数学选修，活动课堂，精彩纷呈——以人教A版《数学（必修3）》阅读思考材料“概率与密码”为例，本文主要内容关键词为：数学论文,精彩纷呈论文,为例论文,概率论文,人教论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
浙江省新一轮课程改革从2012年秋季正式拉开了帷幕，此次课改对于教育一线的教师来说，最大的感受就是减少必修，增加选修.全体教师在原有必修课的基础上，还要增开适合本校学生实际、满足学生个性发展需求、富有特色的学校选修课.
通过一年的实践，新课改正在稳步推进，选修课“人人得上，人人会上”的局面已经形成.选修课程分为知识拓展、职业技能、兴趣特长、社会实践等4类，数学教师应该怎样开设选修课成了大家亟待解决的重要课题.目前广大数学教师开设的选修课基本停留在知识拓展类，主要是高考内容的程度加深、高中数学竞赛的研究、大学先修知识的拓展等.笔者借鉴了一种国外比较流行的选修课模式——数学项目活动学习，给大家作一介绍.
一、数学项目活动学习
数学项目活动学习的教学设计一般由情境引入、数学花絮、知识背景、教学目标、学习模块建议、实施建议、评价建议、资源库等部分组成.通过情境引入、数学花絮让学生了解与必修内容相关的数学历史、知识，激发学生学习的兴趣.知识背景帮助学生复习巩固已有的该知识点的数学基础，为活动的开展作准备.学习模块建议、实施建议、评价建议为学生更好地开展数学活动作了规划和指导.资源库则为学生提供了可以寻求帮助的途径和资源.
每个项目活动都根据某个知识的不同方面划分为多个模块，既有理论型模块，也有实践动手型模块.每个学生可以根据自己的喜好选择最感兴趣的模块进行实践.每个模块再给出若干个指导问题，引导学生通过自主探究和讨论找出问题的答案，具有很大的开放度.强调动手实践操作性，要求学生通过资料收集、实验模拟、数据采集、实物展示、视频播放、现场表演等多种呈现形式向其他师生展现数学的无穷魅力.
二、由“概率与密码”引发的教学案例
1.教学目标解析
引导学生了解概率与密码的关系，了解频率分析方法在密码破译过程中的应用；在实际问题中了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步理解概率的意义以及频率与概率的区别.
以概率在现实生活中的各种应用为主线，引导学生在实际问题中理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，通过试验体会几何概型的意义.
通过收集整理现实世界中的数学素材，让学生感受生活中无处不在的数学，了解数学与其他学科的关系，体会数学的应用价值，激发学习数学的兴趣和求知欲；通过学生亲历各种数学活动，自主利用书籍以及网络等现代技术手段学习知识进而解决问题，培养学生的自学能力和收集、加工、整理、利用信息的能力；通过小组交流、合作、展示，培养学生的数学交流能力和团队合作意识.
2.教学重难点解析
教学重点 在实际问题中体会概率与频率的关系、古典概型、几何概型等知识的应用，加深对概率知识的理解和掌握.
教学难点 在丰富多彩的数学项目活动中提高学生运用概率等数学知识解决实际问题的能力，学会应用统计、实验等数学方法解决实际问题.
3.学情分析
在学生已有认知基础方面，学生已学习了概率的意义、概率与频率的联系、古典概型与几何概型等概率的基础知识.因此，利用概率知识处理简单常见的现实问题对学生来说并不困难，教学时应充分注意这一教学条件.但学生要解决相对复杂、知识综合性较强的现实问题存在一定难度，需要学生有较强的自主探究意识和动手实践能力，需要通过查阅资料、广泛利用多媒体技术等手段来进行活动学习.从学生的能力基础来看，他们已经具备较强的信息技术能力和广博的见识，完全可以满足本节课的需要.教师只需从旁关注，在学生遇到困难时，适当给予指导和点拨.
