无边对角线_对角线论文

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       本文试图通俗地介绍数理逻辑史上的几个重大结果,包括康托尔对角线定理、罗素悖论、塔斯基不可定义性定理以及哥德尔第一不完全性定理。我们将以一种简单的对角线方法,将这些结果串联起来,展示其背后一以贯之的直观思想。全篇介绍,不假设读者有数理逻辑的基础知识,尽量不涉技术细节,而又力图不失严格。当然,这些结果,不论在逻辑、数学还是在哲学上,都有丰富的意蕴,一篇文章不可能曲尽其妙,而且难免偏失要点、挂一漏万。但我们希望,这篇介绍能够提供一条接近、理解这些重大结果的“捷径”。

       一、二值对角线

       随便取两个(不同的)东西,我们用0和1两个符号代表它们。考虑二者组成的序列,将诸序列由上而下排队,形成下面这种表:

       1 0 0 1 0 0 1 1 …

       1 1 1 0 1 1 1 0 …

       0 0 0 0 1 1 1 1 …

       注意:表1的(左上往右下的)对角线也构成一个由0与1组成的序列,而且,表中每一行都与对角线有一“同位交点”(以下简称这一行的交点)——任意第n行的第n位恰是对角线上的第n位。

       称一个0、1序列的反转序列为其中每个符号换为另一个符号后得到的序列(如10010…的反转序列为01101…)。那么,以上事实立即导致:

       基本定理 表1中不存在一行,恰好构成对角线的反转序列。

       因为,这样的一行,其交点既等于对角线的同位点(同一个点),又不等于它(“反转了”)。就是说,交点上的符号是1当且仅当它是0,而我们假定1≠0。矛盾。

       表1非常直观,基本定理可以说是一望而知的,其中的假设也非常简单:有两个东西,二者不同——基本定理的推导,依赖于这个“二分原则”。当然,我们还假设了这两个东西可以在“空间”里(允许重复地)排成一行,但并未假设它们可以排到无穷长。只要对角线可以划出,不管它有穷还是无穷,基本定理都成立。

       表1也是抽象的:我们并未指明其中的1与0代表什么。但是,抽象二分的1与0有许多相对具体的“表示”。在下面要讨论的一些具体表示中,我们可以看到这个浅显直观的基本定理,蕴涵着多么深刻的内容。

       二、无穷的大小——康托尔对角线定理

       我们假定有些东西叫自然数,从小到大记为0,1,2,等等,它们聚在一起,形成一个集合N(不需假定N是无穷集合)。自然数的一种自然的用途,是“数东西”,即用它们给一些东西逐一编号:第0个,第1个,第2个,等等,以确定这些东西到底有多少个。如果不管你怎么数,甚至“用尽了”自然数,总有东西不能数出来,那么,这些东西的“数量”就多于自然数。

       现在,把你的每个自然数都对应到0或者1(不能把一个数同时对应到二者),那么这样的对应方式有多少?每个这样的对应方式,就是一个从N到{0,1}集合的函数。这样一个f,“输入”的是自然数,“输出”的值是0或1,权且称作一个N-函数。所以,我们的问题是:到底有多少N-函数?

       我们试把N-函数尽量“数出来”:第0个,第1个……(不妨记为

,…),再排出每个函数的值,就得到:

      

       其中每一项都等于0或1。这便是抽象的表1的一种具体表示,即把0、1表为N-函数的值。

       显然,表2的对角线为:

      

       这当然是N-函数

依次输入0,1,2,…得到的0、1序列。

       这个对角线函数

有些特别,它的取值从左上到右下贯穿整个表2,所以,它的定义依赖于表2中所有的函数,但这不妨碍它仍然是一个从N到{0,1}的函数:给定一个数n,先找到第n号函数

,再输入数n,最后得到的fn(n)当然是0或1。

       对角线的反转序列显然也是一个0、1序列,也对应于一个N-函数。实际上,这个反转函数可表为:1-

。①

       现在,上节的“基本定理”断言:这个反转序列不在表2中,即N-函数1-

没有“编号”,不存在于

,…中(否则这一行的交点处有矛盾)。

       以上证明,任何把N-函数逐一“数出来”的努力,都形成类似表2的一张表,因此都不能“数完”这样的函数——不管你怎么数,那个反转函数总会漏掉。这意味着:

       定理1 N-函数多于自然数。

       定理1的证明不依赖于N的大小。现在假定N是一个无穷集合,这恐怕是我们能够设想的最自然的一种无穷了,比它小的显然都是有穷的。历史上曾有这样的问题:有比N更大的无穷吗?定理1提供的答案是:如果所有的N-函数也能形成一个集合,那么这个集合就比N大!

       让我们进一步接受这个更大的无穷。新的问题自然是:还有再大的无穷吗?数学家经常使用“类比”把较低层次的情形概括到较高的层次——既然对角线方法用于N产生了更大的集合,我们不妨考虑“故技重施”于这个新集合,甚至反复使用这个方法。

       现在概括到一般情形:任给集合A(不管它多大),仿上考虑从A到{0,1}的函数(A-函数)。这时,表2那样的直观图形不见了。比如,当A是实数集时,我们不知怎样画出一个行、列离散的A-函数表,也看不见什么对角线。但是,我们可以超出直观图像,抽象出一个一般的对角线方法,它无非包括以下几个步骤:

       第一,用A中元素“数”A-函数(或为其“编号”),形成抽象的A-函数表

       第二,找到F中的“对角线”函数,形式上,它就是

。这是个A-函数:输入A中元素a,输出fa(a),即0或1。

       第三,于是有

的反转函数1-

,它也是个A-函数。

       这样抽象后,“基本定理”还成立吗?我们来验证一下:

       假设反转函数1-

就在表F里,因此它是某个

。那么,

      

,对所有x∈A成立。

       特别对于fa这一“行”的“交点”a∈A,我们有:

      

       所以,

=1当且仅当

=0,简单说就是1=0。矛盾。

       所以,这个反转函数的确不在表F中。我们得到定理1的推广:

       定理2 对任意集合A,A-函数多于A中元素。

       对一个集合(如N)迭次使用这个定理,就得到越来越大的函数集合。

       A-函数有些抽象:其值0与1到底为何,没有具体规定;从输入怎样得到输出,也没有明确的算法。但无论如何,就其“表现”而言,每个A-函数f都把A划分为两个互补的子集——{x:f(x)=1}和{x:f(x)=0}。不妨称{x:f(x)=1}为f的“外延”。显然,每个A-函数有专属的唯一外延,而且,A的每个子集都是某个A-函数的外延。所以,A-函数的数目等于A-子集的数目。按定理2,A的子集也比A的元素多。用“基数”(一个集合的“大小”)术语表达,这就是说:

       康托尔定理对任意集合A,A的幂集的基数大于A的基数。

       这是定理2的另一种表达,是集合论的一个基本定理。据此,我们从N(最小的无穷集合)出发,逐次取幂集,得到越来越大的集合,如此下去,以至(N那么大的)无穷;这不是结束,而是新的开端,就仿佛我们回到了N,可以再往下取幂集,又到新的开端……正所谓“没有最大,只有更大”!

       这个过程的第一步中,康托尔已证N的幂集的基数等于实数集的基数,因此,实数多于自然数。那么,一个自然的问题就是:有没有一个集合,其大小介于自然数集与实数集之间(一般而言,任意无穷集合A的幂集比A大多少)?这就是著名的“连续统问题”,位列希尔伯特1900年提出的第一问题。这个问题至今悬而未决,百余年来一直推动着集合论的发展以及人们对于集合概念的哲学思考。②

       三、概念问题——罗素悖论

       表1也可以视为真概念的一个模型。令1与0分别代表“真”、“假”二值,此时二分原则表达了矛盾律(1≠0)和排中律(1与0之外无第三值),即关于经典真概念的二值原则。

