计算机技术与数学创造性思维培养，本文主要内容关键词为：创造性思维论文,计算机技术论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学创造性思维是指主体在数学学习过程中，通过自己的独立思维活动解决数学问题的思维过程，一般分为4个阶段，即选择与准备、酝酿与构思、领悟与突破、完善与检验，其结果是一种对已有数学知识的再发现，或是解决了一个新的数学问题.波利亚认为数学教育应尽可能地为学生从事独立的创造性活动提供机会，任何一个学生都可以在某一水平上进行数学创造性思维活动.数学教学实践表明，数学创造性思维培养的关键是激发学生创造性思维的发生机制，计算机技术在数学教育中运用，可以帮助学生积累数学知识，优化认知结构，激发学生创造性思维诱因，从而加强学生形象思维、发散思维和直觉思维的培养，使学生辩证地运用各种思维方式进行数学创造性思维.笔者将根据数学创造性思维形成理论和计算机技术的特点，通过对数学CAI典型案例的分析，具体探讨如何利用计算机技术培养学生的数学创造性思维.
1 积累数学知识 优化认知结构
数学创造性思维依赖于扎实的基础知识和技能，并使所学的数学知识与方法系统化、条理化，所以，优化学生已有的数学认知结构是进行数学创造性思维的前提.由于数学知识，特别是作为数学教育内容的基础知识，可以用不同的数学命题来反映.其中有的反映方式便于学习、理解和掌握，有的则不然，像一些抽象、严谨，适合于科学研究的反映方式，则不利于数学教育.所以在培养学生数学创造性思维过程中，必须谨慎处理数学命题的反映形式，尽可能让学生容易理解，形成良好的数学认知结构.在数学教育中笔者常可以看到这样的现象，学生听懂了教师讲课的内容，却不会独立解题，更谈不上创造性思维了.计算机技术在数学教育中的运用，以其形象直观的特点对数学对象进行多重表征，使数学知识的反映形式更加适应学生已有的认知基础，便于学生学习数学，深入理解数学知识，优化数学认知结构，是培养学生数学创造性思维的良好认知工具.
案例1 圆柱、圆锥、圆台的侧面积学习.
研究圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系时，教师往往采用以数学符号为表达形式的公式分析和语言文字分析相结合，说明3个公式之间的联系.学生的理解一般都只停留在短时记忆阶段，当时是懂了（能够独立写出3个公式并阐述3者的联系），但在以后解决问题时却不能灵活运用.一次课上学生在知道圆台的侧面积公式的同时，还在拼命地用脑子回忆圆柱、圆锥的公式，而不是用3者之间的联系来帮助回忆，这一现象的根本原因就在于他们当时仅仅是听“懂”了，只是搞清楚了教师的语言，教师正在进行的每一个运演步骤，学到的知识在大脑中的储备情况是零散的、片断的，至于数学最为本质的思想并没有在头脑中形成有机轮廓，所以这些知识在以后的运用过程中很难系统地发挥作用.笔者针对这一情况，采用计算机辅助教学，把圆柱、圆锥、圆台3者侧面积关系首先转化为3者的图形关系；演于了由圆柱变成圆台再变成圆锥的过程，在此观察基础上让学生分析出3者的侧面积关系，利用计算机技术创设情境，对数学的理论达到能洞察其直观背景，并能看清楚它是如何从具体特例过渡到一般抽象形式.这种数学方法的测试结果显示学生能把这一知识纳入长时记忆中，取得较为理想的教学效果.我们的教学反思表明，数学公式和数学语言虽然精练，但有时不利于学生理解，而利用计算机技术呈现数学对象时，可以超越传统数学言语的表达形式，加深学生对数学的体验，有利于观察和发现数学现象的本质，形成良好的知识结构，在数学创造性思维培养中不失为一种有效的手段.
2 激发学生创造性思维诱因
计算机技术能使一些数学关系可视化，并能展现出数学关系的变化过程，快速反馈验证结果，它缩短了学生获取数学体验的时间，使数学教育有足够多的时间在高层次思维水平上进行，使学生对数学的理解更深刻.比如利用计算机技术创设平移、旋转、反射对称、放大、缩小，跟踪轨迹情境，进行设疑、制错、创难、求变，激发创造性思维诱因，是计算机培养学生数学创造性思维的又一特长.我们根据新旧知识内在联系和学生的认知水平，设计出有利于学生探索的多种情境，利用新旧知识之间的矛盾激发学生创造性思维诱因，让学生提出问题、发现问题、解决问题，综合运用各种思维方式进行创造性思维.
