申卫东[1]2003年在《热传导方程有限差分区域分解算法研究》文中研究指明区域分解算法是在并行机上求解偏微分方程数值解的一种较自然的方法。该方法先将偏微分方程求解区域划分为若干个子区域，然后在各个子区域并行求解。 全文共五章。第一章为引言，简要介绍了热传导方程并行算法的概况及本文所讨论的基本内容。在第二章，我们在内边界点为等距分划的多子区域条件下，得到Dawson等人关于求解热传导方程区域分解算法差分解的误差估计。在第叁章，我们以Saul'yev非对称格式作内边界处理，发展了的新的区域分解算法，得到了差分解的先验误差估计，并与Dawson等人的算法作了比较。给出了关于算法计算精度的数值结果。在第四章，我们发展了一些新技术，在子区域的边界处采用小时间步长古典显式格式求解，构造了新的区域分解算法，得到了差分解的先验误差估计。给出了关于算法计算精度的数值结果。在第五章，我们在二维热传导方程求解上扩充了Dawson等人的区域分解算法。给出了关于算法计算精度的数值结果。第六章为本文研究工作的主要结论。
顾彩梅[2]2006年在《热传导方程的有限差分区域分解算法》文中研究说明在自然科学的许多领域中，很多现象是用抛物型方程或者方程组来描述的。如描述热传导、扩散等物理现象的热传导方程就是最典型的抛物型方程。用传统的有限差分方法来求解这样的抛物型方程，经受着越来越大规模计算的考验。因此，将求解的区域划分为若干小的子区域，用并行有限差分方法来求解抛物型方程问题具有重要的理论意义和应用价值。 全文共四章。第一章为引言，简要介绍了区域分解算法的发展和热传导方程有限差分区域分解算法的概况以及本文所讨论的基本内容。在第二章里，我们首先给出Dawson和张宝琳等人的内边界点处理方法，得到关于求解一维热传导方程区域分解算法差分解的误差估计。然后我们用平均的Saul'yev非对称格式处理了第一类边界条件的一维热传导方程的内边界点，发展了新的区域分解算法，得到了差分解的先验误差估计，并与Dawson等人的算法作了比较，给出了关于算法计算精度的数值结果。最后，我们将此方法用于处理带有第二类边界的一维热传导方程，并且用数值算例充分说明此方法对第二类边界问题的处理具有更好的实用性。在第叁章，我们把马明书提出的一族新型二维显示格式应用于二维热传导方程有限差分区域分解算法的内边界点，稳定性条件放宽了一倍，并给出逼近解的误差估计。新算法的逼近阶得到比较，而且参数η可取得最优值，取最优值时在内边界可得到更好的逼近阶。第四章为本文研究工作的主要结论。 首先对区域分解算法给出一个简要的介绍。区域分解算法是上个世纪八十年代崛起的新方向，它是并行求解大型偏微分方程的有效方法。区域分解算法特别受关注是因为它具有其它方法无以比拟的优越性。区域分解算法目前仍处于发展阶段，美国、苏联、法国、意大利都形成了自己的流派。根据对求解区域的不同划分，形成不同的区域分解算法，例如不重迭区域分解算法、重迭区域分解算法、虚拟区域法、多水平方法等等。许多物理和力学的问题都可归结为热传导方程的求解，上个世纪九十年代以来，热传导有限差分区域分解算法得到了发展。C．N．Dawson,Qiang Du和T．F．Dupont，袁光伟、沈隆军和周毓麟，张宝琳，万正苏等人先后都对该方程作了比较详细和深刻的研究。最后，简要的介绍了我们发展的新算法。 第二章，我们首先处理第一类边界条件的一维热传导问题。
吕桂霞[3]2004年在《抛物方程有限差分并行算法理论》文中研究表明在自然科学的许多领域中，很多现象是用抛物方程或方程组描述的。因此，用有限差分方法数值求解抛物型偏微分方程问题具有重要的理论意义和应用价值。 随着向量机与并行机的问世与发展，传统有限差分方法正在经受着大规模计算实践的考验，各种方法的并行性和计算精度需要在并行环境下加以比较。已有工作大多限于在矩形网格上构造并行算法，关于在叁角网格上建立有限差分并行格式和理论分析的结果还不多见。而对于解决实际问题，往往采用叁角网格更方便。本文主要研究在叁角网格上构造实用有效的并行差分算法，同时也发展一维情形和二维矩形网格上的并行差分算法。受已有结果的启发，我们主要采用叁层交替和区域分裂两种技术来实现抛物方程在叁角网格上的有限差分并行计算。由于叁角网格本身所具有的几何复杂性，在叁角网格的每一个网点上建立差分方程时，与矩形网格相比，就需要联系更多的网点，这就给差分格式的并行带来较大的难度。