4.教学策略分析
本节课为数学项目活动课，在教师的引导下，指导学生利用课堂与课后的时间，自主合作探究概率在各领域中的应用，最后以小组汇报的形式向师生展示活动成果.真正做到以学生为主体，将课堂和数学学习的主动权交给学生.
5.教学设计思路
本次数学项目活动以概率知识为项目内容，以概率在各领域中的应用为主线，设计若干个旅游站点，每一站以一个小故事（游戏）为情节，蕴含一个与概率有关的知识.每个站点同时配备几个参考活动，给学生提供课后自行研究的空间.
整个数学项目活动的实施分为准备引入、实施展开、评价总结3个阶段，包含教师引入活动主题、学生选择不同模块自主探究活动、学生活动成果展示、教师点评与多样评价等环节，整个教学任务需6～8个课时完成.设计以古罗马站的恺撒密码为引入环节，澳门站的骰子游戏为学生活动环节，巴黎站的蒲丰投针试验为学生展示环节，将3个环节在一节课中展示，力图全面呈现数学项目活动课的全貌.
6.教学过程
环节1 情境引入，活动主题
本节课的设计灵感取材于电影“少年π的奇幻漂流”和热门游戏“植物大战僵尸”，教师设计了一个虚拟人物小P（Probability），跟着他一起走进概率的神奇世界，开始一段数学的环球之旅，在世界各地感受概率对我们生活的影响.
设计意图 以学生喜闻乐见的卡通形式引入本次数学项目活动，能有效地抓住学生学习的兴奋点，调动学习的积极性.
在学案上罗列了与概率相关知识的结构图，可以帮助学生理清知识体系脉络，重温各个数学概念，为活动的开展打下基础，从而明确本次数学项目活动的主题——概率.
环节2 开始旅行，分站突破
第一站：古罗马
本站内容取自于阅读与思考材料“概率与密码”，介绍了恺撒密码的设计原理，在密码破译和反破译的较量中使用了概率武器：频率的稳定值近似等于概率！本站点以问题串的形式将整个行程串联起来，恺撒密码的拥护者和破译者之间的交锋是本环节的主线.教学形式以教师引导为主.
问题1 你能用自己的语言描述恺撒密码的设计方式吗？
设计意图 通过生动形象的视频引出这一站的主角——恺撒密码，引导学生用自己的语言描述恺撒密码的设计方式，从而让学生体会单字母替换型密码设计的原理，为后续破译密码作好准备.
师生活动 教师播放一个视频短片，并展示问题1.在学生用自己的语言描述恺撒密码的设计方式时，教师关注学生是否已经理解设计原理，并进行适当的补充说明.
问题2 恺撒密码的设计确实很精巧，但真的像恺撒自己宣传得那样无懈可击吗？聪明的你发现它有什么弱点吗？你有什么办法破解呢？
设计意图 如果直接让学生回答这个问题，可能一下子无从下手，因此教师设计了一个现场实践环节，为学生回答问题搭建台阶.通过完成一次简单的密码破译，让学生领悟到原始的恺撒密码最大的弱点在于可用的密码本是有限的，因此用穷举法就能破解，从而引发恺撒密码拥护者和破译者之间的第1次交锋.
师生活动 教师呈现一个谍报人员破译密码的场景，让学生充当谍报人员，破解一个利用恺撒密码原理设计的简单密码.
现场实践 假如你截获了一个信息为LCEM，已知是一个潜入我方间谍的名字，请问这个间谍的真实姓名可能是什么？
教师提供移动1位、2位、3位的密码本，一是方便学生比对，二是为学生寻找破解密码方式提供线索.
学生破解密码，教师提问，由学生说出破解的方法.教师再追问，JACK是不是唯一可能的结果？目的是引导学生说出需要得到的25个破译结果，然后再选出符合逻辑的原文，由此穷举的破译方法就一目了然了.
