法国数学教材中的“乘法公式与零积方程”，本文主要内容关键词为：乘法论文,法国论文,方程论文,公式论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
乘法公式是初中代数的重要内容，是一元二次方程解法的基础.在法国初中四年级数学教材Math 3e[1]中，“乘法公式与零积方程”这一知识点安排在第5章.在内容的编排顺序、风格、呈现方式等方面，法国教材都与我国教材存在差异.本文考察其中的章头、预备知识、活动、习题和阅读材料等栏目中的内容，试图寻找其中的数学历史元素，分析历史材料的运用水平，以便为我国的教材编写和课堂教学提供借鉴.
一、章头
章头由一张图片和三张卡片组成.在图片上，法国数学家阿兰·康尼斯（Alain Connes）坐在一个写满代数表达式的表前（图1）.第一张卡片介绍说：康尼斯35岁时就因在代数领域的杰出成就而荣获菲尔兹奖，在他的研究生涯中，康尼斯还获得了克莱奖、克莱福德奖以及2004年法国国家科学研究中心金奖.
第二张卡片介绍中世纪法国艺术家和建筑师维拉尔·德·霍内科特（Villard de Honnecourt）羊皮书（约写于13世纪30年代，今藏法国国家图书馆）中的一幅设计作品.该作品为两个同心正方形，其中小正方形对角线之半等于大正方形边长之半（图2）.于是，两个正方形面积之差等于小正方形面积.卡片上还说：许多13世纪教堂内的花园都按维拉尔的上述方法来设计：草木覆盖部分的面积等于未覆盖部分的面积！
第三张卡片介绍近代代数学鼻祖韦达（F.Viète，1540-1603）.正是韦达最早提出用字母表示量的思想，并借助+、-、×、/等符号来实施运算，最终导出一般公式.
三张卡片所涉及的人物分属三个不同时代：13世纪、16世纪和当代，但均为法国人.维拉尔的设计作品为平方差公式及其几何推导埋下伏笔.尽管早在公元前一千七百年左右，乘法公式就已经为古巴比伦人所用，但韦达是历史上用字母表达乘法公式的第一个数学家.康尼斯的代数表达式则说明了符号代数对现代数学的重要意义.三张卡片的目的很明确：引出本章主题，宣扬数学文化，创造学习动机，激发爱国情感.
二、预备知识
“预备知识”栏目首先给出13道选择题，涉及代数式运算和化简.其中第10～13题为文字题，要求学生选择正确的代数式，如：“选一数x.加上7，将所得的和乘以所选数，则可得到：A.（x+7）×7；B.（x+7）x；C.x+7×x.”练习题中，前三题分别让学生化简、先展开再化简和因式分解，第4题则让学生选择每一种文字表达所对应的代数式：
我们知道，数学史上，代数学经历了从修辞代数到缩略代数、再到符号代数的过程，尽管此时的学生已经完成了向符号代数的过渡，但数学学习是一个螺旋式上升的过程.法国教材在这里再次间接地运用代数历史，进一步将学生从修辞代数引向符号代数.在后面的习题中也设置了类似的问题.
三、活动
活动之三：让学生用a和b的表达式来表示图中的阴影部分面积，然后按虚线将阴影部分剪成同样的两个直角梯形，并将其拼成一个长方形（图5），再用a和b的表达式来表示该长方形面积，从而导出平方差公式（a-b）（a+b）=
-
.…（2）
接着展开并化简（a-b）（a+b），得到上述公式，然后是公式的应用.
和中国教材（如上海初中教材以及华师大版全国初中教材）一样，法国教材运用欧几里得《几何原本》卷二中几何代数法来呈现乘法公式.公式（1）即《几何原本》卷二命题4，同卷命题6则等价于公式（2）.尽管法国教材在用几何代数法证明公式（2）时，采用了与中国古代数学家刘徽和赵爽不同的直角梯形法，但用几何方法来呈现乘法公式，完全符合这些公式产生和发展的历史.[2]
活动之四为因式分解，包括通过提取公因式进行因式分解、利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解.
活动之五为“零积方程”.一边为两个一次因式乘积、一边为零的方程称为“零积方程”.首先，从一个具体的数乘以零，到一个字母乘以零，引导学生得出一般结论：若a=0或b=0，则a×b=0；若a×b=0，则a=0或b=0.接着，给出零积方程（x+5）·（2x-3）=0.让学生思考：为什么称该方程为零积方程？它是一元一次方程吗？使x+5和2x-3等于零的x值各为多少？零积方程（x+5）（2x-3）=0的根是什么？最后，让学生解方程（3x-4）（x-7）=0，并利用因式分解法解方程2
-x=0，（2x-1）·（-3x+2）+3（2x-1）=0，以及-2x+1=0.
