数学游戏的教育功能探讨，本文主要内容关键词为：数学论文,功能论文,游戏论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、何为数学游戏 何为数学游戏？国内外学者对此有着不同的认识.国内主要有以下三种观点：观点之一认为数学游戏是一种运用数学知识的大众化的智力娱乐游戏活动[1]；观点之二认为数学中的游戏是指那些具有娱乐和消遣性质的并带有数学因素的游戏和智力难题[2]；观点之三认为数学游戏必须既是数学问题又是游戏，同时具备知识性、趣味性、通俗性和娱乐性[3].综合这些观点，可以得出，数学游戏有两种形式：一种是具有数学因素的游戏，另一种是具有游戏成分的数学问题. 国内学者较注重对数学游戏的内涵进行辨析，国外学者主要从开展游戏活动角度对数学游戏给予描述式定义： 哈维和布莱特（Harvey & Bright）给出了一项任务或活动作为游戏的标准：参与者需要完成一项任务或者与另一个玩家竞争；一切活动行为在具体规则下进行；参与者自愿参加游戏；游戏能营造一种有别于现实的心理情境；游戏中的事件并不对社会产生影响；游戏过程中的变化是有限的；游戏必须能够结束[4]. 根据欧菲尔德（Oldfield）的研究，数学游戏是指符合以下条件的活动：可以是挑战一个任务或玩家（一个或以上）的竞技活动，也可以是独立或与他人合作进行的任务解决活动；在一套结构明确的规则下进行；有明确的结束标志；活动有特定的数学认知学习目标[5]. 达信（Tapson）认为数学游戏需要满足：仅有两个参与者；取胜技巧仅体现在思维上；参与者总能相互了解游戏中的全部状态；结果的胜负一般不含有运气成分；游戏在合理有限的时间内结束；游戏的目的是为了快乐；需要尽量少的道具[6]. 在高夫（Gough）的文章中，游戏被描述为需要两个或以上的参与者、在整个游戏过程中参与者都能够轮流地做出行动选择，而且是为了获得所规定的胜利状态而竞争且不包括那种纯粹依赖“运气”而进行的类似于博彩的活动[7]. 从以上分析不难看出，哈维和布莱特强调游戏有别于真实社会环境，欧菲尔德的观点突出游戏中的社交行为，达信和高夫特别关注思维活动对游戏结果的影响.以上国外学者分别对游戏和数学游戏的虚拟性、社会性和益智性给出了清晰的描述，相比于国内学者的内涵式定义，描述性定义更有助于明确地界定或发明一款数学游戏. 综合上述观点，本文定义数学游戏是满足以下要求的活动：可以是独立或合作进行的任务解决活动，也可以是挑战其他玩家的竞技活动；有特定规则规定着参与者的游戏角色以及决策行为；解决活动中的问题或获得竞技胜利的对策能够转化为解决某个数学问题的方法；参与者的决策行为是影响结果的主要因素，特定的策略能够降低随机成分对结果的影响；参与者自主参与活动，能在活动过程中感到快乐. 二、数学游戏中蕴含的数学知识 数学游戏中蕴含的数学知识很大程度决定了不同数学游戏的教育功能，所以有必要对数学游戏中蕴含的数学知识进行讨论. 数学游戏与数学知识之间存在两种联系：一种是游戏中任务与具体数学问题之间存在一种转化关系，使得两者本质上是一致的；另一种是运用游戏外的数学工具对游戏进行分析研究，可获得更多的数学结论[6].所以数学游戏中蕴含的数学知识有两类，第一类是解决“同构”于游戏的数学问题所涉及的数学知识，第二类是把数学游戏作为研究对象进行分析研究所涉及的数学知识. 不少经典的数学游戏之所以受到数学爱好者、数学家的热爱并研究，是因为这类游戏一般都具备上面的两类数学知识.