费马点的数学文化意蕴--浙江教育版“寻找与验证费马点”的设计思路与实践_数学论文

费马点的数学文化意蕴——浙教版“寻找并验证费马点”的设计思考与实践，本文主要内容关键词为：意蕴论文,数学论文,浙教版论文,文化论文,费马点论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、教学立意

      中国画论有“意在画先”一说，课堂教学的设计也是一个意在教先、以意统教的过程.

      费马点是2006年版浙江课程实验教材数学八下4.2.3课后的设计题，它是以实际问题为背景呈现出来的.假设点A，B，C表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短，若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上.

      这个问题的实质是以三角形内一点与各顶点组成的夹角都是120°为条件，证明三条线段之和最小；运用“两点之间线段最短”，将三条线段和转化为一条线段，问题得以解决.

      1.课程立意

      根据学生认知规律和心理需求，设计教法和学法，设计有梯度的问题串，像折扇一样慢慢铺展开来，鼓励学生观察、思考、猜想、证明.

      构造等边三角形，运用旋转变换、线段公理、全等三角形等知识，做到突出重点，突破难点，抓住关键点；领会转化的数学思想，重视实际问题的数学建模.

      为实现费马点设计题的价值，笔者以课标、教材为依托，以学生需求为目标，以科学精神为核心，以提高自身素质为支持.

      2.研究立意

      以费马点研究为载体，以课堂教学为环境范围，以课堂教学中各种变量为要素，从个性化角度对教学细节进行深入研究，笔者从费马点所反映的数学本质去挖掘，以凸现费马点研究的重要性和必要性，折射出费马点对提高几何证明质量和学生数学素养形成及数学文化的渗透起到积极的推动作用.

      二、教学流程设计

      1.数学文化——费马点的数学意蕴

      2006年版八下“4.2.3证明”课后设计题是一道反映数学本源性的距离问题即费马点问题，目的是突出数学文化的内涵，由三角形内一点到各顶点距离和最短引出费马点；但是没有证明，只简单地介绍了费马的生平简历及费马大定理的发现，问题提出形成一股冲击波，荡涤着教师们固有的解读教材、演绎教材的陈旧模式.

      2.低起点、高落点——由轴对称作图到两点之间的距离

      教师：在一条数轴上，有两点A（3，0），B（-1，0），要在数轴上找一点P，使点P到两个已知点A，B的距离之和最短，点P的位置在哪里？

      问题一抛出学生很快就答出来了：线段AB上任何一点都可以.

      师：不错，我们在学习轴对称图形时，有这么一道题：在一条公路的同侧有两个村庄，要在公路旁建一个站点，使得两村庄到站点距离和最短.这点在哪里？

      生1：如图1所示，把公路抽象成直线，村庄抽象成点A，B，过A点作直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，则点P即为所求.

      

      师：如何证明这点使PA+PB的和最小？

      生2：可以在直线任取一点P′，并连接P′A，P′B，P′A′在ΔA′BP′中，P′A+P′B=P′A′+P′B＞A′B=PA+PB.

      3.老图新用——以一道被教师惯常使用的老题作为切入口

      道生一、一生二、二生三，三生万物.笔者由一点到两点再到三点提出问题

      师：在同一平面内有不共线的三个点A，B，C，平面内是否存在这样的点P，使PA+PB+PC的和最小？如果存在，这样的点在哪里？

      生3：作△ABC，问题转化为平面内有一个任意锐角三角形△ABC，以AB，AC为边向形外作等边三角形△ABC′，ACB′，如图2，连接B′B，C′C.

      师：说得好，请大家思考几个问题：

      （1）找出图中的全等三角形并说明理由；说出相等线段、相等的角、特殊的三角形、特殊的角，并说出理由；你能证明B′B=C'C吗？

      

      （2）在上一题中，请猜测PA+PB+PC与B′B或C′C的数量关系.

      （3）求证∠APC=∠APB，探求∠BPC的大小.

      （4）能否证明∠APC=∠APB=∠BPC=120°.

