可分成三部分：一部分送蓄热式加热炉加热至500～750 ℃，携带大量显热回到干馏炉，作为油页岩干馏的循环热载体；一部分作为蓄热式加热炉的燃料气用于加热循环热载体；剩余部分则供燃气锅炉、电站等作燃料气使用，最终得到蒸汽、电及热能。
师：请你通过剪拼，用其他方法计算其面积．（学生拿起图形和剪刀，左右打量）
师：大胆地剪，每个小组都有足够的纸，请多尝试．
生2：老师，我们组拼出了这三个形状．（如图5所示）
图5
师：好，请尝试计算其面积，等一会儿请你们组来讲解．（教师把这个小组的拼图贴到大黑板上，如图6所示）
生3：老师，我们组拼出了这样的形状．（如图7所示）
图6
师：这是我们学过的能直接求面积的图形吗？
生3：没学过．
生4：虽然没学过，不过我也能求，求出一个梯形的面积（如图8所示），再乘以2．
师：没错，不拼也能求面积．拼的话，要拼成学过的规则图形来求才方便．
图7
图8
生5：老师，我们组这样剪（如图2），也能拼成长方形．
师：你们组是第一个发现这种拼法的，请一个代表讲解一下这个方法．
师：下面请生5介绍一下这个最特别的方法．（生5走到黑板前开始讲解）
师：请你告诉我们这个小长方形是从哪里剪下来的？
生5：从这个剩余图形的下方．（把小长方形放回原处）
师：你把它拼到哪里？
生5：拼到右边．（移至右边，拼成一个大长方形）
师：拼成了一个什么图形？
生5：长方形．
有学生惊呼：长方形！
随着我国的城市化建设不断加快，我国城市与乡村之间的经济水平存在一定的差距，这也使得越来越多的乡村劳动力开始向城市转移，乡村的劳动力大量减少。劳动力的减少使得在山区玉米种植的过程中，田间管理只能由劳动力较低的人群来进行，这在一定程度上影响了田间管理的效果。另外，由于青年劳动力向城市转移，也使得目前山区田间管理人员的受教育程度不足的问题越来越明显，使其在管理过程中难以及时的发现问题和采取科学的方式来解决问题。这样的情况经常会引起玉米产量难以提升、品质也得不到保障。
师：确定可以拼成一个长方形吗？（转向其他学生）你们手上的图形要是这样剪，也能拼成一个长方形吗？
教师带领学生根据视频中的步骤对一张正方形纸片进行翻折和裁剪，从原正方形纸片中剪出一个小正方形．
师（转向生5）：这是你当初的想法吗？
于是，得到第三个等式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．
师：好，请你继续讲解怎么求面积．
生5：拼成的大长方形的宽是a－b，长是a＋b，面积等于长乘宽，就是（a＋b）（a－b）．
（4）约氏艾美耳球虫。卵囊呈罐状，平均大小23μm×18μm，形状指数为1.27。卵囊囊壁为2层，光滑，颜色为黄色，外深内淡，极帽顶端稍平，卵膜孔较宽，孢子囊为卵圆形，内残体常聚集成小团，无外残体，斯氏体明显，有1个或多个极粒[2]。
经过不同的拼图，得到同样的算式（a＋b）（ab），然后得到第一个等式（a＋b）（a－b）＝a2－b2．
师：这是刚才剪后的图形（如图9所示）．现在把下方突出的这部分长方形向上翻折，右边突出部分的长方形向左翻折，然后打开，沿着折痕剪下两个长方形，请同学们按照以上步骤，剪出这个图形．
于是，顺理成章得到第二个等式（a－b）2＝a2－2ab＋b2．
师：拿出一张蓝色的正方形纸片，利用桌面的材料拼成一个更大的正方形．请同学们操作一下．（结果如图10所示）
图9
图10
生5：我就是这么想的．
环节3：新课讲授——验证公式
人工湿地：指的就是技术人员通过模拟自然湿地，并且在微生物与植物的相互作用下，对农村地区的生活污水进行有效处理。人工湿地通过土壤与填充料相结合的方法，将水生植物种植在河床上，通过人工的方法建立起小型生态系统。通过人工湿地能够使污水得到净化，而且人工湿地管理较为容易，构件也较为简单，能够降低资金成本，虽然会占据一定的土地面积，但是会净化自然环境，因此人工湿地方法在农村集中地区较为适宜。
