基于图像数学模型的变式探究，本文主要内容关键词为：数学模型论文,图像论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、数学建模框架导入 数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象、简化的结构根据，即数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立的等式或不等式，也包括用图像、公式、表格等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，进而从定性或定量的角度描述实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠指导。因此，建立数学模型是沟通实际问题与数学工具之间联系的桥梁。 构建数学模型比较困难，因为实际问题往往是非常复杂的，一个问题总会受到诸多因素的影响。在建立数学模型时，需要忽略那些次要的因素，只考虑主要因素，否则建立的数学模型就会非常庞大，以至于无法求解。但如果忽略了不该忽略的因素，得到的数学模型就是错误的，解答也将是偏离或扭曲的。所以，利用解读数学模型得出的答案去解析实际问题，其实际问题的解答是要被检验的，这一检验应由现实对象的解答与现实对象最早提供的信息是否吻合来完成。
表述：根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题，数学模型诞生。 求解：选择适当的数学方法求得数学模型的解答，即读懂数学模型。 解释：将数学语言表述的解答“翻译”回现实对象，即用数学理论诠释实际问题。 验证：实际问题的解答与现实对象最早提供的信息应保持一致。 作为一种应用，中学生物学侧重“构建”数学模型且努力“解读”数学模型，即上述数学建模全过程中的表述（归纳）和求解（演绎）2项。 二、图像数学模型变式 基于数学模型的变式是知识迁移的外在表现形式，也是知识迁移后解决问题的不同数学方法的形象展示。知识迁移后释放新的信息源，会引起外在形式的变化，因此，探究变式的涵义之一是：利用新信息源，重新构建数学模型，抓住新模型与旧模型之间的变式特征（即：数学方法），求解新答案，并最终对现实对象作出新的解答；涵义之二是：借助外在的数学模型变式追踪知识迁移的信息，并发现知识迁移的细微之处，从而用新的视角寻找新解答。涵义之二是涵义之一的逆向思维，涵义之一如图2中实线箭头所示，涵义之二如图2中虚线箭头所示。
图像是各种图形和影像的总称，它为人类构建了一种形象的思维模式。生物学中，图像的应用十分宽泛，大多是在二维坐标系中用几何线条和符号形象地反映物体与物质的各类特征和变化规律。二维坐标系代表的变量（通常是自变量和因变量）无疑是图像数学模型所要展示的核心要素。 1.种群年龄结构图像变式（如图3）
图3显示了3种常见的种群年龄结构变化图像，即柱形图、曲线图和平面几何图。3种图像所依据的现实对象信息源是相同的，即均指向种群数量随种群年龄结构变化而变化的规律，又同在图像模型范畴，属于最为简单的变式。 ①变式特征：为几何符号。 ②知识迁移：未有发生。 ③使用建议：新课导入时一次性展示比复习课再归纳效果要直接。 2.减数分裂图像变式（如图4）
上图也有3种变式：柱形图、折线图和减数分裂细胞学原理图（严格意义上是物理模型），均为细胞核中有关结构数量（染色体和染色单体）或物质含量（DNA）对时间作图，图像变式同样并非因知识迁移释放新信息所致。对图4变式的关键性解答在于3种图像在时间上是同步的，使得减数分裂过程一目了然。建议在学习减数分裂内容结束后的阶段性总结中使用，图像变式的展示程序及师生参与的程度应视具体情况而定。 3.种群增长曲线图像变式（如图5）
①变式特征：为图中虚线框在坐标横轴方向的位移。 ②变式探究演示：按照图2中虚线箭头所示的探究路径演示。当虚线框在双坐标图像的横轴上作任意移动并切割出不同的线段组合时，数学模型有了新变式，追踪到的新信息就是自变量（时间段）改变了，由此可以发现研究对象已经指向了种群S型增长的不同阶段（分别是：调整期、对数期、稳定期和衰退期），即发生了知识迁移，此时需找到数学模型的新解答，选择适当的数学方法才能求得数学模型的新解答，图5中2条曲线所代表的概念之间的逻辑关系就是数学方法，2条曲线所代表的概念分别是种群数量N和种群增长倍数λ，两者的逻辑关系是：
，如果学生掌握λ在种群S型增长过程中的变化规律，教师完全可以将图5中某一曲线的一部分先抹掉，让学生根据显示曲线的已知部分附上另一条曲线相应的未知部分。这就是数学模型的新解答，即经过了图像数学模型变式后，学生再一次读懂了模型。 ③使用建议：将上述训练定位在强化巩固阶段会有事半功倍的效果。 4.酶系列曲线图像变式（如图6）
