会当凌绝顶，一览众山小——谈正、余弦定理统一证明的教学设计，本文主要内容关键词为：余弦论文,定理论文,教学设计论文,凌绝顶论文,一览众山小论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
当你初次登上讲台时，你是怎么备课的？不熟悉教材内容以及内部的组织结构，不明白编写者的意图……这些都将导致你只能被教材牵着鼻子走，处于被动.一味地照搬，你永远无法品鉴到教学设计这壶茶里的那股茗香，永远走进不了学生的思维世界.
我们的教材往往是按照章节的次序编写的.这样的一种人为分割的编排思路长期不衰，有着它自身的优点、存在的价值（比如：每一节的内容和学生上课的课时相对应，便于教学者进行可操作性的教学安排）；然而却很有可能带来另一个问题：割裂了节与节之间的关系，隐藏了其背后的整体关联，造成教师与学生的认知偏向——孤立地看待它们，不能洞悉其数学本质，最终影响其认知的深刻性.
作为组织者的教师，在接触此类教材时，不妨尝试从中跳出来，站在高处研习这些孤立的知识点，沟通其联系、整体把握其特性，说不定会有意想不到的效果呢！
本文将以《解三角形》中的《正弦定理》与《余弦定理》两节内容为例，谈谈笔者多次执教这一内容时遇到的问题，以及如何一步一步地改进，最终以“会当凌绝顶，一览众山小”的思路得出这样一个统一证明的教学设计的.
一、孤立的证明——学生会有多大的收获
以下是笔者第一次执教第一章解三角形的第一节正弦定理和第二节余弦定理的教学片断（所用教材为苏教版高中数学必修5，下同），教学安排是分两课时，每课时各证明一个定理.
案例1 正弦定理的引入及证明（完全照搬教材+自行补充两种其他证法）
引入：由直角三角形中的边角关系猜想任意三角形中的边角关系.
[方法1]三角函数定义法（教材证法）：根据最大角将三角形分三类，利用正弦函数在直角三角形中的定义，将三角形同一底边上的高用两种不同的方式进行表达（即算两次的思想），建立等量关系，推得定理.
[方法4]辅助圆法：画出三角形的外接圆，利用同弧所对的圆周角相等将斜三角形中的角转化到直角三角形证明.（教材习题1.1中探究拓展提供的方法，运用此法同时推得了正弦定理中的比值等于2R）.
课后效果反馈：
本以为这样一节引入自然，内容充实——证明方法多种多样，渗透的数学思想方法丰富多彩（特殊与一般、类比与转化），学生听完后必定会对我的教学功底大加赞赏：“老师真是太聪明了，小小的一个正弦定理居然能想出这么多的证明方法！”.然而课后大相径庭的反馈情况却犹如晴天霹雳一般，给了我当头一棒！我找来几名同学，了解他们在学完本课后的感受.学生觉得虽然引入非常自然，容易接受（符合人类认知事物的规律：从特殊到一般），但对于证明则一致地感觉方法虽多但有些散乱，以至于没有完整的证明体系，下来非但没有学到每一种证法的精髓，反倒给搞得晕头转向.第二天上课的开头检测进一步验证了学生的学习效果——大部分学生对于证明思路的回顾思绪间断、跳跃、只言片语……
案例2 余弦定理的引入及证明（完全照搬教材+自行补充一种证法）
引入：由正弦定理求解三角形问题的不完备性（只能解决两类斜三角形：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角.求另一边的对角（进而可求其他边和角），说明我们还需要继续探究三角形中的其他边角关系，从而为余弦定理的登场埋下伏笔.
[方法2]解析法：建立平面直角坐标系，将△ABC的顶点坐标化、再运用两点间的距离公式计算△ABC三边，化简即得（此即教材习题1.2的探究·拓展题11的证明思路）.
课后效果反馈：
（2）给出这样一个题目给学生练习：
在△ABC中，AB =5，AC=8，∠A=60°，D是BC的中点，求AD的长.
本想让学生避开使用正、余弦定理，改用数量积一步得出答案，体会向量作为工具给解三角形带来的便捷.可学生想不到，说明他们对向量法还没达到灵活应用的层次.