本文的主要工作分为以下几部分。 1．叁层交替算法 考虑如下二维扩散方程的初边值问题其中Ω={(x，y)| yctgα≤x≤1+yctgα，0≤y≤sin α}是一菱形区域，α(0＜α≤π／2)为菱形相邻两边所夹锐角。对区域Ω作结构三角网格剖分，摘要剖分节点记为从，.设h是与空间差分步长相关的一个正参数，△t表示时间差分步长，记t”=n△t.将第;‘时I可层的剖分节点记作(p:，，tn)，并将间题(1)的解在恤，，俨)处的近似值记作畔·我们首先得到几个建立在叁角网格上的基本差分公式:显格式，隐格式，Crank一Nieolson格式，非对称格式a)和非对称格式b). (1)带状交替(ABd:Alternating Band)方法 设区域几在x方向上的网格内点数N一1为奇数，若沿着x增加的方向在内点上依次使用非对称格式a)和非对称格式b)，靠近右边界的内点单独使用非对称格式a)，则得到BdR(Band Right)方法.若在构造BdR方法的过程中，在使用非对称格式a)的内点上使用非对称格式b)，在使用非对称格式b)的内点上使用非对称格式a)，则得到BdL(Balld Left)方法.关于BdR方法与BdL方法的稳定性有下面结果. 定理i当△t叁hZ sinZa/(2一eosa)时，BdR方法与BdL方法稳定. 若在奇数时间层和偶数时间层交替使用上述BdR与BdL方法，即得到ABd方法.关于ABd方法的稳定性有下面结果. 定理2 ABd方法绝对稳定. (2)带状交替显一隐式(ABdE一I:Alternating Band Explieit一Implieit)方法 在ABd方法的构造过程中，若在使用非对称格式a)和b)的内点之间使用隐格式计算，则在一个带状区域上的计算可以完全独立，我们将该带状区域上的计算格式称为带状隐式段.利用带状隐式段，可以设计如下的ABdE一I方法:对一个给定的奇数S，设有L全3满足N一1=SL.把几上的网点沿着x方向按照带状分成S段.在奇数时间层，S段的计算格式自左而右依次按照“显式一带状隐式一显式”的规则作出安排.在下一时间层，即偶数时间层，每段计算格式与奇数时间层交替进行，即显式与隐式互相交替，非对称格式a)与非对称格式b)交替，这样在偶数时间层上S段的计算规则变为“带状隐式一显式一带状隐式”.把上面两种算法在时间方向上交替使用得到的方法称作ABdE一I方法.关于ABdE一I方法的稳定性，有如下结果. 定理3 ABdE一I方法绝对稳定.摘要 ABdE一I方法具有好的截断误差，基于显隐交替的叁层格式考虑，在每段的“内点”处为O((△t)2+l‘2)，在“内边界”处由于不同时间层两种非对称格式的交替使用，截断误差可以达到O((△t)2/h+(△t)2+屏). (3)纯显隐交替(pAEI:pure Alternating Explieit Implieit)方法 在ABdE一I方法的构造过程中，若使用显格式或隐格式替代非对称格式a)或b)，就得到队EI方法.PAEI方法的具体构造如下:对一个给定的奇数S，设有L全3满足N一1=SL.把几上的网点沿着x方向按照带状分成习段.在奇数时间层，S段的计算格式自左而右依次按照“显式一隐式一显式”的规则作出安排.在下一时间层，即偶数时间层，每段计算格式与奇数时间层交替进行，即显式与隐式互相交替，这样在偶数时间层上S段的计算规则变为“隐式一显式一隐式”.把上面两种算法在时间方向上交替使用得到的方法称作PAEI方法. 为了证明PAEI方法的稳定性，需要引入如下M‘/2范数:}}U 11、，/2=1 IM‘/ZU日2，其中M是对称正定矩阵，与时间差分步长无关. 定理4 PAEI方法在M‘/2范数意义下是绝对稳定的. (4)混合交替方法 在前面所述的基本差分格式中，Crank一Nicolson格式既绝对稳定，截断误差的阶又高，但它是隐格式，不便于直接并行.在下面的混合交替方法构造中将把Crank一Nicolsoll格式作为一种基本差分格式纳入到交替格式的构造中来. 具体算法描述为:设、为一满足l<2，e叁N一1的正整数，I，(l二1，2，…，25)为满足l叁11<I:<…<几。叁N一1的2.v个整数.若。为偶数，在奇数时间层，采用显格式计算畔+’(:二11·I:;，…，九s一1:j-l，2，…，N一1)，采用隐格式计算U忿+‘(乞一12，14，…，12、，.，一l，2，…，N一1)，而采用Cl?