案例2 “蝴蝶定理”的学
从圆O任意一条弦的中点E作2条直线交圆得4个点（如图1所示），连接2条线段后，得到的图形像是一只蝴蝶，2条线段与弦分别交于点L、M，则有：LE=EM[1].
图1 圆（一）
学生不难证出这道题.计算机技术可以让学生验证这个结论.在几何画板上，利用其度量功能，移动E点观察2线段长度，让学生“看”到定理成立.这一验证激发了一位学生的兴趣，他提出如果再加一个同心圆，2圆与直线相交得8个点，如图2所示，连接得到一个扩展的花蝴蝶，其2翼与弦交得4个点与E相连成线段，是否也有某种等式关系.比如，
SE+TE=EU+EV或SE·TE=EU·EV，
这种创新的猜想也许并不稀奇，但是在传统的学习环境下，这些猜想很难验证正确与否，最后只能不了了之，掩没了创新思维的火花.而现在这位学生，在计算机技术的支持下很快验证并否定了这个猜想，并在验证过程中产生了新的猜想，最终得出
SE·TE/（SE+TE）=EU·EV/（EU+EV）
图2 圆（二）
这个完美的等式，并用数学逻辑进行了证明.在此例教学中计算机技术提供了新的数学学习环境是该生能够顺利进行创新思维的重要诱因，没有计算机提供的实验环境，进行快速测量与及时反馈，学生就会用更多的时间去做低水平的数学任务，渐渐地失去进行创造性思维的激情.因此，我们必须充分挖掘计算机潜力，创设出更多、更好的数学学习环境，使它成为培养学生创造性思维的有力工具.
3 培养学生创造性思维的典型案例
在数学思维方式、方法方面，由于创造性思维并非是一种单一性的思维，因此必须充分重视形象思维、发散思维和直觉思维的培养，并注重各种思维方式的辩证运用，以达到对学生创造性思维培养的目的[2].计算机技术在数学各种思维方式培养方面，以其可以揭示出数学知识的发生、发展过程，挖掘出具体知识背后的数学思想和方法，充分暴露数学思维过程等优点，使学生创造性思维能力得到培养.
（1）利用计算机技术培养学生数学直觉思维能力的典型案例分析.
案例3 对椭圆与双曲线“离心率”的认识.
“离心率”是刻画椭圆与双曲线形状的一个数值，但利用传统的教学手段很难说清这里“数”与“形”之间的内在联系.对于一个确定的曲线（椭圆或双曲线），一眼看去谁也无法说出离心率确切的数值；反之，在给定了离心率的数值后谁也无法在黑板上画出与此对应的准确的图形.至于离心率变化时曲线的形状如何随之变化，双曲线的离心率与渐近线之间夹角的内在联系，传统教学只能通过教师的讲述启发学生用“心灵”去想象了.借助于计算机技术，学生的直觉思维被激活了.首先屏幕上的线段c与a的长度可以通过鼠标拖动其端点加以改变，这时椭圆的形状也随之改变.学生通过观察第一直觉是椭圆的形状是能够用c与a之比反映的，再利用“几何画板”的测量功能即时地测量出c与a的长度、计算出它们的准确的比值并显示在屏幕上，由此可以方便地实现由定性到定量分析的过渡，把问题引向深入.用什么数值刻画椭圆的形状最适合呢？进而研究离心率的大小与曲线形状的内在联系，什么时候椭圆显得更“圆”，什么时候显得更“扁”；学生的直觉思维产生的猜想，立刻在计算机上可以进行验证.同时关注c与a的大小关系对图形的影响，当把c的长度调整到比a大时，屏幕上的椭圆变成了双曲线，再利用实验的方法研究离心率对双曲线的形状与渐近线的夹角的影响.计算机的参与，使学生的直觉思维一步步得到验证，同时又产生一个又一个新的直觉思维猜想，为学生创造性思维培养创设了良好的条件.
（2）利用计算机技术培养学生数学形象思维能力的典型案例分析.
案例4 极限形式化定义学习.