       真与假可表为概念的值。按弗雷格的说法,一个概念可视为这样一种函数,输入一个东西,输出真或假(二者统称真值)。比如,对于概念“…是一个偶数”,若在其空位里输入2,则得到真命题“2是一个偶数”,输出真;若输入弗雷格,则得到假命题“弗雷格是一个偶数”,输出假。对于这样的概念,我们还可以谈论它们的概念,如“…是关于自然数的概念”。直观上,我们甚至有“…是一个概念”这个适用于所有概念的大全概念。②

       总之,给定一个类C,一个C-概念,形式上便如上节那样,是一个从C到真值集{0,1}的函数。类似上面的A-函数,一个C-概念f把C划分为两类,它唯一对应的C的子类{x:f(x)=1}称为f的外延。

       现在,令C为所有概念组成的类,考虑C-概念。完全仿照上节定理2的证明(用C中元素给C-概念“编号”,形成C-概念表,找到对角线概念及其反转……),就得到一个类似的定理:

       C-概念多于C中元素。

       但是,既然C已包含所有概念,包括所有C-概念,C-概念就不会多于C中元素。矛盾。这便是罗素悖论的一种表达。

       我们看一下对角线方法应用的细节。其实,给定了C,我们就已经自动地得到了一个大全概念表,即C本身。它可以看成用每个概念为其自身“编号”的表,即{

:f∈C},其中的

就是f。表中每个概念输入的是C中元素(概念),输出的是0或1。

       按对角线的构造形式,这里的对角线是ff(f),即f(f),而其反转为1-f(f)。

       对角线f(f)是概念f输入自身的结果,它的定义涉及所有概念,那么它本身是不是一个概念?似乎如此。有些概念输入自身后输出为假,如“…是一张桌子”(“桌子”(这个概念)不是一张桌子);或许还有些概念输入自身后输出为真,如“…是抽象的”(“抽象”是抽象的)。我们称后一类概念是能谓述自身的,前一类是不能谓述自身的。如此看来,对任何概念f,f(f)为真当且仅当f能谓述自身——f(f)即是“…能谓述自身”这个概念(C-概念)。

       若承认对角线概念,那么也要承认其反转概念g(f)=1-f(f)。这里的运算“1-x”是真和假之间的否定运算。因此,对任何f,g(f)为真当且仅当f(f)为假——g(f)说的是:f不能谓述自身。换言之,g就是“…不能谓述自身”这个概念。

       现在,概念g输入g自身,结果为g(g)=1-g(g),所以,

       g(g)为真当且仅当,g(g)为假。

       这即是g概念“交点”处的矛盾。我们于是得到罗素悖论的另一种表达:

       罗素悖论(内涵形式):g(“不能谓述自身”)这个概念能谓述自身,当且仅当它不能谓述自身。

       类似地,我们还有这个内涵悖论的延伸形式。比如,如果将概念与性质对应的话,我们有:“不能例示自身”这个性质能例示自身,当且仅当它不能例示自身。

       从外延角度看,g(f)为真,说的是f的外延属于g的外延。现在我们统一用概念的外延代换概念(用大写字母标示外延),就得到“g(f)为真当且仅当f(f)为假”的外延版本:对任何F,F∈G,当且仅当F

F。当然,特别对G而言,我们有:

       罗素悖论(外延形式):G∈G,当且仅当G

G。

       以上形式的罗素悖论主要关乎弗雷格的概念理论,其中能够证明概念“不能谓述自身”及其外延的存在。但罗素悖论形式上很简单,用词又非常基本,与其说是关乎某个理论,不如说是关乎逻辑的初始概念。因此哥德尔认为这是一个严重的问题,他评论说:“它们……昭显了一个令人惊异的事实——我们的逻辑直觉(就是说,关于真、概念、是、类等等的直觉)是自相矛盾的。”④我们这里遵循哥德尔,称以上的概念悖论为逻辑悖论。

       再说集合。我们这里不需讨论概念的外延与集合的关系,仅从以上外延悖论的形式即可看出,如果可以定义“集合”R,使得对任何集合X,X∈R,当且仅当X

X(即R是所有不属于自身的集合的集合),那么我们有:

       罗素悖论(集合形式):R∈R,当且仅当R

R。

       这是人们熟知的一种集合论悖论,一般归于康托尔的素朴集合论,但康托尔应该不会承认如上定义的R是一个集合,他把聚合(collection)区分为一致的(是集合)和不一致的(不是集合),因而会将R归为后者。哥德尔等进一步认为,⑤集合论悖论是出于对“集合”概念的误解,集合就其基本直观而言,是从“底层”逐次向上得到的东西:一个集合是从一些良定义的东西开始(如自然数),通过迭次使用“…的集合”运算而得到的(如得到自然数的诸集合,这些集合的集合等等),而这个过程没有尽头。因此,比如说,不能把所有集合统为一个集合。但概念则相反,它们总是“从上到下”把某类东西一分为二(外延与“反外延”),甚至把所有概念分为“能谓述自身的”与“不能谓述自身的”,把所有集合分为“属于自身的”和“不属于自身的”。这种划分方式,只有用于集合,才能得到集合(如上节对于N等集合的划分),而一般性地用于类,则不保证得到集合。比如,上面R那样的定义方式,是将某种划分用于“所有集合”这个类,结果就不是一个集合。

       因此,按哥德尔等人的看法,以上悖论中,只有逻辑悖论是真正的问题,但它们无关乎集合,“不是数学的,而是逻辑和认识论的问题”⑥。

       罗素本人则试图给逻辑悖论与集合论悖论以统一的解决,这与他的逻辑主义立场(把数学还原为逻辑)相关。回到上面,罗素悖论的推出,依赖于两个关键前提:

       第一,存在所有概念(或外延)组成的全类C;

       第二,存在对角线概念f(f)——因此存在其反转概念。

       否定其一,即可阻止罗素悖论。罗素同时考虑了二者,也提出“限制大小原则”等来否定第一种全类的存在。⑦但是,即使只有有穷多概念,如果承认了对角线概念,就仍然可得悖论。⑧所以他认为问题的关键在于“第二”:对角线f(f)是由全体概念定义的,因此不能再成为一个概念,否则其定义将指涉本身,而导致恶性循环。罗素分析说,当时所知的悖论,都源于类似的恶性循环,即把用某类的全体定义出来的东西放入这一类。于是,他建立了一个一般的“恶性循环原则”(Vicious circle principle,以下简称VCP),来禁止此类循环——任何一个全体都不能包含只有通过这个全体才能定义的成员。

       这导致几个结果。第一,任何一个概念(罗素称为命题函数),因其定义涉及其定义域中所有元素,都不能成为其定义域中的一员。所以,概念分为不同的类型:个体概念(类型1),个体概念的概念(类型2),等等。对概念f和g,表达式f(g)有意义,仅当f的类型高于g的类型。因此,不存在f(f)这样的概念。这是(简单)类型论的思想。第二,不但如此,VCP还要求分层进入类型之内,就是说,同一类型的概念,还要有阶的区分,否则就会有通过一类型的所有概念定义的同类型概念,而这同样违反VCP。比如,个体概念“…具有所有的优秀品质”类型为1,但若不分阶,其定义就会涉及类型l的所有概念。因此,需要规定这个概念的阶数高于其定义中涉及的概念(如“审慎”、“勇敢”等)的阶数。一般而言,概念的定义域、量词的量化域都要限制在确定的阶上。类型论与阶论合起来,形成了怀特海和罗素的《数学原理》(第一版)中的分支类型论。

       但是,经典实数理论中存在一些实数,只有通过指涉所有实数才能定义,这与VCP冲突,况且,较弱的处理(如简单类型论或限制大小论)已经足以避免已知的集合论悖论。所以,从经典数学的立场来看,VCP限制过多。的确,对于普通的经验对象,违反VCP的定义(如“这间屋子里个子最高的人”)也可以成功地挑出特定的对象。而对于逻辑和数学的对象,哥德尔认为,只有采取构造主义(即主张那些对象是我们构造或定义出来的)的观点时,VCP才适用,而从实在论的观点来看,对于独立于我们的构造而存在的对象,即使做循环的刻画(定义),也毫无荒唐之处。

