边际条件随机占优下的增强型指数投资组合模型

李 倩,吴 昊

(西安交通大学经济与金融学院,陕西西安710061)

摘要: 本文给出了一个基于边际条件随机占优规则的增强型指数投资组合模型。该模型在均值方差分析框架的基础上引入了边际条件随机占优的两层优化,其中,层次一以约束条件的形式加入模型,使得投资组合在占优于基准指数的边际条件随机占优效率集中;层次二是在多个投资组合中寻找占优程度最高的投资组合,因此在本研究的模型中处理为目标函数。占优程度在本文中定义为边际条件随机占优相对于基准指数的统计量的均值。本文使用多目标免疫算法对该模型进行求解,并应用8个世界主要市场的指数及其成份股数据进行了测试。结果显示本文提出的基于边际条件随机占优规则的指数投资组合能够显著地增强其收益。

关键词: 投资组合;增强型指数投资;边际条件随机占优;均值方差;多目标优化

一、问题的提出

指数化投资理念产生于20世纪70年代,是以跟踪或复制某一市场指数为目标,通过分散投资于目标指数的成分证券来最小化交易成本并取得市场平均收益率的一种投资模式。从诞生至今的40年间,出现了各种指数投资产品,包括指数基金、交易型开放式指数基金ETF、股指期货、股指期权、指数联动型债券和存款等。以指数基金和ETF为例,近10年来全球市场以每年40%的速度增长。据Wind资讯数据统计,截至2017年底,我国开放式指数基金产品数量超过600只,资产规模6118.15亿元,产品数量占全市场的比例为8.36%。

近年来,随着指数化投资的繁荣,指数化投资产品的竞争日益加剧,尤其对于指数基金来说,如何通过高收益吸引投资者,从而做大指数基金规模,成为指数型基金管理的重大课题。因此,试图在跟踪指数的同时获得超额收益的增强型指数投资越来越受到市场的青睐和投资者的关注,逐渐成为了新的研究热点。从风险的角度来看,由于将指数的风险分布作为参考,增强型指数投资是一种指数追踪策略。然而,从回报的角度来看,增强型指数投资也是一种主动管理策略,因为它的目标是为了获得超过基准的收益。因此,增强型指数投资有时被称为“风险控制下的主动投资组合管理”。

对增强型指数投资的研究通常在“均值方差”(Mean-Variance,MV)的优化框架下,投资组合选择的目标通常包括两部分:最大化超额收益和最小化追踪误差。由于求解此类问题属于NP-hard问题,因此,已有研究主要集中在问题的求解方法上。虽然MV模型十分直观地反映了投资组合管理中的两个重要目标,但是其缺陷也一直受到学术界的诟病。首先,MV模型对股票收益的度量需要前期消除长期趋势的股票价格,这就会导致价格共同趋势的信息丢失,并对样本数据有很强的敏感性。其次,MV模型仅使用两个统计量来描述投资组合的收益分布,这可能导致重要信息被忽略。为了解决第一个问题,Alexander等^[1]提出了基于协整关系的增强型指数追踪模型,以股票价格代替收益作为衡量指标。Li等^[2]将价格共同趋势加入到了优化模型中,并在增强型指数追踪问题中考虑到了最优化策略过程。然而,这些研究并不能解决第二个问题。

在本文中,我们提出将考虑整体资产收益分布的随机占优(Stochastic Dominance,SD)规则引入MV分析框架中,建立增强型指数投资组合模型。与MV模型不同,SD模型有以下优势:首先,SD不限制效用函数和投资收益分布的形式,而是从投资收益率的概率分布中衍生出的弱条件;其次,SD排序规则考虑了资产的整体收益分布,而不是仅仅考虑均值、方差和beta系数;第三,SD不是建立在像市场模型那样的线性收益产生过程的基础上。由于SD利用了“价格、概率和偏好”^[3],因此被认为是投资组合选择中的一个更合理的工具。但由于计算量大和计算困难等原因,SD模型一直未得到广泛应用。