由于具备上述条件，一些经典游戏，如七巧板、华容道、九连环、汉诺塔等收到数学爱好者、数学家普遍的欢迎.以七巧板为例，七巧板是中国最古老的智力玩具之一，由一个正方形、五个三角形、一个平行四边形组成的.七巧板游戏形式有“单人拼图造型”、“七巧图变换”、“增减正规七巧图边数游戏”、“‘滑动七巧板（Sliding Tangram）’游戏”四种[8]，其中，“‘滑动七巧板’游戏”并不算是严格的数学游戏，因为其更多的是肢体技巧的应用.前三种游戏形式实质上是在一定规则下的等积变换问题，需要处理角度、长度、面积的计算问题.把七巧板作为研究对象，有这样的一些问题值得研究：“七巧板能构成多少凸多边形？”、“七巧板悖论”、“七巧图中的空洞”等，这些问题涉及组合学、拓扑学、图论等数学知识的应用[8].还可以运用概率统计的知识获得七巧板的难度分级方法及拼凑技巧[9]，可见七巧板作为数学研究对象能够获得不少有别于游戏胜负的数学成果. 是否所有数学游戏都具备第二类数学知识？这取决于数学游戏本身的特点以及游戏参与者对其思考程度.经典的数学游戏的共同特点是简单，包括规则简单、道具简单、形式简单.从数学美学角度，简单的结构正符合数学学科特点，易于一般化处理，也可以通过添加不同的约束来进行深入讨论.所以简单的数学游戏更“容易”蕴含第二类数学知识. “这个游戏就像……；你能在……的情况下获胜；这个结论对于所有情况都适用；我能证明这个策略为什么可行；我能以这样的形式记录游戏”，这些对于数学游戏的讨论分别蕴含了同构、特殊分析、一般化、证明、符号化五方面的内容[6]，能够揭示数学游戏所反映的数学思想方法. 所以，挖掘数学游戏所蕴含的数学知识需要深入的分析研究，这对游戏参与者的数学认知水平要求较高，学生不一定能达到这样的水平，而往往需要教师的指导.所以，在教学应用方面，数学游戏中的数学成分被发现、被利用的程度决定于数学游戏本身的数学内涵和教师课堂教学策略. 三、数学游戏的教育功能 数学游戏蕴含丰富的数学知识，可以考虑把数学游戏作为知识的载体用于数学教学.但怎样的数学游戏才合适用于数学教育呢？安利（Ainley）认为，并非所有的游戏都能作为教学工具，只有具有结构成分及规则上的数学背景，且其根本数学内涵是游戏中致胜关键的游戏才能成为有效的教学工具[10].达信认为应用于教学的游戏应能呈现其数学本质，并使学生产生浓厚的兴趣和高度的热情，且只能通过玩游戏才能获得对数学对象的深刻理解[6].所以，数学教学对数学游戏的数学特性有很高的要求.除了数学知识的教学外，数学教育还应关心学生的能力、情感等方面的培养，以及数学课程学习的评价. 1.知识与技能的获得 数学游戏情境可以帮助学生获得并理解数学概念[11].数学游戏是实现数学从学术形态向教育形态转化的最佳平台[12].例如游戏中的丢骰子、转盘活动可以帮助学生理解“概率”概念. 数学游戏可作为数学运算、技巧的练习与巩固.游戏可以创设出有意义的情境[11]，可使枯燥的练习变得生动有趣[4]，让学生愉快地进行巩固练习.例如游戏“覆盖游戏（Cover Up）”可以用于小学分数加法的巩固练习[13]. 数学游戏可以发展学生的数学思维能力和问题解决能力[4，10，11].问题解决策略的运用是数学思考的一个重要概念，估计、近似、对复杂问题符号化处理、寻找模式、推理论证以及假设都属于数学问题解决策略.数学游戏可以作为学习问题解决策略的丰富的资源[13]，例如经典游戏“抓三堆（NIM）”和“双石棋（KO-ON）”，游戏规则都很简单，但却是需要从数学角度分析、寻找好策略才能获胜的游戏. 数学游戏有助于提高学生的创造力.