高中数学新教材第七章教学问题（二），本文主要内容关键词为：第七章论文,新教材论文,高中数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
137.“曲线的方程”“方程的曲线”这两个概念有什么区别和联系？
答：在“曲线的方程”这一概念中，主要的词是“方程”，前面三个字“曲线的”，是用来限制“方程”的含义的，说明这类方程不能是随意的方程（例如不能是x＋y＋z＝0这样的平面方程），而只能是表示“曲线”的方程。因此，“曲线的方程”这个概念反映的是图形所满足的数量关系。反过来，“方程的曲线”这一概念中，主要的词是“曲线”，前面三个字“方程的”，用来限制“曲线”的含义，说明这类曲线只能是有“方程”的曲线（有的曲线没有方程，例如对于某一天气温变化的曲线，通常列不出方程）。因此，“方程的曲线”这个概念反映的是数量关系所表示的图形。但这两个不同的概念有着紧密的联系，就是“点在曲线上”等价于“点的坐标适合于此曲线的方程”，即曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集之间能够一一对应。
138.在教学求曲线方程的五个步骤时，要注意些什么？
答：第一，“建立适当的直角坐标系”，这里，“适当”是指坐标系的位置。到目前为止，学生应掌握以下两点：如果将坐标系的原点选在曲线上，那么曲线方程就会不含常数项；如果曲线有对称轴，并且对称轴为x（y）轴，那么曲线方程就会不含y（x）的一次项。
第二，这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，如图1。
由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程”。
第三，求曲线方程时，这五个步骤不一定完全要实施。对于简单的问题，化简过程是等价变形，步骤（2）、（5）往往可以省略。
139.对于与圆心为（a，b），半径为r的圆的方程有关的问题，常见的条件及思路（指可以得到的等式）有哪些？
140.在教学求轨迹方程并画出轨迹曲线的简图时，要注意些什么？
答：要注意防止遗漏和多余。
防止遗漏的方法是让学生先画一张草图，将分析进行得尽可能仔细一些，免得把容易发现的细节漏掉。例如，一个动圆与圆C：x[2] －6x＋y[2]＝0外切，且与y轴相切，求动圆圆心的轨迹。学生如果粗心大意，就会只得出一部分，即曲线y[2]＝12x（x＞0）， 而丢掉了轨迹的另一部分，即x轴的负半轴。如果让他们先画一张草图，那么x轴的负半轴为轨迹的一部分是很容易发现的。
防止多余的方法是求出方程后，可以让学生按照方程试着画出曲线，如果画出的曲线中有一部分（即使是一个点）不合题意，就必须舍去这部分曲线（点），剩余下来的曲线（点）及其所对应的方程才是所求的轨迹。
总之，让学生认真画图并从图上细心加以分析，就能使他们有效地防止遗漏和多余。
141.为什么有时要使用参数方程？
答：参数是参变数的简称，它是从研究运动等一类问题中产生的。因为质点运动时，它的位置必然与时间有关系，也就是说，质点的坐标x，y与时间t之间有函数关系x＝f（t）、y＝g（t），这两个函数式中的变量t，相对于表示质点的几何位置的变量x，y来说， 就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量，被抽象到数学中，就成了参数。学生所学的参数方程中的参数，其任务在于沟通变量x，y及一些常量之间的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。
用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。例如参数方程
其中g是重力加速度（取9.8m/s[2]），对于解决求最大射程、 最大高度、飞行的时间或描迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如“圆的渐开线”），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解（“圆的渐开线”的普通方程为x·
的确较易理解），而且画图也不太困难。
142.教学列参数方程时，要注意些什么？
答：首先是参数的选择问题。一般地说，选择参数时应考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x，y）都可由参数取某一值惟一地确定出来；二是参数x，y的相互关系比较明显，容易列出方程。参数的选取应根据具体条件来考虑。例如可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、截距（即直线与y轴交点的纵坐标或与x轴交点的横坐标），动点的坐标等。有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程。但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数一般应尽量少设。
如果要把参数方程转化为普通方程，其基本方法是“消去参数”。消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来考虑。一般地说，当f（t）、g（t）都是多项式时，常采用代入消元法；当f（t）、g（t）都是t的三角函数时，常借助三角恒等式。在转化的时候，还必须使两种方程中的变量x，y的取值一致。
143.怎样辩证地分析参数方程和它所表示的图形？
答：我们举一个例子。在方程组
显然，这个方程组中的每一个方程表示直角坐标平面uOv 内的一条直线，方程组所表示的图形应该是这两条直线的交点。
这个例子说明，对于同一个参数方程，从不同的角度去进行分析，可能发现它表示着不同的几何图形，我们在分析参数方程时，应该注意这种辩证关系。
144.怎样求一个圆系的公切线？
1.在这一单元的教学内容中，如何进一步向学生传授形数结合这一基本数学思想和把几何问题归结为代数问题来处理的重要方法？如何理解这一方法的重要意义？
2.对于学有余力的学生，如何控制直线系和圆系方面的知识和教学要求？