为了克服SD的计算困难,本文采用边际条件下随机占优(Marginal Conditional Stochastic Dominance,MCSD)作为SD规则的替代。MCSD是Shalit等^[4]提出的一种基于二阶随机占优(Second Stochastic Dominance,SSD)的资产优化选择方法。MCSD不需要对投资组合中所有资产的可能组合进行无限次的两两比较以获得有效的投资组合,而只考虑投资组合中资产权重的边际变化。也就是说,投资决策是在有限的、有条件的情况下做出的,因此不需要频繁地改变核心投资组合。为了便于计算,Shalit等^[4]提出,MCSD可用于将单个资产或投资组合与市场投资组合进行比较。在这个意义上,MCSD比SSD更适合于增强型指数追踪,因为它可以测试设计的投资组合和市场指数之间的占优关系。具体而言,本文在MV优化框架内,首次提出增加MCSD规则的优化目标和约束条件。通过借鉴Belghitar等^[5]提出的“总股票收益(total stock performance,TSP)”的概念以及Chow^[6]提出的MCSD的统计检验,本文提出“占优程度”的评价方法,使得投资组合选择问题变成了最大化占优程度以及对超额收益和跟踪误差的考虑。另一方面,我们在模型中加入了MCSD的两层约束。通过对投资组合的MCSD统计分析,找到占优于基准指数的MCSD效率集(即在该集合中的投资组合均边际条件随机占优于基准指数),同时在MCSD效率集中找到占优该集合中所有其他投资组合的那个投资组合,以确定其为最优投资组合。在模型构建的基础上,本文使用多目标免疫算法进行模型的优化求解,并设计了模型转换方法,最后使用8组世界主要股票市场指数及其成份股的历史数据对模型及算法进行测算,证明了本文所提出模型的有效性。

二、边际条件随机占优理论

边际条件随机占优理论由Shalit等^[4]于1994年提出,它给出了在资产选择过程中,所有风险规避的投资者用一个资产边际替代组合中的另一个资产的概率条件。在投资组合选择中,已有研究使用二阶随机占优来进行模型的构建。例如Roman等^[7-8]提出了基于二阶随机占优的最优投资组合选择模型。此外,Roman等^[9]将他们的方法扩展到增强型指数投资组合的选择中。但是,SSD只考虑了投资组合的概率分布,而MCSD不仅考虑了投资组合,也考虑了每一只资产的概率分布。也就是说,一旦投资者面临新的投资选择,他们只需要考虑是否将这个新的资产加入到投资组合中,或者考虑是否剔除已有投资组合中的某只资产,而不变动整个核心投资组合。关于该理论的具体描述可在已有相关研究^[10-12]中找到。

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对边际条件随机占优的测量实际上相当于对一项资产相对于另一项资产的完全概率分布的测量,若比较两个市场的MCSD关系,则需要对所有概率分布进行两两比较,因此实施起来比较困难。基于此,Shalit等^[4]提出可以对单个资产与市场组合进行MCSD比较。其基本思想是,如果市场组合占优于某项成份资产,则减少对该项资产的持有,同时增加其他资产的持有可以改进投资绩效;相反,若某项成份资产战胜市场组合,则增加该项资产的持有同时减少其他资产的持有同样能够达到改进投资绩效的结果。为了便于统计计量,Chow^[6]给出了MCSD的统计检验。

对于N 个随机样本收益{(r _i1 ,r _j1 ,r _α1 ),…,(r _iN ,r _jN ,r _αN )},MCSD的统计量可以写成:

(1)

其中,是样本方差,具有完整的方差协方差结构,其形式为:

(2)

其中,R 是投资组合的收益率;为指示变量,τ =F _α ^-1(P ),F ^-1(P )为相对于资产收益率的累计概率P (0≤P ≤1)的累计分布函数的反函数,若则否则的统计检验可以转化为对一系列Z统计量的检验。

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Chow^[6]指出可以使用Studentised Maximum Modulus(SMM)方法控制上述多重比较的规模。具体来说,设SMM (β ;k ;∞)是自由度为∞,系数为k ,置信度为(1-β )的SMM分布的渐进临界值。如果至少存在一个t 使成立,没有小于-SMM (β ;k ;∞),则资产i 占优于市场组合;如果至少存在一个t 使没有大于+SMM (β ;k ;∞),则资产i 被市场组合占优;若上述均不成立,则不存在占优关系。