二、重读教材，挖掘隐藏在知识深处的纽带
（一）课后小结反思，分析归纳课堂中出现的问题及其后续效应
书本是权威，但不意味着你就要照抄书本.机械地照搬不仅发挥不了课本的权威作用，反而会使学生对所学知识产生厌倦感（学到的只是表面，无法领悟其数学本质）.
这样一种内容丰富、充实的教学设计，在我看来本应取得良好的教学效果，可事实为何恰恰相反呢？
课后，我回顾并认真分析了整个上课过程，总结了以下的几个问题是值得我关注的：
（1）案例1的证法1思路与学生的最近发展区最为接近，且通俗易懂，学生不难想到！可想到之后由于要根据三角形的形状分类讨论，带来了冗长的证明过程却使学生产生厌烦感.
（2）关于两个定理的若干证明方法，方法虽多但散乱，缺乏一根能够阐述定理数学本质统领诸多方法的纽带，这正是导致学生糊里糊涂、昏昏沉沉的最主要原因.
（3）学习结束后，学生将它们视为独立的两个定理（教材中将它们处理为单独的两节），察觉不出它们之间的联系（后续效应）.
（4）关于正弦定理的完整形式——比值等于2R（R为三角形外接圆半径）还需从另一个角度单独推导，耗时（后续效应）.
（二）研读新课程标准，针对问题积极思考新的教学设计
（1）保留案例1证法1的基本思路，整合优化其证法结构
证法1的思路是分析正弦定理的等价形式：bsinA=asinB，bsinC=csinB，asinC=csinA，发现等式两边的几何意义：三角形一边上的高，得出定理的实质即三角形同一边上的高相等后产生的.定理的实质得到揭露，该几何意义又容易被学生察觉，计算三角形的高对他们来说也非难事，故值得保留.
但证明过程中由于不同形状三角形的高的表达略有不同（虽最终化简结果一样），因此需进行分类讨论，造成了证明过程的冗长.向量的运算不受此限制，利用向量的投影可将任意三角形的边投射到y轴上获得三角形的高，避开讨论.再者，将该等价形式的每个等式两边同乘以等式中未出现的第三边的一半，等式两边的几何意义即变为同一三角形的面积相等.由此，案例1的方法1和方法3可整合在一起，共同证明定理.
（2）解读定理的背后，寻求隐藏的数学本质
正弦定理和余弦定理是用于解三角形的常用定理.《普通高中数学课程标准（实验）解读》在解三角形解读部分中指出“解三角形处理的是三角形中的长度、角度、面积等度量问题”，这里的度量问题属代数范畴，而三角形中的边、角是几何概念，因此寻找一根联系代数问题与几何问题的“纽带”成为构建新的教学设计的核心问题.
用代数的方法研究几何问题的数学方法称为解析法.它给几何学中最基本的元素——点赋予了坐标，使得数的关系和几何关系实现了相互转换，故也称坐标法.基于这一思想，它可以研究任意几何图形的性质，因此不必要受到三角形形状的限制，可以作为研究其边角关系的普适性方法.
把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方法称之为向量方法.向量是高中数学中的一个重要概念，不同于数量，它既有大小又有方向，具有代数与几何双重身份.向量的数量积从其定义式上来看则是同时显现其双重身份的最佳利器.由此向量法也可列入研究三角形边角关系的基本方法.教材对于两个定理的证明都用到了向量法，足见其对于向量的地位和作用见解深刻，考虑合理.同时向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方便，能把综合法和坐标法有机地结合在一起，克服几何综合论证中常常要添置若干辅助线而显得不易捉摸的缺点.因此如用向量法来研究和求解平面几何问题，用计算来代替演绎论证，会使问题显得明快、简洁和容易人手.
以上的分析揭示了隐藏在定理背后的数学本质，使得定理证明思路的引出不再突兀.它们成为支撑统一证明正、余弦定理可行性的理论基础，但另一个问题也随之显现：怎样猜想定理的基本结构？
初中所学三角形的全等知识告知我们三角形虽然有六个基本元素，但其中的独立变元只有三个（其中至少有一是边），已知三个可以求所剩三个.这就是解三角形的一般思路.由此分析三角形的边角关系的等式中应该有四个变量，那么定理也一样.（这里只能对结构猜想到这个地步，其实由以下的两个新案例也能看出无需准确猜出这一结构，只需知道处理这类问题的通法即可）
基于上述分析，笔者考虑了一个新的教学构想：
三、会当凌绝顶，一览众山小——沟通联系，整体把握下的全新设计
案例3 解析法引领、向量作为工具，统一证明三角形中的边角关系
（1）引入：复习初中三角形全等的知识，由此作为生长点猜想任意三角形边角关系的结构特点——三角形的边角关系等式中应该有四个变量，且至少有一个是边.