水陆两栖飞机，是指既可以在陆地起降又可以在水面起降的飞机。我国研制水陆两栖飞机的历史悠久，最早可追溯到1919年由福州船政局制造的“甲型一号”双翼水上飞机。建国后，解放军海军又陆续引进和研发了青-6、水轰-5等一批水上飞机。其中，于1986年正式服役的水轰-5是我国自行研制的水上反潜轰炸机，但由于种种原因仅服役4架，全部配备北海舰队航空兵使用。
用多项式与多项式相乘的法则验证公式，如图11中最右侧的部分．
书包颜色变淡的过程是缓变的，跟她认识的程度也是渐进的。随着书包颜色愈来愈模糊，她的影像在我脑海里愈来愈清晰。无论是缓变或渐进，速度同样慢到难以察觉变化。
图11
环节4：新课讲授——介绍公式名称，文字叙述公式
介绍公式名称并用文字语言叙述，观察等式，给出名称，同时补充“完全平方式”的概念，再顺理成章地引出“完全平方公式”的名称．观察三个公式，分别用文字语言叙述，同时给出口诀．
师：观察第一个等式左边的运算．（指着“a＋b”）这是什么？
生7：两个数的和．
师（指着“a－b”）：这又是什么？
生7：两个数的差．
环节2：新课讲授——动手操作
师：它们作什么运算？
生7：相乘．
师：连起来说呢？
生7：两个数的和乘以两个数的差．
师（指着“＝a2－b2”）：这个运算是什么？
学生沉默．
师：这个运算在“字母表示数”时见过的．
生8：平方差．
师（指着“＝a2－b2”）：连起来说．
生8：等于平方差．
师：缺了主语．
生8：等于两个数的平方差．
与此同时，笔者把“两个数的和乘以两个数的差，等于两个数的平方差”板书在黑板上．
师：请判断（x＋3）（y－3）这个算式，能用平方差公式吗？
生9：不能，y改成x就可以．
师（指着“两个数的差”）：那这里要怎样加强语气才能保证指代的是前面的两个数？
生10：这两个数的差．（重读“这”字）
教师拿出事先准备好的“这”字卡片，贴在黑板上相应的位置．
师：还有要强调的地方吗？
生11：等于这两个数的平方差．（重读“这”字）
教师再次拿出事先准备好的“这”字卡片，贴在黑板上相应的位置．接着叙述完全平方公式，也是同样的处理方法，两个完全平方公式分开来说，帮助接受能力一般的学生理解．
环节5：初步尝试
笔者精选了四道例题，按公式的顺序排列．例1的两道题使用平方差公式，例2的两道题使用完全平方公式，如图12．
图12
环节6：介绍赵爽和面积割补法
揭示本节课融入的面积割补法，并介绍古代数学家赵爽及相关历史，如图13．
图13
师：通过剪剪拼拼，利用出入相补原理，拼出不同的图形求面积，收获了平方差公式和完全平方公式，这个方法叫做面积割补法．其实，这个方法在1800多年前，赵爽就运用得很熟练了，他最大的贡献是用面积割补法证明了毕达哥拉斯定理（即勾股定理），这是我国数学史上第一次明确用理论证明此定理．如图14，赵爽的这幅弦图是数学史上熠熠生辉的瑰宝，2002年于北京召开的第24届国际数学家大会（ICM）就用该图作为会标．
图14
环节7：课堂小结与作业
小结沿用了上一次的方案，让学生及时归纳和小结这节课的发现和收获．
师：乘法公式的精彩应用还有很多，将在后续的三个课时中继续学习．
作业是巩固两个公式，具体为：（1）完成教材P35、P38随堂练习；（2）自主选择完成练习册的相应练习．
（三）教学反思与启示
这堂课在单元设计的规划下，使学生对两个乘法公式有了整体认知和感悟，既见“树木”又见“森林”．大多数学生不再机械地记忆公式和法则，一些接受能力不强的学生也能说出两个公式之间的联系，且能准确说出其几何背景，这些都应该归功于单元教学设计．相对于传统教学，本节单元教学研究课给学生提供了一个与众不同的课堂．