在日常教学中，学生没有机会创造出适合自己的练习，给自己创设任务，但是在游戏环境中，可以通过鼓励学生创造出属于自己的游戏[10]，或者是修改一个现成的游戏[14]，培养学生的创造性思维. 2.数学活动的开展 数学游戏可作为数学活动融入课堂，帮助学生获得直接基本活动经验.我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》在强调培养学生“双基”——基础知识、基本技能优势的同时，关注学生基本思想和活动经验，重视培养学生创新意识和实践能力[15].所以，在义务教育阶段的数学课堂中，开展系列数学游戏活动，在游戏中渗透数学知识、数学思想方法，可以帮助学生获得直观切身的体验，让学生在玩中学.通过数学游戏，学生可以加强对数学概念、数学定理、数学方法等数学知识的理解，也可以把已学的数学知识应用到游戏决策中. 数学游戏可以促进数学讨论活动的开展.许多数学游戏都有益于促进和鼓励数学讨论，尤其是合作类游戏.数学讨论并不局限于师生间的讨论，还包括生生间的证明、怀疑、举反例以及对不同建议、意见的讨论分析[16].在有关游戏的讨论过程中，尤其是分组竞赛类游戏规则下，学生需要在没有教师的帮助下学习，这可以培养学生学习独立性[17].特别地，对一个数学游戏进行“玩后反思”的讨论活动，有助于发掘数学游戏中的有别于数学游戏本身的数学结论. 3.数学兴趣与情感的培养 数学游戏有助于提高学习数学的积极性[11].仅就在数学游戏中取胜而言，数学游戏对系统数学知识的要求较低，游戏参与者一般了解游戏规则后即可开始游戏.而且，数学游戏可以减少学生对失败和错误的恐惧，让学生建立自信并形成对数学积极的态度[14].以积极的态度，学生可以在教师的引导下进一步地探索、研究数学游戏所蕴含的更为深奥的数学知识、数学思想、数学方法. 数学游戏有助于提高社交能力[10].在关于数学游戏的谈论过程中，学生需要学会聆听，需要学会表达自己的想法，这都有助于提高社交能力.数学游戏亦可作为一项社交活动，一种兴趣爱好，一种自我放松[14]，数学游戏有其独特的社会性. 数学游戏可以让学生感受多元文化.人们需要能够传承文化和凝聚社会的娱乐性课程，享受世界各地优秀数学游戏带来的快乐，例如国际象棋（Chess）、国际跳棋（Draughts）、围棋（Go）、多米诺骨牌（Dominoes）、扑克牌游戏500、九子棋（Nine men's morris）、宝石棋（Mancala）等古老的游戏都蕴含直观的数学[7].通过接触古人的智慧结晶，学生可了解各国文化，增广见闻. 4.诊断和评价的工具 游戏的难度等级可作为学生评价的一个标准.数学游戏，尤其是任务挑战型的数学游戏一般有不同难度等级形式.一般来说，学生所能解决的任务难度越大，则说明学生的数学思维能力越强.不过这里存在的问题是，对于同一款游戏，不同形式之间在挑战难度上是否存在明确的分界？不同难度之间是否仅存在数量上推广关系，即是否仅仅是数量上递增，而在数学思想方法上没有差别？前面提到的关于七巧板难度分级及拼凑技巧的研究其实也就在试图解决这样的一些问题，或者说是给出一个合理的解释.把学生在不同难度级别游戏的表现作为评价标准，实质上是把游戏当作一个量表工具，所以其效度和信度上的问题都是需要考虑清楚的. 学生在数学游戏中的言行表现可作为学生评价的一个参考.有别于常规的笔试考查，数学游戏中的个体行为和小组讨论能够反映出学生的实时思维过程，学生的自由表现让教师获得相对于成绩评价、常规笔试测验更客观的诊断与评价[17].