（2）探索：任意三角形中的边角关系
准备工作（教师引导）：①划分归属：三角形中的边与角——几何概念，边角关系（度量）——代数范畴；②寻找关联：解析法；向量法（将2.2节中的理论分析用于此处，力求让学生感受证法的自然性）.
正式推导：
△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的三边.
（i）建系：建立如下页图1所示的平面角坐标系（学生不一定一下子就想到此种建系方法，教师不必担心，适当揭示即可得到）；
（ii）坐标化：A（O，0），B（ccosA，csinA），C（b，0）
（3）整合案例1的方法1和3
（i）向量投影法：
由①的几何意义为三角形同一底边上的高相等，故得以下证法：
利用图1，将点B投影到y轴上，得B’，如图2所示.
证明之后的再次反思：上面的证明过程近乎完美——一次建系，一次构建向量，三个边角关系等式一气呵成，但仍有一点缺憾：正弦定理中的比值等于2R没有得到证明.
案例4 改进的统一证明——加入圆背景，揭示三角函数的数学本质：圆函数
（1）引入：同案例3.
（2）探索：准备工作同案例3.
正式推导：
△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，R为其外接圆的半径，0为其外心.
（i）建系：如图3所示，以OA所在的边为x轴的正半轴建立直角坐标系；
（ii）坐标化：A（R，0），
B（Rcos ∠AOB,Rsin ∠AOB）,C（Rcos ∠AOC,Rsin ∠AOC）.由于∠AOB =2∠C或2π-2∠C,故B（Rcos2C,Rsin2C）或B（Rcos2C,-Rsin2C）;
至此，我们的证明工作收尾.
课后效果反馈：
经过两次修改过的教学设计，取得了良好的课堂反应.学生普遍为这一教学思路所折服，他们有感于解析法的普适，向量法的神奇；有感于一次探索，却获得如此多的收获；其实他们最有感触的是他们在最短的时间内领悟了一个数学本质：解析法、向量法可以将几何问题代数化！
四、案例的启示
从案例1和案例2到案例3再到案例4，每一次的修改都倾注了笔者的心血，同时每一次都让笔者获得了一笔丰厚的财富.内心有太多的话，但鉴于文章篇幅，只能提炼出部分与读者分享.
（一）教学内容的丰富绝不是课本内容的机械叠加
案例1、案例2中证法多，角度宽，却没有收到良好的教学效果.一堂本身需要学生大容量思维运作的课，教师非但不考虑怎样减轻学生的大脑疲倦感，反而将课本内容与补充内容按顺序一一罗列，势必会让他们疲上加疲.从心理学的角度来看，教师将课本内容机械叠加，对学生的大脑皮层的刺激较弱，无法使之产生兴奋感、全身心投入到课堂中来，是案例1和案例2设计失败的根源性原因.新课改中的文件精神要求教师丰富教学内容应当围绕着“三点一键”（抓住重点，讲清难点，消除疑点，解决关键），恰如其分又有的放矢地开展起来、激发学生学习兴趣，从而最大程度地提高课堂的有效性.
（二）沟通联系，整体把握教材，有利于揭示数学本质
数学各部分内容之间的知识是相互联系的，学生的学习是循序渐进、逐步发展的.普通高中数学课程标准在“教学建议”这一部分中就提出“注重联系，提高对数学整体的认识”的要求，并具体指出：“教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力.”
教材是落实课程标准、实现教学计划的重要载体，也是教师进行课堂教学的主要依据.要想用好一套教材，必须理解整套教材的编写意图、知识体系、结构特点及教材的呈现方式.就一节课而言，应确定它在整套教材中的坐标，明确它在本单元中的地位和位置，以及与其相关内容的前后联系.
笔者在构思案例3与案例4的教学设计时，正是充分考虑了这些思想，研究了教材的编排思路，正、余弦定理和解三角形的关系，在和学生探索证明定理的同时，也让他们亲身体验了处理几何问题的一般方法和思路，领悟了一个数学本质——解析法和向量法是沟通数与形的桥梁.