从数到代数的跨越，本文主要内容关键词为：代数论文,数到论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、用字母表示数
实现从数到代数的跨越，新世纪小学数学教材是始于四年级的。下面是四年级上册教材中“探索与发现”乘法结合律的情境：
从上面看，这个长方体每一层有3×5个正方体，有4层，共有(3×5)×4个。从前面看，这个长方体每一层有5×4个正方体，有3层，共有3×(5×4)个。
于是，(3×5)×4=3×(5×4)。这个等式的两边，运算顺序不同，怎么结果都一样？请学生再举一些例子，用计算器算一算，便可以得到很多等式：
(12×8)×17=12×(8×17)；
(185×5)×16=185×(5×16)；
……
怎样表示这些等式的共性呢？引入字母a、b、c表示三个数，这个共性可以表示为(a×b)×c=a×(b×c)。这就是乘法结合律。
类似地，用字母可以简明地表示其他四条运算律。这五条“基本运算律”被称为数与代数的通性通法。其重要性可见一斑。
用字母表示数，是数学史上一个伟大的发明创造。从上面的例子我们看到：一个用字母表示的等式，实际上概括了无数个具体的数的运算过程。从此，数学从数的运算走进字母的运算，从“个”的运算走进“类”的运算，从算术走进代数。
二、用字母表示数量关系
四年级下册，“字母表示数”一课，创设了下面一个有意思的情境：
用“几只青蛙几张嘴，几只眼睛几条腿”表示这首儿歌，行吗？不行。它没有刻画出青蛙的嘴、眼睛和腿的数量的差异。
引入字母表示数，用“a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿”表示，行吗？也不行。它没有刻画出青蛙的嘴、眼睛和腿的数量之间的依存关系。
通过讨论，学生会发现并达成共识：这首儿歌应该用“a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿”来表示。学生亲身经历概括这首儿歌的数学化过程，不仅能够进一步体会“字母表示数”的必要性，而且体会到含有字母的式子还能表示现实的数量关系。
含有字母的式子表示的数量，刻画了这个数量与字母表示的数之间的对应关系。在具体的数学情境中，字母表示哪些数，都有一定的范围；在这个范围内，表示的数量才有意义。例如，a表示青蛙的只数，那么a只能表示任意的自然数。对此，有必要结合具体实例，让学生有所体会。
三、方程与解简单方程
方程及其应用是代数领域的一个核心内容，小学阶段只涉及简单的方程。虽然如此，但对逻辑思维处于萌芽阶段的小学生来说，无疑是一个严峻的挑战。
什么是方程？为了引入方程，教材创设了如下的数学情境：
即：樱桃的质量+5克=10克。
如果用x表示樱桃的质量，那么上面的等式就可以进一步抽象地表示为：x+5=10…………①
同样地，从“4块月饼的质量一共是380克”的情境中，发现如下的等量关系：每块月饼的质量×4=380克。
如果用y表示每块月饼的质量，那么这个等式也可以进一步抽象为：4y=380…………………②
进而讨论、发现①、②的共同特点：它们都是等式，并且都含有用字母表示的未知数。最后说明：“像x+5=10，4y=380，…，等等这样含有未知数的等式叫方程。”方程是新世纪小学数学教材第一次用描述性的文字给出定义的概念。这个过程也是学生经历从实际问题抽象成数学模型，体会数学一步步抽象与形式化的过程。
用等式的性质解简单方程，是课标的要求。教材设计的“天平游戏（一）”“天平游戏（二）”等数学情境，是为了从中抽象出等式的两个性质，作为解简单方程的理论根据。
等式的性质除了用普通语言描述外，不妨进一步符号化：
等式性质1：如果a=b，那么a+c=b+c或者a-c=b-c。
等式性质2：如果a=b，那么a×c=b×c或者a÷c=b÷c(c≠0)。
这种形式化的优点是便于提出并深入思考下面的两个问题：
(1)如果a+c=b+c或者a-c=b-c，那么a=b成立吗？为什么？
(2)如果a×c=b×c或者a÷c=b÷c(c≠0)，那么a=b成立吗？为什么？
其实，这里所进行的数学思考，就是根据等式性质进行演绎推理的过程，也是用等式性质解方程必须经历的化简方程的过程。这种推理对于学生是陌生的，是需要顺应的，但总要迈出第一步。如果要学会用等式性质解简单方程，那么这个难点就不能回避，必须理解。
通过对上述等式性质的变式的思考，用等式性质解方程的方法，也许比较容易被学生理解和掌握。
解简单方程，有两种不同的方法：一是根据运算的意义，二是根据等式的性质。这两种方法的思路是相反的。根据运算的意义解方程是“由果索因”，经过逆向思考，找出使方程两边相等的未知数的值；根据等式性质解方程是“由因索果”，直接从方程推出未知数的值。后者还蕴涵着一个重要的逻辑原理：需要进一步理解由这种解法得到的未知数的值，为什么还要检验它能否使方程两边相等，这的确又是个难点。然而，正是这种解法的挑战性，对发展逻辑思维更有成效，由此获得与形成的思考方式和方法，也能超越解方程本身，对学生学习数学与能力发展具有更普遍的意义和价值。