从上述规则可以看出,资产依据投资组合的分布条件性地进行了排序。基于此,可以很容易地将其扩展到增强型指数投资组合的构建中。我们将基准指数作为核心投资组合,那么候选投资组合可以看作是核心组合的一个边际组成部分,从而可以检验投资组合是否比基准指数表现更好(或表现更糟)。

三、问题描述与模型定义

Chow^[6]统计量可以直观地告诉我们对于一个风险规避的投资者,某个投资组合的收益分布是否能够占优整个市场组合。如果将MCSD规则引入指数化投资组合,我们需要以下两个步骤:(1)找到占优于基准指数的MCSD效率集,在该集合中的投资组合均占优于基准指数;(2)在MCSD效率集中找到占优该集合中所有其他投资组合的那个投资组合,则该投资组合为最优的投资组合。但是,这在计算上却存在很大的困难。首先,步骤(1)要求我们在所有可能的投资组合中将其与基准指数进行两两比较;其次,步骤(2)要求在所有的MCSD有效的投资组合中进行两两比较。相较于SSD,MCSD的最大优势在于其简化了SSD中要求的无限次的比较,因此我们需要发挥它的这个特点。

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为了避免在其中需要无限次地进行投资组合绩效的两两比较,本研究提出了“占优程度”的评价方法。因此,步骤(2)转化为在MCSD效率集中寻找拥有最高占优程度的投资组合。

模型的具体定义如下:R _t 和r _t 分别代表时间段t (t =0,1,…,T )内的指数和投资组合的收益率,代表t 时刻的指数点位,代表t 时刻的个股i (i =1,…,N )的价格,q _i 表示个股i 在指数化投资组合中的投资数量。时间段[0,T ]为样本内时间区间,即在该时期内决定投资组合的成份股及其权重来构建一个最优的投资组合,使其在样本外时间段[T ,T +L ]内可以达到最好的指数投资效果。我们将模型简化为一阶段模型,这样我们买入并持有投资组合直到时间点T 才进行投资组合的再平衡。

(一)指数投资组合中的MCSD规则

根据Chow^[6]检验法,指数收益R _t 会按照升序排列并分成十个分位数。这十个分位数则作为累计概率P ,为每一个MCSD关系测试得到10个统计量。令则每一个分位数的指数收益为τ _t 。在前述MCSD规则加入指数投资组合的两个步骤中,步骤(1)对于最优模型的选择来说是一个强制性条件,因此在本研究的模型中处理为约束条件。根据Chow^[6]对MCSD的统计检验方法,一个投资组合是占优投资组合必须满足下列约束:

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(3)

其中,2.81是查表得到的在5%的显著性水平下,自由度为∞,系数为10的SMM渐进临界值,可在Stoline等^[13]的研究中获得。

具体来说,在两个投资组合之间(例如使用r _a 和r _b 来代表它们的收益)测试MCSD,等同于测试的值是否正显著,其中因为且得到如果则所以测试等同于测试在多大程度上或大于根据式(1)和和的统计量被表示为和其中根据统计理论,Z 值越大,显著性越高。或超越的程度可以用和的均值表示(每一个MCSD测试有10个统计量)。因此,我们将“占优程度”定义为Z ^τ_t 的算数平均值。

式(3)等同于这样的规则:“如果存在正显著的Z ^τ_t ,同时没有Z ^τ_t 小于2.81,那么这个投资组合占优于基准指数”^[6]。步骤(2)考虑了“占优程度”。根据随机占优理论,占优意味着如果选择这个投资组合,那么投资者的效应将有所提高。因此,占优需要在投资组合中间进行两两比较。而由于没有普遍接受的基准,占优程度无从度量。但在MCSD中,我们可以度量这一指标,因为我们将投资组合以其基准指数的收益条件性地进行了排序。

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令为Z ^τ_t 的均值,MCSD规则的步骤(2)在本研究的模型中处理为目标函数:

(4)

