中考数学试题中存在的问题，本文主要内容关键词为：中考论文,数学试题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
作为兼有学业水平考试和升学考试性质的中考，其试题客观上也承载了对初中数学教学的导向功能。综观近几年全国各地的中考数学试卷，不论从试卷的结构、考查的内容，还是试题本身的效度、信度等方面均能较好地体现中考的性质。特别是各地在试题的呈现方式和题型设计上均进行了难能可贵的尝试与创新，这些尝试与创新对落实《数学课程标准》的新要求，引导数学教师推进数学课程改革起到了积极的导向作用。但是从近两年全国各地的中考数学试题看，一些试题还存在这样那样的问题和不足，为此，我们收集了一些具有典型意义的中考数学试题与老师们共同探讨，虽有吹毛求疵之嫌，但决无吹毛求疵之意。
一、试题的现实背景设计存在的问题
设计有现实背景的数学试题，引导学生关注生活、关注社会，体会数学与现实生活的联系，已成为各地中考试题命制者的共识，也为数学教学起到了良好的导向作用。但试题背景的科学性、有效性、公平性，仍不失为应探讨的问题
例1.（2010年湖北宜昌）下列五幅图是世博会吉祥物照片，质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则抽到2010年上海世博会吉祥物照片的概率是()。
本题以五届世博会吉祥物为背景，不仅有吉祥物的图片，还有相应的文字说明，但考查的内容只有一个，用列举法求概率。说得更具体一点就是，从五张照片中任意取一张，抽到某一张照片的概率。试题的背景关注时事，形式新颖，还配有漂亮的图片，初看确实能吸人眼球。如果作为练习题，对于调节数学学习中沉闷的氛围、增长见识，无疑有其特殊的价值。但是将其作为中考试题，我们有必要思考如下几个问题：所提供的图片及文字说明与我们期望考查的目标有怎样的关联？学生看完所提供的材料后获得了些什么？对问题解决有什么影响？设计这类大背景小数学的问题，一定程度上引发了数学教学中“应考小技巧”的灌输——“遇到用科学记数法表示的问题，不要看前面复杂的文字，只要看清‘将什么数用科学记数法表示’”。也许类似例2的考题就是始作俑者。
例2.（2010年山东济南）作为历史上第一个正式提出“低碳世博”理念的世博会，上海世博会从一开始就确定以“低碳、和谐、可持续发展的城市”为主题。如今在世博场馆和周边共运行着一千多辆新能源汽车，为目前世界上规模最大的新能源汽车示范运行，预计将减少温室气体排放约28400吨。将28400吨用科学记数法表示为()。
例3.（2010年湖北天门）从同一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取一张，牌面上数字是“8”的概率是＿＿。
本题以扑克牌为材料考查概率的计算，不知命题者的本意是否还兼有“设计学生感兴趣的问题”和“引导学生关注生活”之意。我们也有理由相信，“所有考生中存在不知道一副扑克牌的构成的学生”是小概率事件，但是小概率事件总是有可能发生。从这一角度来看，作为严肃的中考试题，保证试题背景的公平性应该成为命题者必须关注的问题。
例4.（2009年湖南怀化）怀化市管辖13个县（市、区），2008年怀化市国民经济生产总值达到了500.6481亿元。下表是2008年怀化市各县（市、区）国民经济生产总值的统计表（单位：亿元）。
(1)计算怀化市2008年各县（市、区）国民经济生产总值的平均值（用四舍五入法精确到0.0001）；
(2)求出各县（市、区）国民经济生产总值这组数据的中位数；
(3)上述平均值、中位数哪一个数更能说明怀化市各县（市、区）国民经济生产总值的水平？
本题以国民经济生产总值为背景考查平均数、中位数的概念，但第1问的设置有诸多欠妥之处。首先，该问属于人为编造的不具有科学性的试题。众所周知，国民生产总值(GDP)是衡量一定区域内经济发展状况的最重要的宏观经济指标，更多地我们用区域内人均国民生产总值来衡量该区域经济发展程度，但用全市GDP总量除以县（市、区）个数而得出的“各县（市、区）国民生产总值的平均值”是没有科学意义的，计算这样的量没有实际意义。其次，本题的计算过于繁琐，所考查的内容仅仅是“除法运算”和“小学阶段所认识的平均数”，并不是初中阶段有关平均数理解的核心内容，有悖于新课程的要求。再次，既然呈现了统计表，将题干中该市国民经济生产总值一并列入统计表更为合理，否则，稍不注意就有可能将表中数据相加再求平均值，有失试题的效度。