吕桂霞, 马富明[4]2006年在《二维热传导方程有限差分区域分解算法》文中研究指明本文讨论了一类数值求解二维热传导方程的并行差分格式．在这个算法中,通过引进内界点将求解区域分裂成若干子区域．在子区域间内界点上采用非对称格式计算,一旦这些点的值被计算出来,各子区域间的计算可完全并行．本文得到了稳定性条件和最大模误差估计．它表明我们的格式有令人满意的稳定性,并且有着较高的收敛阶．
张宝琳, 申卫东[5]2002年在《热传导方程有限差分区域分解算法的若干注记》文中研究表明51.引言由于受到并行计算的推动,十多年来,抛物型方程有限差分并行算法设计与分析一直得到关注.应
万正苏, 方春华, 张再云[6]2007年在《关于热传导方程有限差分区域分解并行算法精度的注记》文中研究指明以一维热传导模型方程为例来说明用有限差分区域分解算法求解热传导方程中的叁个现象.
王婷[7]2008年在《抛物问题的显—隐有限差分区域分解并行算法》文中研究表明数学物理及工程问题,如油气藏的勘探与开发、航天飞行器的设计、大型水利设施的建筑、空气动力学、天体物理学等等,无不归结为求解高维的大型偏微分方程模型问题,这些问题往往是高维的,计算规模大而且计算区域形态不规则,给计算带来很大的困难,与此同时,我们对计算精度的要求越来越高,而单机计算的速度已远远不能满足实际的需求,随着大规模科学计算的需要和并行计算环境的发展成熟,区域分解方法已成为数值求解偏微分方程最有效的方法之一。简而言之,区域分解方法就是把计算的区域分裂成若干子区域,子区域的形状尽可能的规则,从而原问题的求解转化成在各个子区域上分别解决问题,区域分解算法具有很多其他方法无以比拟的优越性:首先,它把大型的问题转化为若干小型问题,缩小计算的规模;其次,它各子区域上的计算是并行的,缩短计算的时间;再次,它允许在不同的子域上选用不同的数学模型,以便整体模型更适合于工程物理的实际情况;然后,它允许使用局部拟一致网格,无需用整体拟一致网格,甚至各子上可以采用不同的离散方法进行计算;最后,若子区域的形状足够规则,可使得其上或者已有熟知通用的快速算法,或者已有解这类规则问题的高效软件备用,当然,区域分解方法还有其他的优点,但以缩小规模及并行计算尤为根本。用区域分解法来求偏微分方程数值解已有大量研究[35,47,48,50,51,52],他们把这种方法应用于求解椭圆问题[59,60]、对称正定线性系统[61]以及抛物问题[31-34,44]等.同时,区域分解方法也是构建预条件子的有效方法之一[41],区域分解算法的主要困难在于:如何定义内边界点的值和在子区域上选取合理的计算解去近似,于是,区域分解方法划分为两类:重迭型区域分解法和非重迭型区域分解法,子区域的选择主要考虑区域形状的可计算性以及问题的物理背景,尤其是后者,特别适用于在不同物理子区域上有不同控制方程的复合问题,非重迭型区域分解方法,比重迭型区域分解方法实现起来比较直观易用,但它的理论分析往往比较困难。重迭型区域分解法的原始思想来源于经典的Schwarz交替法,近年来建立在Schwarz交替法基础上的区域分解法在理论分析和实际应用中取得令人注目的发展,从椭圆方程到抛物方程,从加性或乘性Schwarz算法发展到并行或串行子区域校正算法,从混合元到特征差分[12-16,36],此类算法已成为一种行之有效的迭代方法,然而,由于其子区域的部分重迭性,也在一定程度上使得并行计算有所牵制,非重迭型区域分解法将计算区域分解成若干个独立的不同子区域,具有高度并行、更适合模型要求和网格剖分灵活等优点,对于此方法,内边界上的预处理方法是必须要考虑的,显-隐格式区域分解方法就是以显格式计算出相邻子区域相交内边界的近似值的一种方法,显-隐格式区域分解方法综合了二者的优点,借助前一层效值解的信息,用显格式给出在这一层的子问题的未知内边界条件,把—个整体区域上的问题化为若干个子区域上的子问题,在每个子区域上用隐式方法求解,从而实现了并行,由计算角度而言,就是把—个整体的大型方程组分解为若干个小型方程组,实现了并行,由于给出子区域间内边界条件的方法利用了上一层数值解的信息,具有显性性质,导致了算法需要一个稳定性条件,但这个稳定性条件没有显式方法那么严格。