式(4)是考虑了MCSD规则的目标函数。显然,当τ _t 为第十分位数的数值时,将等于ER 。由于考虑了收益的整体分布,MCSD规则为优化模型提供了更多的信息。

在很多严肃的文学作品中，最终人物是正面还是负面是很难准确定义的，一个复杂的、立体的人物通常既包含了对于“好人”的定义，也就是符合传统道德规范对人的训诫；又包含了一些人性中固有的弱点，有时候走向极端，甚至会突破法律的底线，成为“坏人”。巴尔扎克认为自己的创作是“编制恶习与美德的清单，搜集激情的主要表现，刻画性格，选取社会上的重要事件，就若干同质的性格特征博采约取，从中糅合出一些典型”[9]。文学作品中的人物，正是在“好人”与“坏人”之间不断作选择，不断挣扎和徘徊，才更加的立体和多面，更加的接近真实。

(二)模型定义

除了上述目标函数(4),基于MCSD的增强型指数投资模型中所包含的其他目标函数和约束条件还有:

(5)

(6)

Subject to q _i ≥0

(7)

(8)

(9)

(10)

max (Z ^τ_t )>2.81

(11)

min (Z ^τ_t )>-2.81

(12)

其中,式(5)和(6)是收益风险优化下的目标函数。式(5)是投资组合的风险,在指数化投资中称为跟踪误差。这里我们使用了非对称的度量,即只最小化下方偏差,使其更适合增强型指数投资组合的要求。1/T 表示每一个时间段对风险函数的影响是一致的。式(6)是收益函数,测量了投资组合的收益超过基准指数收益的程度。

根据约束条件(10),rank ₂(q _u )定义为抗体q _u 的可行性排序。定义抗体q _u 的约束满足度为:

四、算法设计

本文使用多目标免疫算法来求解上述优化模型。由于引入MCSD规则,使得模型在计算难度上有所增加,因此我们采取以下方法对模型进行转换。

此外,由于约束条件(11)和(12)转化成了目标函数(13)和(14),因此仅剩下约束条件(10)。我们定义一个适应度函数来处理这个约束,如下所示。

(一)模型转换

在我们的模型中,MCSD规则包括一个目标函数和两个约束。其中,约束(11)和(12)与MCSD统计量(即Z ^τ_t 值)的排序有关。而在现有相关研究^[2,14]中提出的初始化过程和可行性排序技术都难以处理它们。因此,我们把这两个约束条件转化成如下两个目标函数:

Murphy指出，个体在实际展开工作活动的过程中，为了达到工作绩效目标所表现出的一系列行为，即为绩效；我国在积极展开工作绩效研究的过程中，指出了学习过程、创新行为、公民气候、技术核心即学习绩效、创新绩效、关系绩效和任务绩效四个工作绩效结构[2]。

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目前健康管理还没有一个公认和统一的定义。简单来说，健康管理是以人的健康为中心，长期连续，周而复始，螺旋上升的全人、全程、全方位的健康服务。可见，健康管理的目标和健康的定义是密切相关的。世界卫生组织(WHO)指出：“健康乃是一种在身体上、精神上的完满状态，以及良好的适应力，而不仅仅是没有疾病和衰弱的状态”。与健康管理相关的另外一个重要概念就是管理。目前认为，在健康管理中，管理是改善人群健康状态以达到最大健康效应的过程。因此，从管理角度而言，健康管理也是以健康为核心的。

(13)

max[min(Z ^τ_t )]

新制度经济学视角下的国防专利运营制度研究............................................................................................陈明媛 06.82

(14)

转化后的模型并不是原始方程的等价方程,但是,我们认为这样的转化有如下几个优势:

(1)该模型更容易计算。这种转换使我们的模型与我们之前文章提出的模型具有相同数量的约束条件,这意味着可以使用此前研究中提出的一系列方法来处理约束条件,从而为该模型开发出一个合理的优化算法。

(2)对“占优程度”的定义是一个补充。正如论文第二部分描述的,我们将“占优程度”定义为Z ^τ_t 的平均值。在统计理论中,平均值是中心趋势的度量。通过最大化Z ^τ_t 的最大值与最小值,分散趋势也得到了控制。因此,我们的模型是在MCSD统计量Z ^τ_t 的极值和均值中寻找拥有最大值的投资组合。

