晋城市第一中学 山西 晋城 048000
【摘要】在物理学的许多领域，如力学、热学、电学等，都存在着对于一个过程一次性完成和分步完成的区别，比如说力学中的多级火箭，热学中对物体加热，电学中电容器的充电。在这些现象中，提供能源的因素在少量多次投入时要比一次性投入更加高效。如果能够意识到这些区别，人们可以充分利用可用能源，来使效益最大化。
【关键词】物理学；火箭；物体加热
下面探讨这些方面的几个例子：
一、多级火箭问题
工质，即实现热能和机械能转化的媒介物质，通过其在热机中膨胀做功推动火箭、飞机等的行进。就火箭来说，如何能够在节省燃料的同时使飞行高度最大化，向来都是人们所关注的问题。
假设有一装满燃料的火箭，其总质量为M，燃料的质量为m。当火箭向外喷出燃料时，燃料相对于火箭的速度为u。火箭在喷射过程中内力远大于外力，所以将重力和阻力忽略来简化问题。
（1)火箭在短时间内一次性喷出所有燃料:
根据动量守恒，有：（M-m）v0=m（u-v0），（v0是喷出燃料后火箭的末速度）,解得:v0=muM。
（2)火箭在在一段时间内间隔喷出所有燃料，设喷射了n次：
则有：
²第一次：M-mnv1=mn u-v1；
²第二次：M-mnv1=M-2mnv2-mn u-v2；
²第三次：M-2mnv2=M-3mnv3-mn u-v3；
²第四次：M-3mnv3=M-4mnv4-mn u-v4；
......
²第k次：M-（k-1)mnvk-1=M-kmnvk-mn u-vk；
总结规律，可得到：vk-vk-1=1nmuM-k-1nm (2≤k≤n）。
则有:
vn=vn-vn-1+vn-1-vn-2+vn-2-vn-3+…+v2-v1+v1
=mu1n(1M+1M-mn+1M-2mn+…+1M-(n-1)mn)
=mui=0n-1（1M- in×1n）
如图：f(x)=1M-mx:
可以看到，随着n的增大，图形阴影部分面积越大，则vn越大。
当n = 1时，v1=v0（v0即为火箭一次性喷出燃料的末速度）。因此，将燃料分开喷出的次数越多，最终获得的速度越大。显然，火箭获得的速度不会无限增大，当n→∞时，有：vn=mui=0∞（1M-in×1n）=mu0m1M-mxdmx=mulnMM-m
此时的速度最大。
从以上推导可以看出，将燃料分多次喷出要比一次喷出最终获得的速度大，这也就是现代火箭多采用多级的原因。但是由于技术限制，火箭级数一般不超过四级。
二、物体加热问题
在生活中，人们有时会遇到用热液体去加热零部件（预热）使之达到要求温度的问题。类似的，这个问题也存在多过程与单过程的区别：设有一质量为M，温度为a K的工件，用质量为m，温度为b K的液体去加热工件（b>a）。工件的比热容为c1，液体的比热容为c2，不计倒水过程中的热损失。
（1)一次性倒光液体，达到热平衡后，有：c2m（b-t0）=c1M（t0-a）。
解得工件末温：t0=c 2mb+c1MaMc1+mc2。
（2)分n次加入液体，每次打到热平衡后将液体倒掉：
则：
²第一次：c2mn（b-t1）=c1M（t1-a）；
²第二次：c2mn（b-t2）=c1M（t2-t1）；
²第三次：c2mn（b-t3）=c1M（t3-t2）；
²第四次：c2mn（b-t4）=c1M（t4-t3）；
......
²第k次：c2mn（b-tk）=c1M（tk-tk-1）；
归纳可得到：tk=c2bmnc1M+c2mn+c1Mc1M+c2mntk-1。
令：P=c2bmnc1M+c2mn ，s=c1Mc1M+c2mn。
可得递推数列：
s(tk-1+ps-1)=tk+ps-1；
tk=(t1+ps-1)sk-1-ps-1。
又有t1=c1Ma+c2bmnc1M+c2mn=p+as。
带入p、s、t1 进行化简，有:
tk=(a-b)sk+b；
tn=(a-b)sn+b。
由于s<1，则当n增加时，sn减少，有a-b<0，故（a-b）sn+b增大。
当n=1时，相当于一次性倒光液体。当n→∞时，sn=11sn=1(1+mc2Mc1n)n。
经上网查阅资料，令mc2Mc1=D，则sn=11+D+D22!+D33!+…+Dnn!+…=e-D，tn=(a-b)e-D+b。
由此可知，分开倒入液体的次数越多，末态的温度越高，即升高到相同温度所需热液越少。
三、电容器充电问题
设有一电容器电容为c。现有n节内阻为r，电动势为E的电池，使电容器积累Q的电量。先讨论多过程和单过程的区别：
（1)将n节电池一次性串连接到电容器的两端：
电容器的电量将会达到Q，意味着在充电过程中有Q的电荷流过电源。电池所做的功 W0=nEQ。
（2)将n节电池一节一节串入电路，当接上一节电池后电路中无电流时再接下一节电池：由于每次的电压增加E，则每次电容器两端的电荷量△Q=Ec=Qn。
²第一次：W1=EQn；
²第二次：W2=2EQn；
²第三次：W3=3EQn；
......
²第n次：Wn=nEQn。
则将电容器充到电荷量为Q的整个过程，电源做功：
W总=W1+W2+…+Wn=EQn(1+2+…+n)=EQ2(n+1)。
显然，当n≥2时，W0>W总，一次性接入电池所做的功比一节节接入做的功多。所以将电容器分步充电可以减少能量损失。
实际上，在日常生活中，还有许多现象涉及到单过程和多过程，而它们还在等着人们去发现，去探索。物理学是充满着神奇的，只要用心观察，善于发现，它带给人们的惊喜将是无穷无尽的。
（指导教师：巩艳俊）
论文作者:闫昊宇
论文发表刊物:《成功》2018年第12期
论文发表时间:2019/7/5
标签：火箭论文; 燃料论文; 电容器论文; 液体论文; 速度论文; 工件论文; 过程论文; 《成功》2018年第12期论文;