解答高考数学创新题的存在问题与对策，本文主要内容关键词为：存在问题论文,对策论文,高考数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近年来，数学高考以能力立意来命题，改变了以知识测量立意命题的传统模式，适当减少了题量，但增加了思维量，重点考查思维和推理能力.并且每年都出现一批立意独特、情景新颖脱俗的创新试题.如1999年的第4，12，16，18，20，21题；2000年的第5，6，16，19（Ⅱ），21，22题；2001年的第9，11，12，21，22题，分别占全卷分数的35％，32％，29％.这些创新题背景公平，突出了数学思维能力和学习潜能的考查，是不可多得的好试题.但是，学生解答得并不理想，症结在哪里呢？下面就此问题结合笔者在学生中调研的结果，谈谈本人的知识.
1 近年创新试题概述
纵观近年高考数学创新试题，按内容及功能可分为以下几类：
1.1 研究性创新题
命题者着力于考查考生用已掌握的数学知识和方法，去研究、分析、判断、解决问题的能力.如1999年第4，16题，2000年第5题（判断函数y＝-xcosx的图象）和第19题（立几第二问），2001年第22题（函数）以及全国卷第20题（排列、组合数和二项式构成不等式的证明题）.
1.2 理解性创新题
这类题以1999年第12题（买磁盘和软件）和第20题，2000年第6题税率计算题和2001年第12题网络最大信息传递量为代表，以考查考生的阅读、理解能力的深刻性为主，计算量较小.
1.3 推陈出新题
和前两类题相比较，这类题与考生已学过的数学知识联系比较紧密，是由一些陈题演化而来，虽然考题的情景新，但主要考查考生对中学数学知识掌握的熟练程度和分析、解决问题能力的高低.如1999年第11题，2000年第16，21，22题，2001年第9，11，21题.
2 解答创新题存在的几个问题
（1）对问题的背景不熟悉.创新题情景新颖，虽然源于生产实践及社会生活，因学生较少参加社会实践活动，社会接触面较窄，往往对问题的背景并不熟悉.
（2）不能正确理解创新题中涉及的新概念、数式及图表的含义.
（3）没有弄清数量、图形间的关系.
（4）不能正确地将问题模型化、模式化或分解、转化为熟悉的数学问题.
概括地说，解答创新题可反映学生理解能力的高低，独立分析、解决问题能力的强弱；同时，也可看出教学中，教师以培养能力为核心，还是以传授知识为主的问题.
3 思路与对策
对数学能力的考查，最终以试题为载体出现.课本中的例题、习题及高考试题都是习题的精华，它们承载着丰富的信息，如对数学基础知识、数学思想方法及数学思维能力的要求.那么，针对创新试题的特点和解答创新题的存在问题，在解题教学中，如何充分挖掘习题的价值，去迎接创新题对教学的要求呢？下面，从解题的3个阶段中的5个方面谈谈对此问题的认识：第一阶段是解题前的阅读和理解，第二阶段是解题过程中的联想、展示及贯穿始终的质疑与批判，第三阶段是解题后的反思.
3.1 解题教学中，要重视阅读、理解能力的培养
阅读、理解是解决问题的基础，是思维萌发的前提，首先是对文字语言的理解，不仅与语文阅读能力有关，更与学生的社会实践经验相关.如1999年第20题是冷轧机轧钢问题，得分低，试题难度系数为0.13，主要原因是对问题的背景不熟悉；再如2001年第12题，是关于给定网络单位时间内通过最大信息量的问题，据笔者了解，得分也不尽人意，其原因是没能理解题意.其次是对符号语言的理解，数学中存在大量的符号语言，高考中也多次考查，近如1999年第18题在已知条件下对y＝θ－argz的理解不透，再如对题：“已知f（x）＝x[2]＋px＋q和g（x）＝2x＋（1/x[2]）的定义域为D＝[1/2，2]，当x，x[，0]∈D时，f（x）≥f（x[，0]），g（x）≥g（x[，0]），f（x[，0]）＝g（x[，0]），求函数g（x）的最小值”中符号的理解.第三是对图表语言的理解，如2000年第6，16，21题，2001年12题等分别考查了学生对表格语言、图形语言的理解.解题时，透彻理解语言的含意，是正确分析题意、梳理题中逻辑关系、寻找思维的切入点的基础，是能否顺利解题、过程是否简捷流畅的关键.