问题3 恺撒密码的拥护者们对恺撒密码进行了一个简单的改进：用一个按随机顺序排列的字母表来替代正常顺序的字母表.请问通过这种简单代换方法，共产生了多少种字母表？
设计意图 用简单的排列组合知识就能解决这个问题，目的是让学生感受“26！”这个天文数字的庞大，从而得出用穷举法是难以破解密码的结论，引发恺撒密码拥护者和破译者之间的第2次交锋.
师生活动 教师提问，学生动笔计算分析，得出这种改进方案的字母表种数有26！之多，一个小改动带来大变化.
问题4 恺撒密码的破译者们也不甘示弱.你有什么办法能破解恺撒密码的升级版吗？
设计意图 这个问题学生没有知识储备和经验，无法直接回答.因此教师安排了一个知识拓展——英语具有统计特性.为了说明英语的统计特性，设计利用word的替换功能统计英文小说《老人与海》中各字母出现的频数与频率，使学生在实践中感受到频率与频数、频率与概率之间的关系.并通过一段视频生动地讲解如何用频率分析的方法破解恺撒密码的升级版，从而引发恺撒密码拥护者和破译者之间的第3次交锋.
师生活动 教师补充英文具有统计特性的背景材料，并展示《老人与海》的word文档.
教师提问：学生根据平常对英语字母的直观感受，估计哪个字母出现得最多或最少？
学生猜一个字母，教师现场用word统计，并将统计的结果登记到excel表格中.
经过几次猜测后，教师展示事先统计好的全部26个字母的结果，并按照从多到少排序，看与学生猜测的结果是否吻合.
教师播放视频短片，让学生感受每个字母出现的相对预期频率与出现概率之间的关系，并了解恺撒密码的破译者们是如何利用概率武器击败对手的.
教师提问小结：在破解恺撒密码升进版的过程中，使用了概率中的哪个知识点呢？由此点评古罗马站的核心概率内容：概率与频率的关系，频率的稳定值近似等于概率.
问题5 恺撒密码的拥护者们为了反破译绞尽脑汁，也用概率武器给予破译者以沉重一击.你知道他们是用什么概率武器来设计恺撒密码的升级版吗？
设计意图 这个问题可以用上一个问题中给出的知识拓展来解决，恺撒密码的拥护者们也是用了概率武器（例如随机数表法设计恺撒密码）来进行反击，从而引发恺撒密码拥护者和破译者之间的第4次交锋.
这个问题在《数学（必修3）》的课本阅读材料中有详细说明，留给学生课后作为参考活动完成，一来回归课本培养学生的阅读理解能力，二来给学生更大的空间，作更多的拓展.
第二站：澳门
概率起源于赌博，学好概率可以让学生了解赌博的巨大风险，从而遵纪守法，远离赌博.本站内容设计了一个游戏环节“谁才是真正的幸运王”，利用“传递性骰子”这种道具，设计了师生之间的一场不公平的赌局.本站的教学形式以学生活动为主.
学生活动1 在讲台上摆放着4枚骰子，不过奇怪的是，这4枚骰子虽然是均匀的，但每颗骰子的每个面上标注的数字却是不同的（如图1）.
（1）学生先选一颗骰子，教师后选；
（2）每局点数大的算赢；
（3）分别投掷21局，赢的局数超过11局就算胜利.
设计意图通过师生之间的比赛，调动学生的兴趣，活跃课堂气氛.本活动可能有2种结果，一种是教师获胜（比较容易出现），那么可以利用学生不甘心的心理，进行2次比赛，通过活动造成似乎教师的运气特别好的假象，从而说明赢的概率大；一种是学生获胜，那么可以借此说明概率只是描述可能性的大小，但可能性大不代表必赢，可能性小不代表必输.
师生活动 邀请一位学生和教师进行比赛，另一位学生在黑板上进行记录.