另外，学生在对游戏进行思考的时候会自发地在纸上留下做记号、运算等能够反映数学思维状态的记录，这些都是可以用于学生诊断和评价的珍贵的材料.此外，教师还可以引导学生把思维的过程记录下来，通过口头引导、发放特定记录表格或调查问卷等方式，对材料进行收集、回收并用于分析. 四、数学游戏应用于数学教育的若干建议 1.把数学游戏应用于课堂教学中 开展以数学游戏为主的活动课堂，能给学生提供玩中学的直接活动经验.数学游戏课堂更适合于作为第二课堂、选修课，这样可以放宽课堂中数学游戏的选择范围要求.怎样的数学游戏才不仅仅是游戏？高夫给出了好的教学游戏的三个特征：受学生喜欢，学生会在空闲时间进行游戏；学生在游戏中不仅利用经验总结获胜，更是从这些经验总结中学习具体的数学知识、思想方法等；学习过程同步于游戏的进行，不提前不滞后[7].第三点强调游戏课堂不仅仅只有游戏，而是玩与学的同时进行.在教学过程中，教师可以根据教学需要和学生特点设计游戏活动，开展数学游戏活动，让学生把“要我学”的外部动机转变成“我要学”的内部动机. 以数学游戏作为数学问题情境，让游戏中的数学作为课堂教学的线索.针对某些数学课程，教师还可以发挥自己的想象，设计适当的数学游戏辅助教学. 2.关注传统数学游戏 在21世纪，身处互联网时代的人们的很多休闲时间都被互联网以及各类电子产品占用，儿童玩具也越来越倾向于电子化，而一些古典数学玩具如七巧板、九连环、华容道、数独、孔明锁、解扣玩具等则被嫌“高深”而受国人冷落，但又因为“高深”得到国外友人的连连称奇[18].古典数学玩具是我国古代人民智慧的结晶，有着丰富的数学内涵，非常值得我们后人学习，为什么古典数学玩具不能成为现在儿童的“玩具”？因为缺乏指导，家长和教师对于这些传统数学游戏的教学功能知之甚少，更不用说指导儿童进行游戏，最多也就买来玩具，直接扔给小孩. 然而，随着科技的发展，各种大触屏移动终端的流行让一些传统的数学游戏又开始得到关注，现在有不少传统数学游戏能在PC、ios、安卓平台上实现，但是这些电子游戏是否让传统玩具变味了？或者说儿童在这些电子游戏的时候失去了什么？玩具不再是实体的，仅仅是按钮上的操作或者是屏幕上的比划使儿童失去了动手操作的机会，失去了获得实体玩具的触感，这有碍于儿童创造性思维的发展.所以，我们应该关注传统数学游戏，并将其以原始的、传统的形式呈现给儿童. 3.关注数学游戏的教学研究 正如前面提到的，无数的经典数学游戏都得到了数学家的关注，经过数学家的研究，这些经典数学游戏更是给数学学科增添了新分支或者得到了很多有趣的数学结论.另外，还有不少的游戏开发者根据数学的特性设计出趣味数学游戏.但是，却少有人关注这些数学游戏在数学教育上的应用，可能游戏中的特殊结论只有数学家才能“玩”出来，可能儿童在游戏的过程始终体会不到其中的数学知识，这时候，儿童需要得到指导，而指导者则需要数学游戏的教学理论. 一款数学游戏是否能作为教学游戏？为什么能成为教学游戏？涉及哪些具体的数学知识？怎样才能实施教学活动？能够达到什么样的学习目标？这些都是数学游戏教学研究需要解决的问题.在数学游戏应用于数学教育的研究上，国外的学者走在我们前面，他们的研究方向和研究范式都很值得我们学习，我们需要根据国情，把数学游戏真正应用到数学教育中. 总之，数学游戏应用于数学教育的研究课题广泛、意义重大，我们既要关注国际数学游戏与数学教育的研究动态和成果，也要结合中国的教育特点，做出有实际价值的研究，这是中国数学教育研究与国际接轨的一个举措，也是当前深化数学课程改革的重要课题.