      这一环节很重要，旨在为费马点的研究做个铺垫，学生对此问题的提出感到亲切、自然，很快就能找到三个条件并顺利证明全等三角形，从而得到B′B=C'C.对于问题（3），学生能猜测到∠BPC=120°，但怎么证明，一时还有些想不清楚，笔者稍加引导：只需证∠PCB′+∠CB′P=120°.由△ABB′≌△ACC′，知∠AB′P=∠ACP.

      证明∠APC=∠APB时，个别学生有卡壳现象，怎么办？笔者不想让学生对老师产生依赖，就给学生时间，让他们讨论交流.

      师：要证这两个角相等，但所在的两个三角形不全等，又不是等腰三角形.

      学生的思维处于愤悱状态，似乎找不到解决的方法，课堂气氛有些窒息，突然有个学生打破了沉寂，举手要发言.

      生4：如果∠ACC′=∠ABB′，那么，PA就是∠C′PB′的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可以过P点作B′B，C′C边上的高线，有前面的证明△ABB′≌△ACC'则对应高相等.用到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，大家豁然开朗.

      对于问题（2），可以设计一个表格，让学生通过先猜想后测量的实验几何方法初步得到关系，提醒学生：猜测与测量属于实验几何，测量得到的数据有误差，得到的结论未必正确，所以要用推理方法进行论证.这样做旨在培养学生严谨的几何论证习惯.

      4.架桥铺路——点、线、形的自然过渡

      用推理的方法论证：在三角形内部找一点P使得PA+PB+PC=BB′=CC′.

      问题提出还是比较难的，学生一时找不到证明的思路，而老师也往往是把想法停留在前两个问题上，引导作辅助线的添法，如何证明全等的层面上，但对于第三个问题往往都会忽略掉，而这正是要解决问题的症结所在；而学生感觉证明过程很难，难以理解辅助线的添法；如何把这道呆板、毫无生气的问题开发好、利用好，从而激发学生问题意识和强烈的数学热情？

      师：在平面内找到一点到三角形三个顶点距离之和最短，这样的点存在吗？如果存在，这点在三角形内部还是在三角形外部，你准备找一个怎样的三角形来研究？

      生5：我找等边三角形，因为等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，其交点到每个顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，我认为这个交点就是所求的点，它到各顶点距离和最短.但为什么最短我还没想好.

      生6：找等腰三角形，我认为一般等腰三角形即可，三个顶角的平分线的交点就是所求的点，因为角平分线上的点到角两边的距离相等.

      师：但我问的是到各顶点距离和最短的点是否存在？若存在，在哪里？

      生7：找直角三角形.

      生8：找等腰直角三角形.

      生9：找一般三角形.

      生10：先从特殊入手再得出一般情况，使结论更具一般性.

      师：好，请学生5谈谈证明思路.

      生5：以AC为边在三角形ABC的外部做等边三角形ACB′，连接BB′，由等边三角形三线合一性，得到∠PAB′=90°，∠AB′P=30°，AP=

PB′，PC=

PB′，BP=BP，∴AP+PC+BP=BB′（或C′C）.

      师：生5同学从特殊图形入手证明了等边三角形时点P位置的确定方法.对于一般的三角形，在内部能否找到这样的点，使这点到三个顶点的距离之和最小？

      生10：可以模仿老师最初出现的那个题的做法，以AB，AC为边，向外做等边三角形ABC′和等边三角形ACB′，连接BB′，CC′；通过实验操作，可得结论是PA+PB+PC=BB′（CC′）.

      师：如何严格证明呢？

      生11：老师，可以通过旋转将三条线段转化成一条线段，根据两点之间线段最短，得到PA+PB+PC最短.

      师：请详细说说你的解题过程.

      生11：以C为圆心，CP长为半径画弧，交BB′于点C′，可得△PCC′为等边三角形，得到∠CC'B′=120°，因为△ACB′是等边三角形，所以AC=B′C，∠ACB′=60°，由已作图，知∠PCC′=60°，于是得到∠ACP=∠C′CB′，得△APC≌△B′C′C.∴AP=B′C′，即PC+PA+PB=PB+PC′+C′B′=BB′.

      师：你从特殊图形入手探寻出一般规律，但要证明△PCC′是等边三角形条件不充分，你知道∠B′PC是60°吗？我觉得按照你的做法以C为圆心PC长为半径作60°角与BB′交于点C′，这样同时满足几个条件的图形不一定做得出来这时大家也注意到根据生11的说法，必须得到∠BPC′=60°.

