与反比例函数有关的面积问题，本文主要内容关键词为：反比例论文,函数论文,面积论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
我们知道，过反比例函数
(K≠0)图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线，则两垂线与坐标轴所围成的矩形的面积不变，等于│k│。这个结论很容易证明。
如图1，点P(a，b)是反比例函数(k≠0)图象上的一点，则有a·b=k。过点P作PA⊥x轴于A，作PB⊥y轴于点B，则
PA=│b│，PB=│a│。
所以
图1
这是苏科版《数学》八年级下册的一个探究问题，也是反比例函数中的一个重要结论，由此进行变式拓展，具有很大的命题效益。下面以2009年各地中考试题为例作如下剖析。
一、直接应用
例1 （2009年湖南常德）如图2，已知点C为反比例函数
上的一点，过点C向坐标轴引垂线，垂足分别为A、B，那么四边形AOBC的面积为＿＿。
图2
分析 本题直接应用上述结论，得四边形AOBC的面积=│k│=│-6│=6。
例2 （2009年黑龙江牡丹江）如图3，点A、B是双曲线
上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若
，则
=＿＿。
图3
分析 所以
，
例3 （2009年甘肃兰州）如图4，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数
(x＞0)的图象上，则点E的坐标是(＿＿，＿＿)。
图4
分析 由
，可得正方形OABC的边长为1，从而求出点B的坐标为(1，1)，设正方形ADEF的边长为a，则点E的坐标为(1+a，a)，把点E的坐标代入得
解这个方程得
。
又因为a＞0，所以，所以点E的坐标是
。
二、化归应用
例4 （2009年福建莆田）如下页图5，在x轴的正半轴上依次截取
，
图5
图6
图7
图8
四、综合应用
例8 （2009年福建福州）已知A、B、C、D、E是反比例函数
的图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图9（下页）所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是＿＿。（用含π的代数式表示）
分析 本题是求不规则的面积问题。通过观察发现，每个橄榄形的面积，等于两个圆心角为90°的扇形的面积和减去一个正方形的面积，因此只要求出每个正方形的边长即可。根据整数的分解，
图9
16=1×16=2×8=4×4。
所以图9中以A、B、C、D、E为顶点的正方形的边长分别为1，2，4，2，1。
所以，这五个橄榄形的面积总和
例9 （2009年山东济南）已知：如图10，正比例函数y=ax的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)。
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
(3)M(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线BM∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D。当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由。
图10
分析 (1)把A(3，2)分别代入，y=ax中，即可求出反比例函数的表达式为：
正比例函数的表达式为
(2)观察图象，得在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
=3+3+6=12。
即OC·OB=12。
因为OC=3。
所以OB=4，即n=4。
所以MB=MD。
例10 （2009年山东威海）一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数的图象相交于点A、B。过点A分别作A⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交于点K，连接CD。
(1)若点A、B在反比例函数的图象的同一分支上，如图11，试证明：
②AN=BM，
(2)若点A、B分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图12，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论。
图11
所以∠AKB=∠CKD=90°，
所以△AKB∽△CKD，
所以∠CDK=∠ABK，
所以AB∥CD。
因为AC∥y轴，
所以四边形ACDN是平行四边形，
所以AN=CD。
同理BM=CD，所以AN=BM，
(2)本题是在第(1)题证明的基础上，改变条件
继续探究。
如图12。
图12
同(1)可证，AN与BM仍然相等。
以上这些中考题都是由本文前面提到的结论拓展而来的，同时又高于这个结论。因此，我们在平时学习时，要注意对典型问题进行挖掘和拓展，更深层次地了解问题的实质，从而增强举一反三、触类旁通的能力，提高思维的广度和深度，培养创新精神。
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