蚂蚁、通道与数学建模，本文主要内容关键词为：建模论文,蚂蚁论文,通道论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学建模过程含有几个步骤：先承认一种情境，作一些假设，把这些假设转为数学论述，再解决数学问题，最后根据情境解释这些结果。
本文讨论一个昆虫学中情境的数学建模实例，通过它可以阐明实际中导数的应用，使学生了解并参与数学建模的过程，让学生知道数学可以应用于许多有趣的领域。
1 问题的提出
一只蚂蚁建立一个通道用多长时间？
我们通过向学生提问，就这个问题展开讨论。他们要时刻注意：
通道有多长？
它们在何种材料中挖掘？
仅一只蚂蚁，还是一群蚂蚁？
通道是什么形状，弯曲的、向上的、向下的、还是直的？
通道有多大？你知道它的圆周是2cm、1cm，还是通道小的只够蚂蚁通过？
蚂蚁为什么建立通道？
我们能否在蚂蚁村观察到这样一个通道？
当然，这些问题，我们有的考虑，有的不得不舍弃，因为鼓励学生去努力做是我们的工作重心。学生的假设，有些要精确，有些可以近似，我们希望学生通过实践，了解并参与数学建模过程，达到解决问题的目的。
2 蚂蚁建立通道的模型
在我们的问题、经验和对蚂蚁的观察中，我们只注意情境的简单情况而不是复杂情况，我们考虑下面五个假设：
①蚂蚁将建立一个平直的通道；
②蚂蚁将在均匀的、潮湿的优质沙土上建立通道；
③蚂蚁在搬运东西时和没有负担时的速度不变；
④通道的横截面为恒定不变；
⑤蚂蚁正在一个沙墙边掘进通道。
最后一个假设是希望问题不至太难。
当考虑我们的原始问题：“一只蚂蚁建立一个通道用多长时间？”时，我们更确切地问：“一只蚂蚁在均匀、潮湿、优质的沙子中挖掘一条长xcm的平直通道用多少时间？”
先假定上述问题中通道长为x，所用时间为T（x），我们寻找T （x）的精确描述：见图1。
我们鼓励学生提出问题，猜测T（x）的性质：有的同学说T（x）＝ax，a为常数，“为什么？”听起来有道理：x越长所用时间T（x）越多。开始时，我们注意T（x）具有上述特征，没有理由说明这种猜测不合适。但我们要问：“当通道长由x变为2x时，T（x）也变为2T（x）吗？”这是线型模型的结果，它合理吗？因为蚂蚁要从更深的通道中搬运沙子出来，它所用时间能和开始时一样吗？我们指出要仔细地考虑这个情境，见图2。
通过图2我们看通道长x增加到x＋h，蚂
我们注意到T（x）＝ax[2]/2，问：“它是合理的模型吗？”再问“为什么它比T（x）＝ax线性模型合理？”请看下面讨论：当x 增加一倍到2x时，线性模型有：
T（2x）＝a（2x）＝2（ax）＝2T（x），它说明当蚂蚁所建通道增加一倍时，所用时间也增加一倍，似乎有道理，其实不然，我们来看图3。
由图3，我们发现了线性模型的不合理性，很明显蚂蚁挖掘AB 段运沙出来的路程和前面OA段的路程不同，即要长些，所以时间也相应要长。因此，我们怀疑线性模型的不合理性。那么，让我们看用导数——积分所建的模型T（x）＝ax[2]/2是否合理。同样问题，当x增加一倍时
T（2x）＝a（2x）[2]/2＝4（ax[2]/2）＝4T（x）。它说明当路程x变为2x时，所用的时间是原来的4倍，即蚂蚁挖掘深一些的通道时所用的时间要长一些，这是合乎实际情况的。
我们还可以这样解释所建模型的合理性：由图3，设掘进AO 段用一个单位时间，则掘进AB段用了三个单位时间，其中一个单位时间专门用于掘进AB段时，路过OA段（只考虑跑进）所花的时间，一个单位时间路过OA段（只考虑跑出）的时间（这都很容易证明），最后一个单位时间用于掘进AB段（此时假设AB段与AO段位置是一样的）。因此，我们所建的数学模型T（x）＝ax[2]/2是合理的。
当然，我们所建数学模型还是粗略的，如果有实验数据，它更精确。但无论如何这是一种尝试，我们应当鼓励学生们努力去做。