1．实践的课堂
紧紧围绕“加强单元设计，关注学习进程，重视交流与表达”这一主题，大胆设计，引入新颖，重引导、重经历，通过“操作—探索—归纳—发现”，带给学生不一样的心得和感受．教师始终认真地“引”，严谨地“纠”，让学生充分思考，与教材对话，与同伴对话，让学习自然而然地发生．重视学生对图形语言、数学语言和文字语言的表达与掌握，契合了陶行知先生一向奉行的教育理念——行是知之始，知是行之成．
2．情感的课堂
用大正方形面积减去小正方形面积的途径，得到平方差公式，既准确呈现了公式本身的几何含义，又延续了整式乘法（单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘）用图形面积引入的方式，此创意来自笔者平时的积累．教师在查阅教参、浏览教辅、听公开课时，要注意收集适合改编的素材，教师要多花时间，定期阅读期刊，学习前人的经验和成果．教师用心设计，就一定会得到学生真心的欣赏，就会有越来越多的学生被数学吸引．
3．交流的课堂
将概念课融入数学史，让学生体会我国古代数学家的数学思想，重现古代数学家的计算方法，经历探求数学知识的过程．古时的思想被今日的学生所用，不仅让学生进行了一次古今沟通，与数学的魅力做了无声的交流，同时也促进了教师提高自身的教学功底和学科素养．
4．感悟的课堂
重视数学思想的渗透，准确运用几何直观这个工具，真正做到以“形”助“数”，以“数”解“形”．对一种数学思想的领悟绝不是一朝一夕可以做到的，适时适度地挖掘教材中的数学思想方法，对促进学生由知识型学习向智慧型学习转变，是非常必要的．
（四）遗憾之处
美中不足的是在活动1的“第一剪”后，得到剩下图形面积为a2－b2，然后教师发出操作指令：“请同学们利用出入相补原理，把这个图形（教师手举剩下图形）通过剪剪拼拼的办法，计算其面积．”但直到有些学生拼出漂亮的形状而无法直接计算面积时，教师才意识到疏漏，补充指令：“拼成规则图形．”指令简明，富有科学性，是一个数学教师毕生追求的教学境界．
值得商榷的是，由于本课时的操作活动持续时间较长，文字语言表达结束时只剩五分钟，也就是说，最后只够两道练习题的时间．此时是该选用两道使用平方差公式的题目，还是使用一道平方差公式、一道完全平方公式的题目呢？教师课上选择了前者，让学生先对其中一个公式的使用有较深刻的印象，有利于初步固化平方差公式，但评课时部分同行认为后者会更完美，更符合“初步使用公式”的教学预设目标．
总之，开展单元教学设计的研究，就是把单元视为一个系统，分析整体的结构和功能，以实现“整体大于部分之和”的效果，有助于学生构建单元知识体系，形成数学认知结构．在日常教学中，教师要多尝试这种符合教学规律、基于学生认知规律的单元设计，设计体现数学思想的教学活动．
参考文献
［1］ 刘达主编．初中数学单元教学设计指南［M］．北京：人民教育出版社，2018．
［2］ Merseth，K．K著，鲍建生等译．教学的窗口：中学数学教学案例集［M］．上海：上海教育出版社，2001．
［3］ 陆鹏程．基于学情分析的小学数学单元教学设计的研究［D］．上海师范大学，2018．
［4］ 李曼．初中数学个性化的单元教学设计研究［D］．陕西师范大学，2015．
［5］ 黄春银．小学数学主题单元设计的研究［D］．南京师范大学，2016．
［6］ 孟梦，李铁安．“问题化”：数学“史学形态”转化“教育形态”的实践路径［J］．数学教育学报．2018（6）：72－74．
［7］ 程海兰，刘钰．几何直观在教学中的作用及其培养［J］．中小学数学（初中），2018（6）：55－58．
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