(3)简化了算法的复杂程度。通过上述转换,我们的模型不再需要对Z 统计量进行显著性检验,因此在一定程度上简化了算法的复杂程度。

(二)抗体和适应度函数

如果约束满足度小于零,则q _u 不可行。可行性排序是指对种群Q 中所有抗体的约束满足度进行排序。将所有抗体在rank ₁和rank ₂中进行降序排序可以得到,具有最大拥挤距离的帕累托占优抗体在rank ₁中排序最靠前,因此其rank ₁=1(第二位为rank ₁=2);而具有最大约束满足度的抗体在rank ₂中排序最靠前,因此其rank ₂=1(第二位为rank ₁=2)。结合式(15),如果当前抗体中存在更多可行解(s _f >s -s _f ),优化问题将偏向无约束的最优问题。此外,不拥挤的非占优个体有更多的机会进行启发式搜索。但如果可行解过少,(s _f <s -s _f ),则直接选择可行性区域进行启发式搜索。

max[max(Z ^τ_t )]

绿色经济发展是一个动态的过程，其效应需要一定的时间才能反映出来。因此，指标的选择要充分考虑到动态变化特点，选取多年数据进行动态分析。

(15)

其中,s 是抗体的种群大小,s _f 是当前种群中可行解的数量。rank ₁(q _u )定义为抗体q _u 的占优排序,其中1≤u ≤s 。这里的占优与MCSD中的占优并不是一个概念。这里提到的占优是由Gong等^[15]提出的关于帕累托占优和拥挤距离的概念。具体来说,在我们的模型中,当且仅当抗体群体中没有q _v 满足以下条件时,抗体q _u 帕累托占优q _v :

∀x =1,2,…,5f _x (q _v )≤f _x (q _u )∧∃y =1,2,…,5f _y (q _v )<f _y (q _u )

(16)

其中拥挤距离测量的是每种抗体对目标函数值多样性的贡献程度。具有较高拥挤距离值的个体是较不拥挤的个体,并且占优同一抗体组中具有较低拥挤距离值的个体。因此,这里的占优排序有两个水平:帕累托占优排序和帕累托占优抗体中的拥挤距离占优排序。有关占优排序的更多细节,可见Gong等^[15,2]的相关研究。

式(7)到式(12)是模型的约束条件。其中,式(7)表示市场不允许卖空。在某些市场中,单只股票在投资组合中的权重有所限制。因此,我们使用ε 和δ 代表股票在投资组合中的投资下限和上限。式(9)表明我们的模型是一个自融资战略,即在整个投资周期没有现金的流入和流出。这里代表初始投资组合中股票i (i =1,…,N )的数量。式(10)是交易成本约束。我们的模型假设交易成本的融资来自于独立于投资组合的账户。交易成本定义为式(11)和(12)是基于MCSD规则加入的两个约束条件。

Constraint satisfaction

(17)

我们对抗体进行实数编码,即模型的候选解q =(q ₁,q ₂,…,q _N )表示为算法中的抗体。抗体种群Q 是抗体q 的s 维种群,其中正整数s 是抗体群的大小,因此Q ={q ₁,q ₂,…,q _s }。抗体在范围内随机初始化,由此满足了约束条件(7)到(9)。

(三)算法描述

本文所使用算法的基本原理是确保具有高适应度的抗体有更多机会进行启发式搜索。正如前文所述,个体的适应度函数包含三个指标,分别为帕累托占优程度,拥挤距离和约束满足度。因此,我们倾向于选择在所有三个标准上均具有高排名的个体。为了做到这一点,在每一代中对个体进行两次适应度的排名,以便在可行的、占优的和不太拥挤的区域中获得更多的解。

该算法的主要步骤如下。首先,初始化种群大小为s 的初始抗体种群Q (Q ={q ₁,q ₂,…,q _s })和算法中的参数。其次,对第一个适应度排序,即基于适应度以降序对抗体种群Q 进行分类,选择第一个h ₁个体并将其存储在优良群体E 中(h ₁是种群E 的大小)。如果满足停止标准,则输出种群E ;否则,对第二个适应度排序。基于适应度对种群E 中的抗体以降序排序,并且选择第一个h ₂个体并将其存储在活跃群体A 中(h ₂是群体A 的大小)。A 中的每个抗体按比例复制到具有一定大小的克隆群体C 中,克隆大小取决于每个抗体的适应度函数的值。个体的适应度值越大,个体再现的次数就越多。接下来,克隆群体中的抗体进行重组和超突变。重组过程是从每个克隆抗体的一般交叉算子产生的两个后代中选择一个具有相同概率的个体,该克隆抗体是从原始抗体种群中随机选择的抗体。重组后,重组克隆群体。克隆群体中抗体向量的每个元素由具有一定概率的一般突变算子改变。这里我们使用静态超突变算子。在这个步骤之后,得到的种群设为C ′。C ′和E 结合形成下一代抗体种群。在t 时刻,单代种群进化如图1所示。