      笔者沿着学生的设想，借助多媒体做动态演示、说明点P存在且唯一.当学生的解题思路出现障碍时，教师的主导作用就要发挥出来.笔者不失时机地引导学生利用全等三角形对应边上的高相等，再逆用到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，得到∠APC′=∠B′PC′=60°，这时△PCC′才是等边三角形，CP=CC′，∠PCA=60°-∠ACC'=∠C'CB′=60°-∠ACC'，得ΔAPC≌△B′C'C，∴AP=BC′，又∵B，P，C′，B'四点共线，根据两点之间线段最短，得到B+PC′+C'B′=BB′，即PA+PB+PC之和最短，到此问题得到解决.

      师：这点P就是著名的费马点，费马是17世纪法国数学家，对于这个定理费马只是猜测当点P与各顶点的夹角都为120°时，PA+PB+PC的和最短，但是他并没有证明出来.费马点的发现是运用两点之间线段最短解决了平面内某一点到三个不在同一条直线上的三个已知点距离和最短的问题典范，它解释了数学的本质是最短、最简.

      用一种普适的方法解决一个尖端的问题，将一个被教师们惯常使用的一个看似呆板的、毫无生气的老题焕发出新的生机和活力，用它来解决著名费马点的证明，应该属于一种创新之举，不失时机地提出费马点，及时向学生进行数学文化的渗透，让学生体会费马点的数学文化意蕴.

      三、中考试题中的费马点

      众里寻它千百度，蓦然回首，费马点就在中考试卷中.

      1.（2009年湖州卷）如图3，若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫作△ABC的费马点；若点P为锐角三角形的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB的值为________.

      

      2.（2008年广东卷）如图4，已知正方形ABCD内一点E到A，B，C三点的距离之和的最小值为

+

，求此正方形的边长.

      

      3.（2010年湖南永州卷）阅读理解：（1）①如图5，在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离.

      

      ②如下页图6，若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD+BC·DA=AC·BD.此为托勒密定理.

      

      （2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图7，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点.求证：PB+PC=PA；

      ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

      第一步：如图8，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；

      第二步：在弧BC上任取一点P′，连接P′A，P′B，P′C，P′D.易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+________；

      第三步：请你根据（1）①中定义，在图8中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离.

      

      

      （3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A，B，C构成了如图9所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.

      

      回顾教学过程，可由以下7个方面组成.

      （1）猜想：①PA+PB+PC=BB′=CC′；②∠APC′=∠APB′；③∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.

      （2）实验：将测量PA，PB，PC及BB′，CC′得到的数据填入表格，从而得到结论PA+PB+PC=BB′=CC′，使用量角器测量得到∠APB=∠BPC=∠CPA=120°；通过操作测量体悟实验结果和猜想的误差很小，说明了猜想的合理性.

      （3）结论：锐角三角形内存在一点，这点到三个顶点的距离和最短.

      （4）作图：学生采用更方便直观、最朴素的找费马点的方法最好，如采用三个120°的三棱木架找费马点，如果按照规范做法应是向外作等边三角形的方法.

      （5）证明：构造等边三角形、利用旋转变换、全等三角形等知识证明结论.

      （6）拓展：永州中考25题把费马点拓展到圆中，运用费马点证明托勒密定理，把圆和三角形有机地结合起来，这是最佳创意.

      （7）应用：学习的目的全在于应用.完成了理论证明以后，要用费马点解决实际问题，如永州问题3.

      数学教育有两个要点：一是服从教育规律，二是紧扣教育本质，本案例的起源非常明确，把看似普通的习题，转变为一个具有鲜活生命力的问题，探索平面中的距离问题，凸现费马点的本质——解决最短、最值的问题.毋庸置疑，本题知识点多、综合性强，经历了问题的提出、猜想、实验与证明的过程，拓展了学生的思维，提高了学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，体悟到有些事物表面虽然简单，但却蕴含着深刻的数学道理.而我们学习费马点的目的就是运用这样的朴素而简单的数学道理用于解决铺设管道、造桥修路等实际问题，这正是我们对费马点二次开发的意义所在.

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