3.2 解题教学中，要重视联想、迁移能力的培养
近年高考试题大部分入口较宽，求解时联想、迁移的空间较大.命题者又往往在学科的交汇处着手，使试题更鲜活，因此.解题时要仔细分析题目的条件及关系，多角度联想，寻求一题多解、一题巧解，优化思维.灵感的产生来源于扎实的基础，简捷的方法来自于丰富的联想.
例1 已知函数f[x]＝（x[2]＋2x＋a）/x，对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
（2000年上海高考试题）
思考1 在区间[1，+∞）上，
f（x）＝（x[2]＋2x＋a）/x＞0
x[2]＋2x＋a＞0，
令g（x）＝x[2]＋2x＋a，
∵g（x）＝（x＋1）[2]＋a－1在区间[1，+∞）上单调递增，
∴对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立等价于
g（x）[，min]＝g（1）＝3＋a＞0，
即a＞-3.
思考2 由上述知x[2]＋2x＋a＞0，即不等式a＞-x[2]-2x当x∈[1，+∞）时恒成立.
此时，-x[2]-2x＝-（x＋1）[2]＋1的最大值是-3，
∴a＞-3.
思考3 f（x）＝（x[2]＋2x＋a）/x＝x＋（a/x）＋2，x∈[1，+∞）.当a≥0时，函数f（x）的值恒为正；当a＜0时，在[1，+∞）上，f（x）单调递增；x＝1时，f（x）[，min]＝3＋a.当且仅当f（x）[，min]＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立.
∴a＞-3.
3.3 解题教学中，要重视思维过程的展示，突出展示如何“想”
展示者既可以是教师也可以是学生；既可以展示简捷流畅的思维过程，也可展示不成功的思维过程；既可以在课堂内，也可在课堂外交流.展示后，其他学生对所展示的“思维过程”不要仅限于了解，而是要“悟”得明白.悟明道理后，要进行对数学思想方法的提炼与题型的归类，并纳入已有的知识系统中.展示思维过程，促使学生学会怎样“想”问题，促进学生对问题的深刻理解，拓宽学生的视野.
例2 已知二次函数f（x）的图象过点（-1，0），且不等式x≤f（x）≤1/2（x[2]＋1）对一切实数x都成立，求函数f（x）的解析式.
分析 设函数f（x）＝ax[2]＋bx＋c（a≠0），本题关键是寻求关于a，b，c的等量关系，注意到函数f（x）的图象过点（-1，0）及不等式x≤f（x）≤1/2（x[2]＋1）的等号成立的条件是x＝1，从而f（1）＝1，故有a－b＋c＝0，a＋b＋c＝1.
∴b＝1/2，c＝（1/2）－a.
从而，f（x）＝ax[2]＋（1/2）x＋（（1/2）－a）.
还得再寻求关于a的一个等量关系，从数形结合角度考虑，令y[，1]＝x，y[，2]＝f（x），y[，3]＝1/2·（x[2]＋1），作图如图1，f（x）的图象夹在y[，1]＝x，y[，3]＝1/2（x[2]＋1）之间，故直线y＝x与抛物线y[，2]＝f（x）相切，令x＝f（x），即
ax[2]－（1/2）x＋（（1/2）－a）＝0，
∴△＝（1/2）[2]－4a（（1/2）－a）＝0，a＝1/4.
∴a＝1/4，b＝1/2，c＝1/4.
即f（x）＝（1/4）x[2]＋（1/2）x＋（1/4）.
y[，3]＝1/2（x[2]＋1）
y[，2]＝f（x）
3.4 解题后，从不同的角度认识问题
如此题的背景是什么？其形式可否变换？逆命题能否成立？条件可减弱吗？有无进一步的结论？考查了哪些知识点和数学思想方法？解题后的反思，有助于巩固基础，以及独立分析、解决问题能力的形成.