二、“阅读与理解”型试题中存在的问题
“阅读与理解”型试题是新课程实施以来中考试题中出现的新题型。这类试题有利于考查学生在经历数学活动过程中所表现出的观察、归纳、理解和运用所学知识解决问题的能力。这类试题的出现，对教学中注重引导学生参与并体验数学活动的过程起到了积极的导向作用。但不恰当地选择素材也带来了一些问题。
例5.（2010年湖南永州）
(1)阅读理解：
①如图A，在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离。
②如图B，若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD+BC·DA=AC·BD。此为托勒密定理。
(2)知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图C，已知点P等边△ABC外接圆的
上任意一点。求证：PB+PC=PA。
②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A,∠B,∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图D，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在上任取一点P'，连结P'A,P'B,P'C,P'D。易知P'A+P'B+P'C=P'A+(P'B+P'C)=P'A+＿＿；
第三步：请你根据(1)①中定义，在图D中找出△ABC的费马点P，并请指出线段＿＿的长度即为△ABC的费马距离。
(3)知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水。
已知三村庄A,B,C构成了如图E所示的△SABC（其中∠A,∠B,∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P村庄A,B,C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值。
图E
本题以费马点为背景，通过让学生经历理解费马点的定义、寻找费马点的方法、利用相关结论解决实际问题的过程，考查学生的阅读理解能力及知识迁移能力。试题的呈现方式、考查的目标设置等方面均有创新。但我们认为，本题的设置存在以下几个问题。一是“探寻费马点和费马距离的方法”部分存在逻辑漏洞。按照题中的方法，我们仅仅只能说明在劣弧BC上找到了一点P，使得PA+PB+PC的距离最短（即AD），但并不能说明不在该弧上的点到A,B,C的距离之和均大于AD，凭什么可以说费马点一定就要在这条弧上去找呢？对于熟知费马点的定义、性质及判定的人来说，他们会认为这种方法没有问题，那是因为我们已经把“若△ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角”作为了既定的结论在用。但对于费马点的认识全是空白的学生而言，这样就认定点P费马点有逻辑依据吗？二是该题的难度过大。要读懂找费马点的方法绝非一件容易的事情，就是作为一堂新课来教学，解决好该问题也不轻松。三是阅读量过大，文字、符号、图形过多，容易给学生造成视觉压力，有失考试的信度。
例6.（2010年湖南邵阳）阅读下列材料，然后回答问题。
问：(1)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？
(2)从7个人中选取4人排成一列，有多少种不同的排法？