关于各类区域分解方法,前人也做了很多研究:X.C.Cai[59,60,61]等给出了关于多种椭圆方程的基于重迭不匹配网格的重迭mortar有限元、有限差分方法的理论分析.C.N.Dawson,Q.Du和T.F.Dupont[31-34,44]等提出了多种显-隐区域分解的有限差分及有限元算法,给出了相应的误差估计,然而只是基于热传导方程提出的,且对高维问题的分析只讨论了内边界上一个方向的显式情形,张宝琳[25,27,30]等将Saul'yev的非对称差分格式应用于一对内边界点,或将具有较高稳定性的显格式置于内边界点重写了Dawson的区域分解方法,但并没有提高整体精度,李长峰[1,2,3]研究了关于热传导方程、抛物方程的基于Dawson思想的区域分解有限差分算法,得到了类似的结论。在导师芮洪兴教授的精心指导下,本文作者在前人工作的基础上,对区域分解方法做了部分研究工作,结合杜强教授的在内边界应用多步显格式的算法,我们将迎风格式、高精度格式或不匹配网格应用到非重迭显-隐有限差分区域分解算法,对变系数热传导问题或一般抛物问题给出了最大模误差分析,并通过数值实验得到的数值结果验证了算法的有效性,这种算法在内边界处,不仅采用大步长的空间步长,而且将每一个时间层分为若干子层,用较小的时间步长进行若干次显格式计算,在得到内边界点的近似值后,用隐格式在各个子区域上并行计算求出内点的值,此算法不仅扩大了原来显格式的稳定性条件,而且有较好的并行性,全文共分四章。第一章,由于关于此类算法大部分讨论的是常系数的问题,我们给出关于变系数热传导方程的显-隐有限差分区域分解算法,大体的做法是在内边界点以较小的时间步长(?)和较大的空间步长(?)进行J次显格式计算,然后,再用隐格式在各个子区域并行计算,得到的整体精度为O(△t+h~2+J(?)~3),同时,这种算法较古典显格式的稳定性至少放宽了Jd~2倍,计算格式也很简单,易于并行程序的实现。第一章内容安排如下:关于一、二维的算法和误差估计将分别在1.2和1.3节给出,首先,在1.2.1节给出了一维变系数热传导问题的模型,然后在1.2.2-1.2.4节讨论了一致剖分网格情形,时空不同剖分情形和多个子区域的情形,在1.3.1节给出了二维变系数热传导问题的模型之后,关于2个子区域和4个子区域的二维区域分解方法分别在1.3.2和1.3.3节讨论.最后,在1.4节我们用数值算例验证了我们的结论,本章部分结果已经在《山东大学学报》(理学版)上发表。第二章,我们给出稳定性条件宽松的高精度有限差分区域分解方法,关于一维抛物问题,我们把区域划分为一些互不相交的多个等距剖分的子区域,我们在内边界点采用高精度的显式差分格式,而且在内边界点取小的时间步长(?)和大的空间步长(?)计算,在得到内边界处的近似值后,再在内点采用高精度的紧交替方向隐式差分格式并行计算,这种有限差分区域分解方法得到了较好的收敛精度O(△t~2+h~4+Jq(?)~5),而且该算法的计算格式也很简单,易于编程实现,对于高维抛物问题,我们同样地在内边界点采用一族高精度的两层显式差分格式,在内点用紧交替方向隐格式进行计算,在这些格式采用的基础上,我们首先把稳定性条件的界较古典显格式扩大了Jd~2倍,其次,在内边界点的格式是关于x和y方向都是显式的,然后,在内点的隐格式是可以再并行的,且其中的系数矩阵是叁对角阵,可以提高并行效率,最后,也是最重要的是,这种区域分解算法的整体精度为O(△t~2+(?)△t+J(?)~3),而且当选取特殊的d和网格比(?)