我国教材并不专门介绍零积方程.为什么法国教材却在乘法公式之后花大量篇幅专门介绍这类方程呢？我们认为，这是法国教材借鉴数学历史的成功范例之一.
从历史上看，最早用因式分解法来解方程的是17世纪英国数学家哈里奥特（T.Harriot，1560-1621）.他在《实用分析术》（1631）的第二部分里讨论了由“原始方程”导出“标准方程”的方法.其中二次方程的情形如下[3]：
若a=b，则a-b=0，于是（a-b）（a+c）=0.但（a-b）（a+c）=-ba+ca-bc（原始方程），故得-ba+ca-bc=0，即
-ba+ca=bc（标准方程）.………（3）
若a=b或a=c，则a-b=0或a-c=0，于是（a-b）（a-c）=0.但（a-b）（a-c）=-ba-ca+bc（原始方程），故得-ba-ca+bc=0，即
-ba-ca=-bc（标准方程）.………（4）
第四部分讨论方程的根，其中两个命题指出：方程（3）和（4）的根分别为a=b和a=b或c.这里，b、c均为正数，a为未知数，不考虑负根.
这里，哈利奥特先从零积方程导出标准方程，再求后者的根.可见，正是零积方程让早期数学家想到解一般形式一元二次方程的因式分解法.无独有偶，在笛卡儿（R.Descartes，1596-1690）《几何学》（1637）中，我们也看到了这一点.笛卡儿将一元一次方程x-2=0和x-3=0相乘，得一元二次方程-5x+6=0，它的两个根为2和3[4].因此，正是零积方程导致了因式分解法的诞生.法国教材中的零积方程与因式分解法的历史相吻合，也完全遵循了学生的认知规律，为以后一元二次方程解法的学习打下了坚实的基础.
四、习题
“新课”栏目总结三个乘法公式和零积方程的解法.“方法”栏目相当于中国教材的例题部分，包括：利用乘法公式展开一个式子，或对式子进行因式分解；利用分配律进行因式分解；利用乘法公式因式分解；将方程化为零积方程并求解.
共有141道习题，诸题内容见下表1.
若干习题具有历史渊源，下面着重介绍其中三处.习题119中的图形（图6）即为大英博物馆所藏古巴比伦时期（公元前1800年-公元前1600年）的数学泥版BM15285上的“牛鼻形”，只不过泥版上的正方形边长为1而已.
习题131为几何代数问题：已知图8中的十字架与长方形面积相等，求x.题中的十字架正是9世纪阿拉伯数学家花拉子米（Al-Khwarizmi）的一元二次方程几何模型之一.一元二次方程的几何解法可上溯到古巴比伦时期，后相继为欧几里得、赵爽、花拉子米、斐波纳契等所用.法国教材无声地运用了古代数学思想，完成了穿越时空的思想对话.此外，还有10题为几何代数问题，2题使用修辞代数问题.
五、阅读材料
在习题之后，有一道关于毕达哥拉斯数（即勾股数）的附加题，“供好奇者阅读”：
在四千多年前的美索不达米亚，人们在用太阳晒干的泥版上写字.其中一块泥版称为普林普顿322号泥版（以美国收藏家命名），其上写有15组毕达哥拉斯数：均具有（
）的形式，其中n和m为正整数，n＞m.
希腊人发现了三元数组（
），其中n为大于等于1的整数.欧几里得最早给出了所有毕达哥拉斯数的一般表达形式：
，其中n和m为正整数，且n＞m.（1）验证：巴比伦人和希腊人发现了毕达哥拉斯数公式；（2）验证：欧几里得的三元数组为毕达哥拉斯数；（3）如何根据欧几里得的数组导出巴比伦数组？（4）取n=m+l，根据欧几里得数组，用m来表示希腊数组.
六、小结
根据以上考察，法国教材中“乘法公式与零积方程”较多地运用了数学史知识，运用的频数、形式和水平（根据文[6]所确定的标准）见表2.
斯宾塞（H.Spenser，1820-1903）说，“个体知识的发生必须遵循人类知识的发生过程”[7].克莱因（F.Klein，1849-1925）指出，“教学应遵循人类从知识的原始状态到更高级形式的道路”[8].波利亚（G.Polya，1887-1985）认为，“在教一门科学分支（理论、概念）时，我们应该让儿童重演人类心理演进的重大步骤.”[9]弗赖登塔尔（H.Freudenthal，1905-1990）则告诉我们：“从某种意义上说，儿童应该重蹈历史，尽管不是实际发生的历史，而是倘若我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史.”[10]以上教育家和数学家所言就是所谓的“发生法”.从表2可见，法国教材对数学史材料的处理并不仅仅局限于附加式的介绍，并不仅仅满足于“为历史而历史”，而是在一个较高的水平上无声地融入历史，是对发生法的恰当运用.无疑，这对我们的教材编写和课堂教学都有一定的启示.