广东省佛山市顺德区容山中学 528000
函数与导数历来是高考的重点和热点问题，对一些具体函数的求导问题，只需正确运用和、差、积、商函数的求导公式即可解决，但是对于一类抽象函数的求导问题，尤其是需要逆用求导公式法则的题目，由于平时训练不多，因而求解起来觉得有点困难。本文试图通过一些例题来揭示其一般规律，希望对大家有所帮助。
一、逆用和差函数求导公式构造函数
例1：若定义在R上的函数f(x）满足f（0）=-1，f`（x）>k>1，则下列结论中一定错误的是（ ）。
A．f（ ）< B．f（ ）>
C．f（）<D．f（）>
分析：由f`(x）>k可联想差函数求导法则，构造函数f（x）=kx-1。
解：构造函数f（x）= 2x-1。
若取k= ，则f（ ）=f（ ）= < = ，排除A。
若取k= ，则f（）=f（10）=19>11=，排除D。
再构造函数f（x）=10x-1。
若取k=2，则f（ ）=f（ ）=4>1=，排除B。
故选C。
例2：函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意的x∈R，f`（x）> 2，则f（x）>2x+4的解集为（ ）。
A．（-1，2）B．（-1，+∞）
C．（-∞，-1） D．R
解：构造函数g（x）=f（x）-2x-4，则 f（x）>2x+4 等价g（x）>0。
由f`（x）>2得g`（x）=f`（x）-2>0，
∴g（x）在（-∞，+∞）上单调递增。
又f（-1）=2， ∴g（-1）=f（-1）+2-4=0，
∴f（x）>2x+4等价于g（x）>g（-1），则x>-1，故选 B。
评析：在处理可导函数问题时，若已知条件为af`（x）>bg`（x）或af`（x）<bg`（x）时，可构造函数f（x）=af（x）-bg（x）；若已知条件为f`（x）<m〔或f`（x）>m〕，则可构造函数f（x）=f（x）-mx。
这里还必须联合条件与结论之间的结构特征的关系，具体问题具体分析。
二、逆用积函数求导公式构造函数
例3：设函数f（x）的定义域为R，且对任意的x∈R，f`（x）+f（x）>0，则（ ）。
A．f（2016）>e2016f（0）B．f（2016）<e2016f（0）
C．f（2016）<D．f（2016）>
解：由f`（x）+f（x）>0，可构造函数F（x）=exf（x），F`（x）=ex［f`（x）+f（x）］>0，
∴F（x）在R上单调递增，∴F（2016）>F（0）。
即e2016f（2016）>e0f（0），∴f（2016）>，故选D。
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例4：设函数f（x）满足x2f`（x）+2xf（x）= ，f（2）= ，则x>0时，f（x）满足（ ）。
A.有极大值无极小值 B.有极小值无极大值
C.既有极大值又有极小值 D.无极大值也无极小值
解：构造函数g（x）=x2f（x），则g`(x）=[x2f（x）]`=x2f`（x）+2xf（x）= ，∴g（2）=4f（2）= ，∴x2f`（x）= -2xf（x）= ，∴f`（x）=。
再令h(x)=ex-2g(x)，∴h`(x）=ex-2g`(x）=，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴h（x）min=h（2）=e2-2g（2）=0，即h（x）≥0。
又当x>0时，f`（x）≥0，∴f（x）在（0，∞）上单调递增，
∴f（x）既无极大值也无极小值，故选D。
评析：由求导公式[f（x）g（x）]`=f`（x）g（x）+f（x）g`（x）的逆用可知，类比 该公式构造函数处理有关问题的常见形式有：
1.若已知式子含有f`（x）g（x）+f（x）g`（x），则可构造函数F（x）=f（x）g（x）。
2.若已知式子含有f`（x）+nf（x），则可构造函数g（x）=xnf（x），于是g`（x）=xn-1[xf`（x）+nf（x）]，这样就可用到已知式子了。特别当n=1时，已知式子为f`（x）+f（x），则构造函数g（x）=xnf（x）。
3.若已知式子含有f`（x）+f（x），则可构造函数g（x）=exf（x）。
三、逆用商函数求导公式构造函数
例5：（2015年全国卷II）设函数f`（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时xf`（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（ ）。
A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+∞）
C.（-∞，-1）∪（-1，0） D.（0，1）∪（1，+∞）
解：令F（x）=，∵f（x）为奇函数，∴F（x）为偶函数；又F`（x）= ，当x>0时，x`f（x）-f（x）<0,∴F（x）= 在（0，+∞）上单调递减。据对称性知F（x）=在（-∞，0）上单调递增，又f（-1）=0，f（1）=0，由数形结合法可知，使f（x）>0成立的x的取值范围为（-∞，-1）∪（0，1），故选A。
例6：已知f（x）为R上的可导函数，且对任意x∈R均有f（x）>f`（x），则以下判断正确的是（ ）。
A.f（2017）>e2017f（0）
B.f（2017）<e2017f（0）
C.f（2017）=e2017f（0）
D.f（2017）与e2017f（0）大小关系无法确定
解：由f（x）-f`（x）>0可构造函数g（x）=，
则g`（x）= = ［f`（x）-f（x）］<0，
∴g（x）在R上递减，即 g（2017）<g（0）,∴ <,
∴f（2017）<e2017f（0），选B。
评析：由求导公式[]`= 的逆用可知，类比该公式构造函数处理有关问题的常见形式有：
1.若已知式子含有f`（x）g（x）-f（x）g`（x）且g（x）≠0，则可构造函数F（x）=。
2.若已知式子含有xf`（x）-nf（x）且x≠0，则可构造函数g（x）=，从而g`（x）=。特别当n=1时，若已知式子含有xf`（x）-f（x），则可构造函数g（x）=。
3.若已知式子含有f`（x）-f（x），则可构造函数。
论文作者:李洪波
论文发表刊物:《中小学教育》2018年第318期
论文发表时间:2018/4/27
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