图6看起来有些零乱，却已囊括酶促反应中几乎所有曲线变式，知识微妙迁移不言而喻。此例也将用图2中虚线箭头所示即变式涵义之二的逆向思维解答数学模型。 ①变式特征：为曲线归类。图6中曲线变式归4类（分别用不同类型线段出示）。 ②新信息源：二维坐标系代表的变量（即：自变量和因变量）正是不同归类的图像变式所要追踪的新信息源，简言之，如果能将图6中的某一类图像变式进行二维坐标准确定位，就不难发现酶曲线变式后到底折射出哪些细微的知识迁移。 ③知识迁移：酶活性强弱专指酶作为蛋白质分子其空间结构中活性部位的活跃程度；酶促反应，速率则反映酶分子与底物分子之间相互作用的速度。能影响酶活性的因素一定会影响酶促反应速率，反之则不成立，无疑，此处存在着知识核心的迁移。判别过程中横纵坐标变量关系与曲线变式必须精准对接。 ④新解答：“—-”线段所示为抛物线图像，作为数学模型的抛物线其顶点对现实对象做出的解答是：温度和pH对酶活性的影响是有最适位点的；“……”所示图像中的两线段虽然归于一类，却有着细微之差：其一，两线段起点不同，其二，线段是否弯曲，解释为现实对象就是指：是否存在反应速率的饱和，即反应受限于某些条件，这些反应条件当属底物浓度与酶浓度，而这2项浓度不会影响酶活性；至于线段“——”和“……”所示的图像，其变式共性在于都有封顶，自然可理解为：随着时间的推移…… ⑤使用建议：如果将图6一次性完整展示，则意图在于判别横、纵坐标变量关系与曲线变式的精准对接，这是一种综合性非常强的复习手段；如果单挑，则可先确定横、纵坐标变量关系，而后绘制出在既定变量关系中的曲线图像，因无须判别，从而减少了干扰，知识变得单一。 5.光合作用曲线图像变式（如图7） ①变式特征：为曲线归类。 ②新信息源：横轴光照强度与纵轴气体吸收和释放量构成变量关系（即：自变量与因变量关系）；横轴时间与纵轴室内
浓度可构成另一组变量关系。
③知识迁移：涉及光合作用的
和
均为气体，光合作用是吸收
并释放
的生理过程，
抑或是
作为因变量这只是知识的微迁移，但若将植物的气体变化量换成了室内的气体变化量，知识迁移的幅度则较大，数学模型的变式跨度也会很明显。另外，出于不同的研究目的，即使信息源相同（如：横、纵轴变量关系维持不变），构建出的模型也会不一样，由于研究指向发生了改变，知识已经迁移，图7中也有此类变式存在。 ④新解答：本变式案例采用图2中实线箭头所示的顺向思维进行剖析。若横轴表示光照强度，纵轴表示
吸收和释放量，“——”线段所示的双峰图像为其数学模型，若纵轴替换为
吸收和释放量，则图像变式为倒置；单、双峰处隐藏现实对象的解答（即：植物生长环境有差异，比如：夏季晴朗，冬季、雨季、温室等）；“——”线段与横轴之夹角面积用于代表净光合或净呼吸量，由此可引申出现实对象更深层次的解答。“- - -”线段所示的变式是在横、纵轴变量关系维持不变的前提下，研究指向了阴、阳生植物，该模型的变式特征为：与横轴的交叉点和拐折点，对现实对象的深入解答是：阴、阳生植物之间的光补偿点和光饱和点是有差异的，如若改变植物生长的环境条件，这些点是会发生移动的。当横、纵轴分别示时间和室内
浓度时，图像变式为“……”线段所示的曲线，水平线为室内起始
浓度，曲线中的所有拐点都是有现实含义的。至于虚线框的应用价值此处不再赘述。 ⑤使用建议：图7和图6的解剖大抵相同，区别在于图2中显示的顺逆向思维的立足依据。探究路径不同，意味着教师首先提供给学生的信息源不同，学生思考的切入点肯定也不同。本文之所以同时阐述2种思维方向，旨在告诫变式的无穷和解答的无穷，而真正目的指向创新的无穷。变的技巧是灵活的，但变的规律是可以找到的，什么时候用、怎么用，仁者见仁智者见智。 当顺向思维时（图2中实线箭头所示），先有研究指向以确定构建模型的信息，然后找到一种数学方法（即：变式特征）去构建数学模型，再深层次解读模型，最后以模型的解答去剖析所研究的现实对象的解答。如：光合作用曲线图像变式的“新解答”部分，就是采纳了在指定横、纵轴变量的基础上勾勒图像的剖析思路。顺向思维的关键要素是“研究指向”也即“知识迁移”。当逆向思维时（图2中虚线箭头所示），是先有现成的数学模型，从模型的变式中追踪到新的信息源，而新的信息是知识迁移释放的，故能很快发现研究指向的改变，从而及时调整模型的解答方向，并重新解答现实对象。如酶系列曲线图像变式。逆向思维的关键要素是“新信息源”。 当知识积累到一定量时，必须进行归纳和综合，使其形成更加鲜明的主干，系统基盘更加稳固。根深，则枝繁叶茂。
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