后,精度可以达到O(△t~2+h~4+Jh~5)。第二章内容是这样安排的:首先,在2.2节,我们不但介绍了关于一维抛物问题的一些预备知识,还在之后的各个小节分析了算法、误差估计和并行效率,然后,关于二、叁维的区域分解算法和误差分析我们将分别在2.3和2.4节中给出,最后,在2.5节我们用一些数值算例验证了算法的稳定性和数值精度.本章部分结果已经在《International Journal of Computer Mathematics》上发表。第叁章讨论的是不匹配网格的有限差分区域分解方法,不匹配的区域分解方法在子区域采取了不同的剖分,所以在内边界处有一些不匹配的点,在这一章,我们将修正的Saul'yev非对称格式和古典隐格式相结合,得到一种在内边界使用的简单的新显格式,然后就给出非重迭不匹配有限差分区域分解算法,这种算法在二维情形的大多数内边界点是关于x和y方向都是显格式的,而且,它的稳定性条件为r≤1,这比古典显格式的稳定性条件在一维情形下扩展了2D~2倍,在二维时扩展了4D~2倍,当计算出内边界点的值后,就只剩下求解两个互不相关的、可并行计算的隐式差分问题,另外,这个区域分解算法的精度为O(△t+h_1~2+h_1~2+H~3),计算格式也很简单,易于并行程序的实现,关于一、二维问题的区域分解算法和数值解的收敛性结果分别在3.2节和3.3节给出.最后,在3.4节我们用一些数值算例验证了算法的稳定性和数值精度。第四章,我们不但将多层显-隐差分区域分解算法由第一章的热传导方程扩展到一般抛物方程,而且介绍了叁类区域分解的迎风差分算法,关于一维抛物问题,我们首先在4.2节给出一维一般抛物方程的模型和预备知识,并在4.3节给出了关于此模型的有限差分区域分解算法,其次,我们在4.4节给出了叁类迎风差分算法。包括一阶迎风差分算法(UDA)、内边界二阶迎风差分算法(IMUDA)和二阶迎风差分算法(MUDA),一阶迎风差分算法是在内边界点和内点上分别采用显、隐的一阶迎风差分格式的算法,内边界二阶迎风算法是只在内边界点处采用二阶显式迎风差分格式,而在内点处仍用古典的隐式差分格式的算法,二阶迎风差分算法是在内边界点和内点上分别采用显、隐的二阶迎风差分格式的算法,接下来,我们在4.5节和4.6节介绍了关于二维一般抛物方程的多层显-隐差分区域分解方法,最后,在4.7节给出了数值算例验证了我们的结论,其中包括一个实际问题——放射性杆中的热传导问题,本章部分结果已经在《山东大学学报》(理学版)及《工程数学学报》上发表。
张红梅, 岳素芳, 许娟[8]2012年在《热传导方程紧差分格式的区域分解算法》文中研究说明对热传导方程的紧差分格式在特殊情形下采用区域分解算法,把求解区域分成多个子域,且在不同子域中采用不同的计算步长,并给出相应的先验误差估计式。
李丹, 陈辉, 邓居智[9]2017年在《基于Schwarz重迭型区域分解的大地电磁二维正演研究》文中进行了进一步梳理区域分解算法将大规模问题转化成若干小问题进行求解,极大缩小计算规模和节省内存空间,已成为解决大规模复杂数值问题的有力手段.本文以大地电磁法(MT)二维正演为例,将二维求解区域划分为若干重迭子域,子域采用有限差分法进行离散并采用LU直接分解法进行独立求解,然后运用Schwarz交替法实现重迭区域解的传递和更新,从而实现大地电磁法二维正演数值模拟.对典型低阻地电模型进行数值模拟实验并与传统全域正演算法相比,表明本文算法的准确性和可行性;同时能够极大节省计算机内存及减小CPU计算时间.另外对重迭区域算法的影响规律研究表明,本文算法所需内存随剖分重迭子域数目增多而降低,CPU计算时间随剖分重迭子域数目增多而先减小后增加;重迭子域组合方式和重迭规模大小对计算效率有一定影响,需进行合理优化.因此本文提出的算法为电磁法叁维大规模问题的正反演计算提供了一种新的思路.