四、从算术解法到代数解法
下面是教材提供的数学情境：
从上述的实际问题提出数学问题，可图示如下：
根据上图，可以想到很多算术解法。如：
解法1：90÷2=45（张）
45×3=135（张）
解法2：90÷2=45（张）
45+90=135（张）
上述每种解法都只用了三个已知条件中的两个，也就是说，对于每种解法都有一个多余条件。
从算术解法到代数解法的跨越，就是建立方程。这种解法的关键是从实际问题中寻找等量关系，并据此列出方程，把实际问题转化为方程问题。从上述的实际问题中，不难找到下列等量关系：
(1)姐姐邮票的张数＝弟弟邮票张数×3；
(2)姐姐邮票的张数－弟弟邮票的张数＝90；
(3)姐姐邮票的张数+弟弟邮票的张数＝180。
用方程解决问题，和算术解法一样，也只需要上面三个等量关系中的两个。
解法3：设弟弟有x张邮票，那么根据(1)姐姐有3x张邮票。
根据(2)得，3x-x=90
……
解法4：设弟弟有x张邮票，那么根据(3)姐姐有180-x张邮票。
根据(2)得，180-x-x=90
……
解法5：设弟弟有x张邮票，根据(2)可知，姐姐有x+90张邮票。
根据(3)得，x+90+x=180，即2x+90=180
……
比较上面三种代数解法，列方程有以下三个相同的步骤：
(1)用字母x（也可以用其他字母）表示弟弟邮票的张数；
(2)根据一个等量关系，用含有字母x的式子表示姐姐邮票的张数；
(3)再根据另一个等量关系，列出方程。
在步骤(2)与(3)中，由于等量关系有多种可能的选择，因此所列出的方程也不同；不同的方程，难易也有差异。解决这个问题可以列出的方程不止三个。
代数解法与算术解法有哪些区别呢？
(1)代数解法的关键是找出等量关系，而算术解法仅找出等量关系是不够的，还必须深入分析已知与未知之间的数量关系，才能列出算式，算出结果。
(2)代数解法的显著特征是用字母表示未知数，未知数因此可视为已知数（已知数与未知数地位平等），从而用含有字母（未知数）的式子表示其他的未知数，再列出方程。
(3)不论问题的难易，代数解法都有序可循，有法可依，因此降低了思维的难度；而算术解法往往因为没有规范、统一的模式，难以把握。
什么是代数解法？可以打个比方：未知数像一个被追捕的猎物，方程就像捕捉这个猎物的一张网，只要布好这张网，猎物就无法逃遁了。布网就是列方程，逮住猎物就是解方程。
五、跨越必须成功
从字母表示数，到字母表示数量关系，再到第一个形式定义的概念——方程，还有解方程——第一次根据等式性质的形式推理，直到第一次用代数方法解决实际问题，这就是新世纪小学数学教材的编排。从数到代数，历经一年的探索之旅，也是学生数学思维与解决问题能力实现质的发展的关键之旅。在这条旅途上，的确充满现实的、有意义的挑战，也将令人神往。
这次重要的跨越能否成功，每一步能否走好，取决于采取什么样的教学方式与教学策略。
教材编写始终坚持现实数学课程的理念：“从学生的生活经验出发，强调将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”这就要指导学生参与到数学再创造的活动中去。“再创造”就是“数学化”，指导数学化，要注意下面几个问题：
(1)要选择适合学生的现实的数学情境，让他们亲身经历数学模型的抽象过程，从而从现实世界走进数学的符号世界（横向数学化）。
(2)对于从现实世界抽象出来的数学问题，要进一步数学化（纵向数学化），还必须向学生提供必要的“脚手架”，特别需要提供帮助的是语言与逻辑的手段。
例如，上文中，在抽象乘法结合律时，提出了“怎样表示这些等式的共性”的问题；借数青蛙的儿歌探索用字母表示数量关系时，提出了“怎样用一句话表示这首儿歌”的问题：在认识什么样的等式是方程时，提出了“这些等式有什么共同的特点”，引导学生发现和概括方程的本质特征；在抽象出等式性质后，提供了用字母表示等式性质的抽象形式，以及探究其变式的问题，沟通等式性质与解方程的逻辑联系；在探究解简单方程时，提出比较用运算意义与用等式性质解方程两种解法的问题，澄清两种不同的思维逻辑；在探究用代数方法解决实际问题时，提出比较算术解法与代数解法的问题，促进学生对代数方法的思维过程的结构与特征的理解和把握。
(3)有挑战性的问题，都是学生最近发展框架内的问题。这些问题是学生不能独立解决的。所以，需要依靠师生互动的教学系统，特别是学生与学生之间合作、互动的机制。教师要善于倾听，了解学生的差异，重组课堂信息，有针对性地提出新的问题，促进学生当中不同见解的交流、碰撞。教师的主动性的本质就是这种“被动的能动性”。