图1 种群进化过程

关于算法中克隆、重组和超突变的过程,本文均采用Gong等^[15]的做法,在此不再赘述。由于多目标优化算法总是生成一组称为帕累托前沿的最优解。因此,根据本文模型的特点,我们通过对的值进行排序并选择使最大的那个解作为模型的最优解。

五、应用实例

(一)数据与参数设置

本文使用了8组来自世界各主要国家和地区的股票市场指数的交易数据集对我们的模型和算法进行了测试。这8组数据集包括:香港恒生指数Hang Seng、德国DAX100指数、伦敦金融时报100指数FTSE100、标准普尔100指数S&P100、日经指数Nikki225、标准普尔500指数S&P500、Russell 2000指数和Russell 3000指数及其成份股数据。数据来源于Beasley的OR-Library[注] 网址为http:∥people.brunel.ac.uk/～mastjjb/jeb/info.html。 已有部分关于指数投资模型的研究^[2,14,16-17]均使用了该数据集,因此这也为我们的研究提供了比较基准。对于每一只股票指数及其成份股,我们选取其从1992年3月至1997年9月的291组周收盘价作为测试对象。选取时间区间[0,145]为指数投资模型的构建期,即测试的样本内(in sample)区间,样本外(out of sample)的时间区间为[146,290]。

数字化时代，制造业正在经历新的变革。由于信息化和自动化基础薄弱，基础管理能力相对落后等原因，制造型企业在适应市场环境变化，提升竞争力与盈利能力的过程中，面临巨大挑战。施耐德电气（中国）有限公司工业事业部智能制造负责人李凯在采访中表示：“施耐德电气于20年前提出‘透明工厂’，这几年我们在努力给透明工厂注入一些新的元素，来弥补企业‘看不见、够不着、来不及’的短板。”

我们将t =0时刻的初始投资组合定义为由指数成份股的前20只股票以等权重形成的投资组合,即每只股票在初始投资组合中的权重为1/20。算法基于Matlab 7.5编程,其运行参数设置如下:个股i (i =1,…,N )的最小持有比例为,最大持有比例为0.1;当前投资组合的总价值为10⁶;交易成本在总交易价值中所占比例η 为0.01;抗体种群规模200,h ₁=200,h ₂=5,克隆规模100,交叉重组概率1,变异概率0.1,最大迭代次数20000。算法随机独立运行3次,取3次中最好的解作为结果。

(二)计算结果

本文使用3个指标来测量投资组合的绩效,分别是:跟踪误差(TE )、超额收益(ER )以及超额收益与跟踪误差之比(ER /TE )。投资组合的绩效如表1所示。如前文所述,模型中共包含5个目标函数,其中有3个与MCSD有关。由于MCSD是用来增强指数投资组合的投资绩效的,因此我们的模型绩效最终由风险和收益因子来展示。反映到指数化投资中,即投资组合的跟踪误差和超额收益。此外,这样的设定也使得我们的模型与其他的研究结果具有可比性。从表1来看,我们可以得到两个结果:

(1)超额收益ER 以及其与跟踪误差的比率(ER /TE )随着λ 的增加而增加。由于我们的模型中,交易成本的约束是不等式,即式(10),因此从逻辑上推导,在寻求最优解的过程中,随着λ 的增加,目标函数会随之优化(或保持不变)。如表1所示,ER 、TE 和ER /TE 的数值在样本内和样本外基本遵循了这一规律,仅有部分例外。具体来说,在样本内区间,随着交易成本限额的不断提高,在32个测试中,除了香港恒生指数Hang Seng、伦敦金融时报FTSE100指数、日经指数Nikkei225和Russell 2000指数出现了例外,其他的超额收益ER 均保持了增长趋势。对于ER /TE ,只有DAX100、Nikkei 225和S&P500指数出现了例外。对于样本外的投资绩效,在32个测试中,除了香港恒生指数Hang Seng、伦敦金融时报100指数FTSE100指数和Nikkei225指数出现了例外,其他的超额收益ER 也均保持了增长趋势。对于ER /TE ,只有DAX100、伦敦金融时报FTSE100指数以及S&P500指数出现了例外。超额收益与跟踪误差的比率ER /TE 的增加表明我们的模型是合理的,超额收益ER 的增加表明我们加入MCSD在模型中起到了增强投资组合收益的作用。

表1 投资组合在样本内和样本外的投资绩效

注:由于超额收益和跟踪误差数值较小,为了避免丢失信息,并展示数字格式的统一性,我们对部分结果使用了科学记数法,实际数值为表中数字与括号中因数的乘积。

(2)样本内外的投资绩效保持一致。在表1展示的32个结果中,可以看到样本内外的超额收益、跟踪误差以及二者之比均呈现一致的状态。其中,有18个结果的样本内ER /TE 高于样本内。T检验的结果表明ER (P 值=0.770)、TE (P 值=0.364)和ER /TE (P 值=0.302)在样本内外没有显著性差异。此外,我们对所有样本集分析了样本内和样本外的相关关系。结果显示,样本内的ER 和样本外的ER 具有高度正相关(皮尔森相关系数=0.986,P 值=0.000),样本内外的TE (皮尔森相关系数=0.843,P 值=0.000)和ER /TE (皮尔森相关系数=0.693,P 值=0.000)也呈现高度正相关关系。这些结果与已有相关研究^[2,16]一致。基于上述结果,我们可以认为模型是合理有效的。

为了进一步显示本文模型的优越性,我们将模型的测试结果与已有研究进行了对比。这些已有研究均采用了与本研究相同的数据集,包括Canakgoz等^[17]与Li等^[14,2]的研究。其中,Canakgoz等^[17]使用回归模型对结果进行了改变。为了使结果具有可比性,我们参考Canakgoz等^[17]的做法,在样本外区间将投资组合的收益与其基准指数的收益进行了回归。而其他两个研究直接使用了与本文相同定义的跟踪误差和超额收益进行模型绩效的评判,因此我们将本文模型的样本外绩效与其进行了直接的对比。如表2所示,最小二乘回归参数α 代表了投资组合的投资收益战胜基准指数的程度,α 越大代表投资组合的绩效相对其基准指数越好。同时,如果投资组合完美复制了基准指数,那么α =0同时回归系数β =1。从表2可以看出,我们模型的α 值均大于Canakgoz等^[17]的结果,而模型的β 值部分优于Canakgoz等^[17]的结果。因此,我们可以认为,基于MCSD的投资组合的收益增强效果更好。

公众参与应用到环境法等法学领域时，必须区分公众与公民的概念。公众中使用“公民”这一概念是有缺陷的。公民是具有政治意义的法律概念，通常是指具有一国国籍，并根据该国宪法和法律享有权利和承担义务，并受该国法律约束和保护的自然人。它显然不包括外国公民和无国籍人。而公众并不一定是一国的公民，居住在一国的另一国公民也可能成为公众。将环境参与权仅限于本国公民，其范围显然过于狭窄，既限制或剥夺了在中国境内工作或生活的外国人或无国籍人的环境居住权，也不利于环境的保护。因此，环境参与权的享有人应是无任何限制条件的自然人。

表3给出了我们的模型与其他两篇文献研究的结果比较。从中可见,在20个结果中,我们的模型有14个结果优于Li等^[14]的超额收益ER ,有11个结果优于Li等^[2]的超额收益ER 。对三组超额收益与跟踪误差之比ER /TE 分别进行两两T检验,结果发现,我们模型的超额收益与跟踪误差之比ER /TE 与Li等^[14]的超额收益与跟踪误差之比ER /TE 之间没有显著差异(P 值=0.215),但与Li等^[2]的结果有显著差异(P 值=0.006),我们的超额收益与跟踪误差之比ER /TE 显著小于Li等^[2]的结果。这说明我们的模型虽然增大了投资组合的超额收益,但是也相应增大了投资组合的跟踪误差。