例3 设复数z＝3cosθ＋2sinθ，求函数y＝θ－argz（0＜θ＜（π/2））的最大值及对应的θ值.
（1999年全国高考题）
命题组为了降低试题难度，故有文科试题：
题1 设复数z＝3cosθ＋2sinθ，求函数y＝tg（θ－argz）（0＜θ＜（π/2））的最大值及对应的θ值.
背景分析 若令z＝x＋yi，则x＝3cosθ，y＝2sinθ，易知它是椭圆的参数方程，该题的几何背景是：复数对应的点的轨迹是一个椭圆，求以x轴为始边，参数方程的离心角θ与向量OZ为终边的角之差的最大值.如图2.
消去参数θ，得椭圆方程为（x[2]/9）＋（y[2]/4）＝1，注意到tgθ＝3y/2x，tg（argz）＝y/x，故有
题2 已知（x[2]/9）＋（y[2]/4）＝1（x，y∈R[＋]），求（xy）/（2x[2]＋3y[2]）的最大值.再把x＝3cosθ，y＝2sinθ代人上题中，得
题3 已知θ∈（0，π/2），求证：sin2θ/（2＋cos[2]θ）≥
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3.5 重视批判思维能力的培养
批判思维能力是创新思维能力的重要组成部分，在科学研究过程中，往往要对研究的内容进行质疑、辨析、批判，以剔除错误的、价值不大的内容，保留精华.在学习过程中，也有类似的情形，对一些繁杂冗长的解法及时摒弃，有时甚至难免碰到一些错题、错解，要敢于质疑、批判.质疑、批判往往贯穿于解题的全过程，对解题的方向、进程及思维的优化起到调控作用.
例4 奇函数f（x）在定义域[-2，2]上单调递增，且满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），f（1）＝2.解不等式：f（1－x[2]）＜4－f（x）.
解1 令x＝y＝1得f（2）＝2f（1）＝4，由原不等式得
f（1－x[2]）＋f（x）＜f（2），即f（x＋1－x[2]）＜f（2），原不等式等价于
此题有5种不同的变形方法，也有5种不同的结论.那么，错在哪里呢？引导学生分析得知，错因在于人为地限定定义域为[-2，2]，在条件f（x＋y）＝f（x）＋f（y）下，不同的变形导致x的取值范围发生了变化.所以，这是一道错题.如果将定义域扩充为R，就不存在任何问题.事实上，该抽象函数的模型为：f（x）＝2x（x∈R）.
例5 如函数f（x）＝tg（2x＋
）的图象的一个对称中心是（-（π/6），0），求的绝对值的最小值.
错解 由题意知：2（-（π/6））＋＝kπ，
则＝kπ＋（π/3）（k∈Z），
∴｜｜[，min]＝π/3.
辨析 错解是由于错误地以为函数y＝tgx的对称中心是（kπ，0）（k∈Z）引起的.下面引导学生探讨函数y＝tgx的对称中心.设对称中心为（a，0），点（x，y）在函数y＝tgx的图象上，则点（2a－x，-y）也在函数y＝tgx的图象上，
故-y＝tg（2a-x），即tgx＝tg（-2a＋x），-2a＝k[，1]π，a＝（1/2）kπ（k∈Z，k＝-k[，1]），则对称中心为（（1/2）kπ，0），（k∈Z），综上，有下解：
解 由题意知，2（-（π/6））＋＝（1/2）kπ，
∴＝（1/2）kπ＋（π/3）（k∈Z），
当k＝-1时，｜｜[，min]＝π/6.
高考数学创新题，既考查了能力，又为中学数学教学注入了活力.不满足于传统的教学模式，致力于能力培养的教学改革正在如火如荼地开展着；随着教育科学的发展和广大教师的实践，学生的能力必将会有较大的提高.