学生活动2 前后4位学生组成小组，其中3位学生各选一个颜色的骰子（如图2），两两之间互相比赛21次，1位学生负责将比赛结果在记录纸上记录下来，大家来看一看谁才是今天真正的幸运王？
设计意图 一场比赛的胜负不足以体现概率与频率之间的关系，因此在师生比赛之后，让全体学生参与另一组骰子的比赛，并将各组结果记录下来，增加样本，从而发现游戏背后的有趣现象.在比赛的过程中要引导学生看出其中的门道，抓住学生活动的兴奋点，有效推进古典概型的教学.
师生活动 学生之间进行比赛，并统计结果.教师从旁观察，适当指导.
问题6 通过各个小组的统计结果，你发现了什么有趣现象？这是为什么呢？
设计意图 通过统计全部小组的比赛结果，在记录图上标明后，学生很容易发现3颗骰子之间胜负大致存在着循环套的关系.利用这个有趣的现象，让学生讨论原因，从而进行古典概型及计算公式的教学.热闹之后回归理性的平静，透过现象思考背后的本质.
师生活动 教师在黑板上统计各个小组的比赛结果，并提问发现了什么有趣的现象以及为什么会有这样的现象.学生小组讨论思考循环套的成因.教师让学生上黑板板书思考过程，既可以利用古典概型画表格分析，也可以利用独立事件的方法列算式分析，由学生自己分析讲解.
问题7 现在回到刚才的师生比赛，看看4颗骰子之间有什么有趣的现象.
设计意图 利用刚刚学完的古典概型及计算公式解决遗留的问题，从而巩固古典概型知识的教学效果，加深学生对古典概型的认识和理解.
师生活动 每个组计算两两骰子之间的胜负概率，从而发现这又是一个胜率均为
的循环套，从而点明破解赌局的办法就是概率中的古典概型.
问题8 赢的概率高是不是就必赢呢？
问题9 设计什么样的比赛局制才能保证对自己更有利？
问题10 一局比赛自己的胜率是，那么进行21局比赛，赢的局数超过11局算赢，自己的胜率也是吗？
设计意图 以问题串的形式加深学生对概率的认识.在概率知识的基础之上，通过设计比赛局制问题来加深对独立重复试验、二项分布问题的认识.提出天下没有必赢的赌局，与庄家赌博十赌九输的道理，对学生进行远离赌博的教育.
第三站：巴黎
在前面的两站中学习了两种方法计算随机事件发生的概率：一是通过做试验或者用计算机模拟试验等方法得到事件发生的概率，以此来近似估计概率；二是用古典概型的公式来计算事件发生的概率.在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率了.
在巴黎站，由学生当导游带领大家一起实践蒲丰试验.
设计意图 数学项目活动课的特点在于给予学生足够的时间和空间动手实践.蒲丰投针试验是几何概型最经典的一个案例，通过学生小组活动进行真实的试验，激发学生探究试验背后的奥秘，从而了解几何概型的含义，并对蒙特卡罗方法有所了解.本站的活动是后续学生在其他站点活动后成果展示的一个缩影，也为后续学生汇报提供了借鉴.
师生活动 学生通过PPT展示加演讲的形式，汇报小组活动的成果.内容包括：
（1）从历史上的那一天介绍蒲丰投针试验的由来；
（2）小组成员实践再现蒲丰投针试验；
（3）介绍蒲丰试验的原理及计算机模拟；
（4）提出一个类似的使用随机数处理确定性数学问题的案例供其他学生思考.
教师适当点评，肯定学生的成果，指出几何概型的基本特征和用处.
环节3 分组活动，明确模块
设计意图 数学项目活动选修课是一个系列课程，学生可以自由选择感兴趣的内容分组活动.在活动中学习数学知识，培养数学素养，提高用数学解决实际问题的能力，同时学生的收获和成果也是完全开放的，展示了许多让人眼前一亮的作品.