张红梅[10]2010年在《热方程紧差分格式的区域分解算法》文中研究指明近年来,区域分解算法已成为求解偏微分方程的有效算法之一,区域分解方法把复杂或大型的区域分解成若干重迭或非重迭的子区域,再在子区域上利用各种算法求解子问题,借助于区域分解,各个子区域之间的计算可以并行,这种方法一方面由于容许在不同的子区域上针对子模型特征使用不同的离散方法,而有利于提高精度,另一方面由于可以在每个子区域上独立求解定解问题,又使计算速度大大提高.用区域分解法来求偏微分方程数值解已有大量研究,但是对紧差分格式的区域分解算法还是比较少见的,因此本文在前人工作的基础上,主要对热方程的紧差分格式介绍了非重迭和重迭的两种区域分解法.全文共叁章.第一章为引言,简要介绍了区域分解算法的概况及该论文所讨论的基本内容.第二章,首先给出Dawson等人求解热传导方程区域分解算法及误差估计,然后主要将此算法推广到热方程紧差分格式上,此算法是非重迭型区域分解算法,在这种算法中通过引进内边界点将求解区域分成若干个子域,子区域之间的内边界点值用大步长显格式计算,在各个子区域内点的计算采用隐格式小步长,子区域步长也可不同,一旦内边界点值被计算出来,各子区域间计算可完全并行,并给出相应的先验误差估计式.第叁章,主要对热方程紧差分格式运用一种重迭性区域分解算法,该算法是一类新型的计算热传导方程数值解的并行差分算法,算法基于区域分解和子区域校正,在每个子区域上进行残量修正,各子区域之间可以并行计算.证明了算法的收敛性.
参考文献：
[1]. 热传导方程有限差分区域分解算法研究[D]. 申卫东. 中国工程物理研究院北京研究生部. 2003
[2]. 热传导方程的有限差分区域分解算法[D]. 顾彩梅. 山东大学. 2006
[3]. 抛物方程有限差分并行算法理论[D]. 吕桂霞. 吉林大学. 2004
[4]. 二维热传导方程有限差分区域分解算法[J]. 吕桂霞, 马富明. 数值计算与计算机应用. 2006
[5]. 热传导方程有限差分区域分解算法的若干注记[J]. 张宝琳, 申卫东. 数值计算与计算机应用. 2002
[6]. 关于热传导方程有限差分区域分解并行算法精度的注记[J]. 万正苏, 方春华, 张再云. 湖南理工学院学报(自然科学版). 2007
[7]. 抛物问题的显—隐有限差分区域分解并行算法[D]. 王婷. 山东大学. 2008
[8]. 热传导方程紧差分格式的区域分解算法[J]. 张红梅, 岳素芳, 许娟. 廊坊师范学院学报(自然科学版). 2012
[9]. 基于Schwarz重迭型区域分解的大地电磁二维正演研究[J]. 李丹, 陈辉, 邓居智. 地球物理学进展. 2017
[10]. 热方程紧差分格式的区域分解算法[D]. 张红梅. 华东师范大学. 2010