       VCP的立场,称为直谓主义(predicativism),始于罗素的《数学原理》,之后又有一系列的发展。直谓主义在逻辑上承认排中律,数学上也接受了集合N这种实无穷,因此强于直觉主义,但弱于经典集合论。⑨

       四、形式语言中的真——塔斯基定理

       再看一下罗素悖论,它还可以有一种形式,牵涉真概念。所谓“真”,看起来是一个(概念的)概念t,它满足:对任意概念f,t(f)=1当且仅当f是一个命题(0元概念)且f=1。就是说,落入t之下的,是且仅是真命题。考虑将t应用于对角线概念f(f),即t(f(f)),则其否定为g(f)=1-t(f(f)),于是有:

       g(g)=1-t(g(g))。

       所以,命题g(g)=1,当且仅当t(g(g))=0,当且仅当g(g)=0。矛盾。这个g(g)与上节那个不同,它是所谓的“说谎者句”:就其形式而言,它说到自身(“自指”),而且说的是自身为假。这个悖论因此是一种说谎者悖论。

       当然,这段推理(连同上节有关罗素悖论的讨论)夹杂着模糊的自然语言词汇,多处诉诸直观,因此有不清晰之嫌。⑩现在,我们转到形式语言中考察相关的问题。形式语言简单、严格,其语法和语义概念都有归纳定义,而且,它是外延性的(其中的概念词只表达概念的外延),因而避免了内涵因素的纠缠。

       我们挑选形式算术语言L(包含自然数0,1,…的名字,加、乘运算的符号等),配以一阶逻辑,加入算术公理(如皮亚诺公理),形成一个形式算术系统。

       这个系统要描述的,是自然数的(标准)结构,即N连带其中的加、乘运算。其语言L中每个含有一个自由变元(“一个空位”)的公式F(x)表达一个关于自然数的概念,即第2节中提到的一个N-函数(的外延),也就是N的一个子集。每个L-语句(不含自由变元的公式),比如F(2),在自然数结构里都有确定的真值。(11)L中的联结词“

”表达真假之间的否定运算,即前面的“1-”,因此,公式

F(x)表达F(x)的“反外延”。这里的公式,有严格的语法定义,真概念有严格的语义定义(塔斯基定义),但这些定义不是表达在形式语言L中,而是表达在其“上层的”元语言中,即我们用来谈论L的语法和语义的语言中。

       哥德尔为L的每个语法对象编配了唯一的、专属的自然数。结果,L便含自己的语法对象的名字(数),可以“谈论”它们。就是说,元语言中谈论L的语法的一些语句,比如“L-符号序列A是一个L-公式”,可以用L-语句(算术句)来“模拟”。(12)

       我们把L-公式F的哥德尔数记为[F]。

       但是,“L-语句的真”这个语义概念能“模拟到”L中去吗?如果可以,按照元语言中这个概念的定义,它应该表达为含有一个自由变元的L-公式T(x),使得落入T之下的,是且仅是真的L语句的名字,即

       (T-模式)T([F])的值=F的值,或

       T([F])为真当且仅当F为真。

       其中F是L语句,“真”仍然是(元语言中的)语义概念。

       现在考虑所有含有一个自由变元的L-公式。由于L-公式集是可数的,所以它们可以完全列出为

,…将之代入数名,制成下表:

      

       表3穷尽了L中可定义的自然数概念,其中诸语句取值1或0,即L-语句在自然数结构中的真值。因此表3形成表1的一个具体表示,

       按老套路,我们先确定对角线概念

:输入一个数n,先找到公式

,再代入n,得到语句

,根据它的值,输出1或0——这的确是一个自然数概念。注意,这个概念的定义虽然涉及表3中的所有概念(或公式),但并不违反VCP,如果这个概念本身不出现在表3中的话。