这两道题都试图考查学生的阅读、理解、迁移能力，但结果并不可能达到预设的目标，“迁移能力”变成了机械、被动的模仿。例6提供的（一）（二）是教材中已学过的内容，没必要作为材料提供，（四）并不是分母有理化的通用方法，不宜作为材料提供。特别是例7，仅通过材料1和材料2，学生不可能对排列组合的概念及排列数与组合数计算公式有真正的理解，解决问题只能成为机械地套用公式。更重要的，例6属于课标中明确删减掉的学习内容，例7属于高中阶段需要学习的内容。把这些学习内容作为考查学习能力的考题，容易产生拣回删减的教学内容和过早地下放高中教学内容的错误导向，误导教师在日常教学中超出初中数学教学内容要求组织教学，加重学生的课业负担。
三、追求试题的开放性中存在的问题
新课程实施以来，中考试题中较多地出现了开放性试题，这类试题主要包括两个类型，一类是条件开放性试题，意在考查学生从多个角度探寻使结论成立的条件；另一类是结论开放性试题，意在考查学生在给定的条件之下探寻符合条件的多个结论。这些试题在关注数学活动过程、考查学生发散性思维能力等方面起到了较好的效果，也为数学教学中关注创新精神的培养发挥了指挥棒的作用。但是，一味地追求开放性而引发的问题也或多或少的存在。
四、探索规律型试题中存在的问题
“探索规律”是新课程实施以来中考中出现的一种新题型。这一类型的问题涉及知识面广、题目灵活，能给学生创造一定的探索和思考的空间。解决这类问题主要依靠观察、归纳、概括、猜测、验证等数学活动。设计科学的探索规律型试题，能很好地考查学生的数学应用意识、合情推理能力和解决问题能力，因此这种题型深受中考命题者的喜爱。但正由于这是一种新题型，因此难免出问题
例9.（2010年江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是()。
类似这样“从特殊现象出发得到一般性结论”的问题，不宜作为考试试题就例9而言，抛开试题本身表述不明确不谈，命题者应该是设计了两个规律：一是各正方形中四个数之间有相同的规律：“一条对角线上的两数之和等于另一条对角线上的两数之积”，二是每一个正方形相应位置上的数依次也具有相同的规律：“第n个正方形左上角的数比第(n-1)个正方形左上角的数大2”等。但是，我们在第4个正方形的右上角填上“10”、左下角填上“6”，同样有其他客观存在的规律，此时的答案便可选C了。也就是说，不论我选择A、B、C、D中的任何一个，都可以找到一种客观存在的规律。当然，类似找规律的问题在训练学生观察、归纳、概括等能力方面确实有其独特的价值。在日常数学教学中，教师应较好地发掘和利用好其价值，但不宜作为中考这样严肃的、有一定利害关系的考试题。
五、概率统计试题中存在的问题
课程改革以来，概率新增到了义务教育数学课程中，统计内容也有了很大的变化。这种变化使得中考数学试题总会涉及概率统计问题。我们发现，概率与统计部分的命题也存在一些问题。
例10.（2010年湖北宜昌）下列四个事件中，是随机事件（不确定事件）的为()。
A。颖颖上学经过十字路口时遇到绿灯
B.不透明袋子中放了大小相同的1个乒乓球、2个玻璃球，从中摸取出乒乓球
C你这时正在解答本试卷的第12题
D.明天我市最高气温为60℃
例11.（2010年广东湛江）下列成语中描述的事件必然发生的是()。
A.水中捞月B.瓮中捉鳖
C.守株待兔D.拔苗助长
例10的各选择支中，除了C项以外，其他各项所示的事件都可以说是随机的。例11存在对“事件”的错误理解。事件指的是某种结果，而水中捞月、瓮中捉鳖等说的都是某种过程，或者说是试验。严格地说，在一定条件下，守株待兔，考虑是否待到兔，这构成一个随机试验。而所谓事件，则是指随机试验所有结果中的某一种或某几种出现。守株待兔。待到了兔子（或没有待到），这才是随机事件。
我们主张在中考题中，尽量少出或不出这种判断一个事件是随机还是必然的问题。什么是确定的，什么是不确定的；什么是必然的，什么是随机的，这些问题当然是概率论中的基本问题，但基本问题未见得就是要考的问题。比如什么是数？这是数学的基本问题，但未见得要出题考学生。同时，一个现象是随机的还是必然的，本身即是一个很不简单的问题我国著名概率论专家王梓坤先生曾撰文（见《数学通报》2004年第3期）指出：“太阳东起西落，也只是地球在2个分支点（从稳定运行到失稳）间的决定性运动，在失稳以后，还能说太阳明天升起吗？”王先生举例说“关于太阳升起问题，拉普拉斯做过研究，假设太阳已接连升起n次，问它还会升起一次的概率是多少，他的答案是