师生活动 第1阶段（第1课时）：学生与教师共同探讨，确定活动小组成员组成，明确选择模块主题.
第2阶段（第2课时）：每个小组制定活动计划，填写活动计划书，并按照活动计划书活动.小组成员要明确自己在分组活动中的角色，合作完成项目.
第3阶段（第3～5课时）：活动期间利用网络、书籍等资源查找相关资料，遇到困难可以向教师和学生求助，采纳有效的意见继续完成项目.
第4阶段（第6课时）：利用研究的成果，策划成果展示.可以是PPT展示，可以是实物展示，也可以制作展板、简报或视频，并现场回答其他学生的提问，教师对活动成果将进行打分评比.
教师感悟 数学项目活动课是一种特别有生命力的课程，学生既是课程的参与者，也是课程的建设者.每上完一个课程，学生总会奉献一些教师课前没有预设的活动内容，并成为下一次课程新的生长点.
环节4 多样评价，教师点评
设计意图 数学项目活动中，学生以小组为单位开展合作探究活动.学生个人的评价可以在小组活动的基础上进行，可以间接地从其对小组活动的整体评价中得出学生个人的评价，或是直接地从其对小组活动的贡献来评价学生个人.
数学项目活动不仅关注学习结果，还关注这些学习结果得以产生的过程.因此，数学项目活动的评价主要立足于数学项目活动，关注学生在活动过程中的收获与成长，主要涉及知识应用、成果质量、情感态度、合作技能等各个方面的学生表现.
三、数学项目活动课给我们的启发
本节课是一节数学项目活动的选修课，是在当前浙江省新课程改革下选修课开设的一种全新的尝试.数学项目活动选修课不同于日常教学的一节课，而是一个课程体系，是在多节课中围绕着一个项目主题开展丰富多彩的数学活动.
1.创新教学模式，转变师生角色
“教师主导，学生主体”的课堂模式已经形成.教师与学生相互平等，互为导游，一起环游世界，领略概率在各个方面的应用.整堂课由教师先行引入，再让学生自主探究，然后是学生交流呈现，最后是教师提炼.从“课程的设计者”到“咨询者与指导者”再到“倾听者与问题发现者”，教师的作用在整个课程中不断转变，学生也得到了充分的活动.课堂上既有师生的互动，也有小组的合作，更为可贵的是，这种活动一直延伸到了课外（蒲丰投针），充分体现了课程标准所倡导“实施多种教学方式，开展独立而积极的数学活动，让学生通过动手实践、自主探索与合作交流来学习数学，获得广泛的数学活动经验，使得学生的学习过程成为教师指导下的再创造”的理念.
2.知识脉络清晰，形式服务内容
本节课形式新颖，设计了3个站点，每一站点解决一个问题，体现了数学的应用广泛.3个站点内容的安排围绕《数学（必修3）》概率章节中的核心内容展开，内在的逻辑线索非常清晰.在这些站点及活动中，让学生体会必然与偶然的关系、整体与部分的联系等概率所体现出来的基本思想.而这正是概率的教育价值之所在.
3.数学好玩有用，关注人文内涵
现行高中数学教学，严谨有余，而生动活泼不足.陈省身先生说过：“数学就像一个大花园，在里头好玩的东西有很多.”本节课好玩的东西很多，既有内容的本身，又有教师的教学活动组织形式，以及教学语言的应用.
其一，教学内容的选择具有感染力，如恺撒密码、澳门赌局，看标题就能激起学生的学习热情.
其二，教师语言极富激情，有感染力，比如“三分之一天注定，要赢还要知识拼”等.让学生始终处于轻松愉悦的状态，引导学生“玩转”数学.
其三，关注数学文化内涵，比如巴黎站的蒲丰投针，学生展示的并不是简单的史料介绍，而是在他们亲身体验后的一种探究与思索.这表明“玩数学”不是浮于表面的玩，是在玩数学的内涵.
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