       当然,它不出现在表3中。否则的话,会有数n,使得

       公式

的值,对每个数x。

       于是,公式

的值,对每个数x。

       所以,

产生了对角线的反转序列,但它也是含有一个自由变元的公式,因此出现在表3中。这与“基本定理”(表3中没有对角线的反转序列)矛盾。

       这说明,对角线概念

不能用一个L-公式定义。这同时说明,L不产生罗素悖论,因为,这个悖论的得出,要求概念表中包含对角线概念,而L的概念表(表3)不满足这个要求。

       进一步我们得到:

       塔斯基定理 不存在满足T-模式的L-公式T(x)。

      

       即

产生了对角线(“复制”了对角线序列),因此表达了对角线概念。但它是含有一个自由变元的公式,因此出现在表3中。这与上述矛盾。

       对应于本节开头的直观推理,我们在简单的形式算术语言L中证明了:L的真概念中不能在L中定义。否则,就会违反“基本定理”,其结果是,表3中有公式

=

,此行交点为

=

,而这个

就是一个“形式说谎者句”:它为真当且仅当它为假。

       读者也许会发现,上面对塔斯基定理的证明中有一个“漏洞”:既然对角线概念

不能表为一个公式,那么[

]是什么?的确,[

]不是一个公式的哥德尔数,它是一个寻找对角线上语句的名字的函数:输入一个数n,按表3的对角线找到语句

,算出这个语句的哥德尔数,最后输出这个数。这是个能行的计算过程(这个函数是原始递归的),因而(哥德尔证明)能够表示为L中的一个项(表数论函数),就如“x加1”,“x的平方”等。所以,对于任意公式F(x),其代入结果

也是一个公式。(13)

       这导致一个一般的结果:假设

在表3中位于第n行,即它就是

,那么,这一行的交点处,我们有:

。这个语句是F(x)的一个自指固定点,它说自身是F。这便是哥德尔对角化引理的直观思想。

       五、真与可证——哥德尔第一定理

       L-语句不止有真值,如果考虑它们在系统中是否可以证明,那么它们还可以有一种“可证值”:

       若F可证,则F的(可证)值=1;否则F的(可证)值=0。

       现在令表3中的语句取可证值,则我们得到一张“可证值表”。它与先前的“真值表”有什么关系呢?我们当然希望我们的算术系统是可靠的(可证的都真),也曾经有人希望,公理足够强的话,它也能是完全的(真的都可证)。但是,如果两个希望都实现,那么两张表就完全重合,可证性概念就是真概念(二者外延相等)。这意味着,我们会有一个P-版本(可证性版本)的“塔斯基定理”:

       不存在满足P-模式的L-公式P(x).

       其中的P-模式(仿照T-模式)为:

       P([F])的(可证)值=F的(可证)值,或

       P([F])可证当且仅当F可证。

       但是,可证性是一个语法概念,只涉及公式的组合性质,因此直观上有别于真这个语义概念。我们不妨先假设可证性概念可以用一公式P(x)定义,且P(x)满足P-模式,看看对角线把我们引向什么结果。

       首先,既然P(x)表达可证性,那么落于其下的,是且仅是可证公式的名字,即:

       p([F])为真当且仅当F可证。(14)

       这样,P-模式就可以等价地表达为:

       若P([F])为真,则P([F])可证(称其为系统的P-完全性);

       若P([F])为假,则P([F])不可证(系统的P-可靠性)。

       这不要求真与可证在表3的全部语句上重合,只要求它们在P([F])这样的语句处重合。

      

       这个交点句说自身不可证。但这不是什么悖论,如果它的确为真而又不可证,或为假而可证,则这个等值式就成立。

      

       2)交点句的否定也不可证:

      

       总结上述几点,我们得到:如果有满足P-模式的公式P(x),则所讨论的系统不完全——存在一个语句(那个交点句),它与它的否定都不可证(它是真的,但不可证)。

       细查“第三”中推论的条件与结论,这个结果可以表达得更严格一点:

       对于上述形式算术系统,若有可证性谓词P(x),那么可构造语句G(交点句),使得:

       1)如果系统一致,且P-完全,则它不能证明G;

       2)如果系统进一步是P-可靠的,则它不能证明

G。

       哥德尔第一不完全性定理,可以看成这个直观结论的精细化与严格实现。这里不涉细节,只述大概。

       首先,是否能构造可证性谓词,使得系统P-完全,取决于系统的强弱。在弱于皮亚诺算术的系统(大体而言,去除了归纳公理模式的系统)中,就能够表示原始递归关系。比如,公式序列A是公式B的证明,就是这样一个关系,可以表示为算术公式Proof([A],[B]),使得

      

       最后,我们在上述概念的背景下叙述哥德尔的结果:

       哥德尔第一不完全性定理:

       对于足够强(P-完全)的形式算术系统,可以构造语句G,使得:

       1)如果系统一致,则它不能证明G;

       2)如果系统P-一致,则它不能证明

G。(16)

       注释:

       ①我们定义{0,1}上的“-”函数,使得1-0=1,1-1=0,虽然这里的1与0不必是自然数。

       ②根据哥德尔和Paul Cohen的工作,我们已知普通的集合理论(如ZFC)不能判定连续统假说(既不能证明它也不能否证它)。在某种观点之下,这或许是连续统问题的解决。但许多人仍然相信,关于集合的这个清晰而“初等”的问题,一定有一个是或否的答案。哥德尔认为,ZFC之所以不能判定连续统假说,是因为它没有包含足够的公理。这促动了集合论学者寻找新的大基数公理,不断扩展集合的领域。如今,连续统问题仍无答案。或许问题在于,什么样的解决方案能够被视为一个答案。

       ③为简明,这里所说的概念,都只有一个空位,或者说,我们这里只谈论1元概念。

       ④Kurt

,Russell's mathematical logic,in

1990,p.124.

       ⑤参见Kurt

,What is Cantor's continuum problem? in

1990,p.180.

       ⑥同上,p.262.

       ⑦粗略地说,这个原则要求概念的外延不能太大。策梅罗等人的公理集合论,即可看作这个思想在类方面的发展。

       ⑧见第1节。基本定理不假设无穷。

       ⑨直谓主义数学(集合论),大体而言,从自然数集N出发,用直谓定义的(即符合VCP的)概念迭次得到子集(因此没有“N的任意子集”概念,也不能非直谓地取幂集),而且,标示过程中每一步的,必须是此前得到的序数(直谓序数,不是经典序数),如此得到哥德尔可构成集论域的一个片断。根据S.Feferman和K.Schütte的结果,这个过程止于一个递归序数

。这是目前关于直谓性问题的标准结果,但在哲学上,关于直谓性到底要求什么,VCP如何严格表述等问题,或许仍有探讨的余地。

       ⑩比如,公式

y(x=y+y)表达概念“…是偶数”;若把自由变元x代以名字2,则得到真句子

y(2=y+y)。

       (11)有关“模拟”的细节,这里省略,可参阅康宏逵:“模态、自指和哥德尔定理”前面几页。此文载于康宏逵编译《可能世界的逻辑》,上海译文出版社,1993年。

       (12)比如,“概念”、“命题”、“真”等表达并不清晰。而且,对于真概念的刻画,已经使用了(同一个语言所表达的)真概念,因而令人生疑。

       (13)有关细节亦省略。参考材料见上注。

       (14)在这个意义上,为理解可证性,我们仍然必须假设真概念或与之等价的概念(“落于其下”等)。哥德尔曾言,超穷的真概念是他的“助探原则”,正是通过比较真与可证性,他才得到了不完全性定理,而“反柏拉图主义的偏见”阻止了别人得到这个结果(见王浩《逻辑之旅》,浙江大学出版社,2009年,页103)。

       (15)如果系统P-可靠,则有公式不可证,而后者等价于系统的一致性。但是,一致性不蕴涵P-可靠性。

       (16)哥德尔原初用的是更强的ω-一致,晚近的文献通用1-一致。

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