。太阳升起尚且如此，何况此题中的一些选择支？
例12.（2010年湖北十堰）某电脑公司试销同一价位的品牌电脑，一周内销售情况如下表所示：
要了解哪种品牌最畅销，公司经理最关心的是上述数据中的()。
A.平均数
B.众数
C.中位数 D.方差
命题者提供的标准答案为B选项，但我们不难知道，上述数据中是无所谓众数的。C品销售量最大，但C品牌不是众数。C品牌电脑销售了40台，40也不是众数。如果把六种品牌改成六种价位，那么卖出了40台的那种电脑的价位就是众数了。
例13.（2009年重庆江津）在重庆市某区组织的有国土、税务、工商、教委等10个单位参加演出的比赛，从中选取3个队到重庆演出，则教委被选中的概率是＿＿。
例14.（2010年山东济宁）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛。经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛。前两名都是九年级同学的概率是＿＿。
古典概型是一种最基本的概率模型，它要求随机试验的所有基本结果数量是有限的，而且每一基本结果发生的可能性是相等的。在这种条件下，考虑某一事件发生的概率，就用这一事件所包含的基本事件数除以随机试验的所有基本事件数。在中考试题中，有很多概率问题并不符合古典概型的基本条件（有的甚至理想化成古典概型也是原则上不可行的）。在一次凭实力的比赛中，并非每个队获胜的可能性都是相等的。从四个队中选三个，不是用抽签的方式决定，而是用比赛的方式决定，那教委被选中的概率就与教委的参赛水平有关了。“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛也是如此。像这类比赛、评优等活动，由于基本事件发生的概率并不相等，所以不能简单地用古典概型来研究。事实上，要构造一个古典概型的问题非常简单，只是有时候我们过于关注与现实生活的联系，才导致这类问题的产生。
六、关于情感、态度、价值观的考查存在的问题
课程改革以来，情感、态度、价值观的问题得到了充分的关注，这是应该的。但中考这种以纸笔测验为形式的考试，毕竟更多的是测试考生的认识水平，而非情感、意志等水平。
例15.（2009年辽宁朝阳）在改革开放30周年纪念活动中，某校学生会就同学们对我国改革开放30周年所取得的辉煌成就的了解程度进行了随机抽样调查……通过以上数据分析，请你从爱国教育的角度提出自己的观点和建议。
例16.（2010年黑龙江齐齐哈尔、绥化）先化简：
，然后给a选择一个你喜欢的数代入求值。
面对一组数据，从爱国教育的角度提出自己的观点或建议，在平常的教学与交流中倒不妨一试，但在纸笔考试过程中，却很难对学生的观点或建议给出恰当的评价。而“选择一个喜欢的数代入求值”则更容易出现问题。一方面，“喜欢的数”本身就很让人琢磨不透，一个学生真的会喜欢某一个数吗？也许会，但意义不大。另一方面，并不是喜欢某一个数就可以将其代入代数式进行计算的。比如我喜欢0或1，或-1，尽管上式化简后，代入这三个数都可以求出值。但这些数会使原式无意义，因此就不能代入求值。我们认为，情感、态度、价值观不宜在纸笔测试中考查。另外，今年的中考试题中又出现了一类不宜作为考查学生的试题。
例17.（2010年广东佛山）尺规作图是指()。
A.用直尺规范作图
B.用刻度尺和圆规作图
C.用没有刻度的直尺和圆规作图
D.直尺和圆规是作图工具
类似的试题，如果测试对象是数学教师，考一考也无妨，但对于学生而言就显得不太适宜了。对于尺规作图，课标的要求是：能完成一些基本作图，比如作一条线段等于已知线段；利用基本作图作三角形；探索过一点，两点和不共线的三点作图；了解尺规作图的步骤，而不在于知道什么叫尺规作图。尽管这些题本身难度不大，但对于教学有很不好的导向作用，会把教师和学生的注意力引到不恰当的地方。中考试题的命制是一项高技术含量的工作，同一道试题，不同的人站在不同的观点和角度看，仁者见仁，智者见智。中考试题客观上对日常数学教学有着深远的影响。本着对中考试题质量重要性的认识，我们不回避自己才学的粗浅，斗胆选择了一些试题说三道四，以求抛砖引玉。