表2 样本外投资绩效的比较一

续表2

注:由于部分数值较小,为了展示数字格式的统一性和结果之间的差异,我们对部分结果使用了科学记数法,实际数值为表中数字与括号中因数的乘积。

为了更直观地展示本文的结果,我们给出了λ =0.0025时的模型效果(见图2)。由于篇幅所限,我们只展示了DAX100、FTSE100、S&P 500和Russell 2000四个数据集的结果。图2给出了在样本外区间内我们的模型及其相应的基准指数的走势。由于初始投资组合的价值设定与基准指数的价值相差较大,因此我们调整了投资组合的价值以使其与基准指数具有可比性。从中可以看出,基于MCSD的投资组合与基准指数具有相似的变化趋势,但基于MCSD的投资组合在样本外区间持续地战胜了基准指数的绩效。

表3 样本外投资绩效的比较二

注:由于超额收益和跟踪误差数值较小,为了展示数字格式的统一性和结果之间的差异,我们对部分结果使用了科学记数法,实际数值为表中数字与括号中因数的乘积。

图2 样本外的投资组合与基准指数绩效对比

注:λ =0.0025,图中虚线为投资组合,实线为基准指数

六、结论

本文基于边际条件随机占优法则(MCSD)提出了增强型指数投资组合的模型及其优化算法。该模型建立在均值方差优化的框架内,但是结合了以MCSD为基础的约束条件和目标函数。其中,约束条件定义为MCSD效率,目标函数定义为MCSD统计量的均值优于基准指数的程度,即占优程度。因此,该模型一方面具备了MV模型的优点,如计算的便利性和直观性,另一方面,新加入的MCSD规则能够在优化过程中解决重要信息的遗漏问题。本文使用了一个多目标免疫进化算法对模型进行了求解,并使用了8个来自世界主要市场的指数及其成分股的历史数据对模型和算法进行了实证测算。结果表明,本文提出的模型和算法在逻辑上具有合理性,同时,MCSD规则的加入显著地提高了投资组合的投资绩效。与已有相关研究的结果相比,本文提出的模型在结果上也有一定的优越性。本文对随机占优规则加入投资组合的构建进行了一个初步的尝试,如何系统地将各种随机占优规则加入到投资组合模型的构建中,同时考虑多阶段的投资过程,将是今后的一个研究方向。

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A Marginal Conditional Stochastic Dominance based Model of Enhanced Index Tracking

LI Qian, WU Hao

(School of Economics and Finance, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710061, China)

Abstract :In this paper, we present an enhanced model for index tracking with Marginal Conditional Stochastic Dominance (MCSD) rules. The model is still in the optimization framework but combined with two levels of MCSD. The first level is characterized as a constraint making sure the portfolio is selected in the MCSD efficient set. The second level requires the portfolio to have the maximized dominance degree as well as the optimized return and risk features. The dominance degree is defined as the mean value of MCSD statistics with regard to the benchmark index. By adopting an immunity-based multi-objective optimization algorithm, the solutions for the model are developed. The proposed model is applied to 8 major markets and the computational results show the superiority of the model.

Keywords :Portfolio; Enhanced index tracking; Marginal conditional stochastic dominance; Mean-variance; Multi-objective optimization

文献标识码: A

文章编号: 1002-2848-2019(04)-0118-11

收稿日期: 2019-02-28

基金项目: 国家社会科学基金项目“大数据环境下证券市场信息型操纵的形成机理、动态特征与智能监管研究”(18XJY024)。

作者简介: 李倩,女,西安交通大学经济与金融学院副教授,管理学博士,研究方向:行为金融、投资组合管理,电子邮箱:lqian@xjtu.edu.cn.吴昊,男,西安交通大学经济与金融学院博士研究生,研究方向:行为金融、投资组合管理。

责任编辑、校对: 郑雅妮

标签：投资组合论文;  增强型指数投资论文;  边际条件随机占优论文;  均值方差论文;  多目标优化论文;  西安交通大学经济与金融学院论文;