其内容已经超越感官上能直接把握的直观化对象，是学生最难理解的定义之一.如果借助计算机技术构造想象来帮助理解这一定义，可以取得特殊的效果.数列极限的“ε-N”定义，学生遇到语句如此长的数学定义，加上其中包括那么多的数学符号：ε、
、A、n、N，要让学生理解它，必须从学生可接收的粗略的描述极限的语言出发过渡到十分形式化的ε-N定义.为此，我们利用计算机技术设计了如下的情景.在“如果一个无穷数列变到后来无限制地接近某一个常数A，就说这个数列的极限是常数A”这句话的下面动画式地依次显示：①接近某一个常数A；②无限制地接近某一个常数A；③变到后来无限制地接近某一个常数A.接着又在这3句话的后面依次显示：①｜-A｜是一个很小的正数；②｜-A｜能够要多小有多小，即对无论多小的正数ε，不等式｜-A｜＜ε能够成立；③对于预先给定的无论多小的正数，只需取足够远的项N，那么它以后所有的项都满足｜-A｜＜ε.稍后以此为背景我们开出一个窗口显示出数列极限的ε-N定义.在此之后，通过具体例子用图表显示｜-A｜的值；用模拟的放大镜在数轴上显示表示数列的点动态地趋向其极限的情况；为帮助学生深入理解ε-N定义，利用计算机创设了自由探试的环境：让学生自由地键入N，屏幕则显示相应的一个N及后面的5项的值和这些项与极限的误差.通过反复实验，利用计算机技术对极限的形式化定义精心设计其逐次精确化的过程，使原来难懂的极限的ε-N定义，变得容易理解了.这是一种帮助学生形象思维新的尝试，它让学生通过亲身参与实验与运算而不是听教师讲授来领悟数列极限的概念.从感知到了解再过渡到形式化的定义，逐次抽象，利用计算机技术激发学生已有知识和新知识之间的联系，帮助学生进行形象思维.
（3）利用计算机技术培养学生数学发散思维能力的典型案例分析.
案例5 点的轨迹学习.
如图3，C是圆A内的一个定点，D是圆上的动点，求线段CD的垂直平分线与半径AD的交点的轨迹方程.
图3 圆（三）
学生通过分析可得它的轨迹是一个椭圆，至于它是否正确，如何检验是传统教学中一个难点.如果不经过验验，学生难以形成对轨迹的感性认识，无法看清问题的本质，即使开展变式训练，也难以达到发散思维训练的效果.此时若用计算机技术辅助教学，让学生用几何画板软件，亲手实践，拖动点D，保留点F的轨迹，学生目睹了椭圆轨迹的形成过程，同时发现EF一直是椭圆的切线，可以深入理解椭圆的第一定义.在此基础上进行一系列研究，如在CD上另取一个点G，探求点G的轨迹；探求CF的中点I的轨迹，问题的提出了与解决激发了学生的兴趣，学生开始自己提出问题，进行联想、类比和直观推理.若点C拖到圆外，以上各题的点的轨迹会发生什么变化？在EF上取一点S，S的轨迹是什么？计算机技术使我们可以深入研究这道题，通过这些探究使学生明确探求一个点的轨迹，主要从2个角度解决问题，一是找出动点变动的几何条件，二是影响动点变动的因素，一位同学在自编变式练习过程中，想寻找椭圆的另一条关于长轴对称切线，通过延长线段DA交圆于G，连结CG，作它的垂直平分线（另一条切线）交EF于H，发现不论切线怎么变化，2切线交点H的轨迹是始终在一条直线上（如图4），仔细研究证实这条直线是椭圆的准线，从而将椭圆的第一定义与第二定义在这个变式练习过程中有机地联系在一起，计算机技术在培养发散思维过程中显示了巨大的威力，发散思维最终让学生归纳出同类问题的解题规律同时，还发现了数学定义间必然的联系.
图4 圆（四）
综上所述，利用计算机技术创设数学教学情境，培养学生数学创造性思维是实现数学教育现代化的一条有效途径.计算机技术以其能对数学对象的多重表征、形象显示和快速反馈的特长，帮助学生积累数学知识，优化认知结构，激发创造性思维诱因，在培养形象思维、直觉思维和发散思维中发挥重要作用，促进学生数学创造性思维的培养.但同时也要防止过分依赖媒体视觉化的效果，影响思维的深度，导致数学抽象思维能力的削弱.