指数基金与跟踪误差优化模型_投资组合论文

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一、引言

许多人将指数基金的运作看作是一项非常简单的任务。但是在实践中，创建和运作指数基金是一项极具挑战性的工作。

指数基金面对的最大的挑战就是如何有效度量和控制跟踪误差。一般来讲，跟踪误差被定义为指数基金与基准投资组合之间收益率的差额。跟踪误差度量了指数基金跟踪基准投资组合的准确程度。对于指数基金来说，如果存在较大的跟踪误差，那么将是一种很大的风险，因为这意味着投资组合在未来的收益率将会与指数的收益率出现较大的偏离。所以，努力实现跟踪误差最小化是指数基金的首要目标。尽管在已有的文献中和实际应用中，普遍采用跟踪误差的二次项来度量跟踪误差，但是这仍然是一个有争议的问题。投资者究竟关注的是误差的平方，还是关注正的或者负的误差？根据投资者对待风险的态度和投资目标，我们建立了四种线性跟踪误差模型。我们认为，采用线性的跟踪误差模型会更加准确地描述投资者对待风险的态度，更加准确地定位于特定的投资目标，该方法优于二次优化模型的度量方法，在实践中应该采用绝对偏差最小化来取代偏差的平方最小化的方法。

二、跟踪误差的二次优化模型

对于指数基金投资组合的优化，最为重要的问题是使跟踪误差最小化。为了能够准确跟踪目标指数的业绩，投资者尽可能使得复制投资组合的收益率与目标指数的收益率之间的偏差最小化。假设Y表示基准（指数）收益率的向量，X表示n种股票收益率的矩阵，β表示每种股票的权重，则问题可以表示为

这里n表示股票的数目，T表示观测的数目。

在投资组合和基准收益率之间偏差平方和ε′ε被称为跟踪误差的方差。为了能够准确跟踪目标指数，应该尽可能使得ε′ε最小化，即跟踪误差波动性最小化，目标函数为：

这个模型也被称为均值平方模型。均值平方模型是目前最流行的跟踪误差最小化的优化模型。因为它计算起来非常简单。同时，资产权重的估计值具有良好的统计特性，例如，它是最好的线性无偏估计。

除了等式（2）之外，还可以在模型中加入一系列线性约束条件：

这些限制包括不允许卖空，权重之和等于1，等等。需要指出的是，如果增加不等式的条件限制会失去估计值良好的统计特性。

这样，作为二次跟踪误差的度量，我们把这个非中心的二阶矩偏差的平方根称作跟踪误差：

这就是理论和实践中经常使用的跟踪误差的定义。它非常类似于标准差，但是由于它是一个非中心的度量值，不论是正的和负的偏差，还是持续的低于或高于基准，都会影响到跟踪误差的具体数值。这样，就产生了另一种流行的度量跟踪误差的方法，中心的波动性（ROLL，1992）：

对于这种定义隐含着如果跟踪组合的收益率持续的低于或高于指数的收益率时，跟踪误差为0的情形。所以，这种定义并不可取。

第三种方法由Treynor/Black（1973）提出，跟踪误差定义为跟踪投资组合相对基准残差的波动性，表示为基金收益率对基准指数收益率回归残差的标准误差：

其中的σ（Rp）是跟踪投资组合的波动性，PB表示跟踪投资组合和基准收益率之间的相关系数。例如，如果投资组合的波动性是20％，相关系数是0.95，意味着跟踪误差是6.24％。这种定义容易理解，可以直接运用于投资组合风险的计算，也可以用于计算风险调整的业绩和积极管理策略的预期收益率。

三、跟踪误差的线性优化模型

与二次跟踪误差的定义不同（等式（5）），CLARKE/KRASE/STATMAN（1994）根据跟踪投资组合与基准收益率之间的绝对差额定义了跟踪误差。这样定义的原因在于，从实践的角度，二次目标函数很难让人理解。采用线性的或绝对差额的定义更加直观，易于理解。

实际上，采用线性跟踪误差模型要比采用二次优化模型有许多好处。例如，基金经理可以根据投资组合与基准之间的收益率差额获得业绩奖励（参见KRITZMAN（1987））。此外，基金经理还可以尽量避免组合与基准收益率之间出现较大的偏离，防止机构投资者收回委托理财的资金。所以基金经理通常采用线性的跟踪误差的定义，而不是二次项偏差的定义。

根据投资者对待风险的态度和投资目标，我们建立了四种线性跟踪误差的模型。所有四个模型都是采用绝对偏差最小化取代偏差的平方最小化作为优化模型。

1.均值绝对偏差模型

假如投资者只关心复制投资组合和基准之间收益率偏离的大小，而不考虑这种偏离的方向，就可以采用最小化均值绝对偏差为目标函数，投资组合的权重由绝对偏差之和来决定。