由向量法证明线面垂直判定定理浅谈循环论证，本文主要内容关键词为：循环论证论文,向量论文,定理论文,浅谈论文,线面论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
问题1 人教A版选修2-1，91页例3
证明直线与平面垂直的判定定理：如果直线l垂直于平面α内的两条相交直线a，b，则l垂直于平面a.
观点1 此法充分发挥向量的工具作用，是证明线面垂直判定定理的简洁方法.
观点2 这种证法犯了循环论证的错误，理由如下：
上述证法中用到了空间向量数量积的分配律（以下简称分配律）a·（b+c）=a·b+a·c.根据学生已有的知识和教材的编排体系，分配律的证明一般要利用线面垂直的判定定理.具体理由如下：
一般认为，如果论据的真实性依赖论题的真实性，那么这种论证就是循环论证.上述在用向量法证明线面垂直的论证过程中，论据“分配律”的真实性依赖了论题“线面垂直的判定定理”，从而上述利用向量证明线面垂直的方法犯了循环论证的错误.
二、辩论
持观点1的大部分人在用向量法证明线面垂直时没有考虑空间向量数量积的证明.看到观点2后有如梦方醒之感，甚至庆幸在证明时没有“挑刺”的学生提出分配律的来历，否则他们也会使用如上的证明方法，得到循环论证的尴尬下场.这些人从而由观点1倒向观点2，同时也认为教师用书中对问题1的证明不够严谨.
观点1一方中也有人提出向量法证明线面垂直方法不是循环论证，应属正确方法.分配律是大家公认正确的结论，论据的真实性毋庸置疑，至于它是如何证明的，是否用到线面垂直的判定定理与证明此题无关，不应追究.况且课本上也是这样证明的，应该比较权威而且这样的例子课本上还有.例如：人教A版选修2-2第32页B组第一题：
问题2 利用函数的单调性证明不等式sinx＜x，x∈（0，π）.
证明：f＇（x）=cosx-1＜0，x∈（0，π），所以f（x）=sinx-x在区间（0，π）内单调递减，因此，f（x）=sinx-x＜f（0）=0，即sinx＜x，x∈（0，π）.
三、笔者的几点拙见
1.循环论证的界定
关于循环论证，著名数学家张景中院士有过精辟论述：“孤立地看一个命题的证法，是很难肯定它是否犯了循环论证的错误的.因为证明中还没有出现循环.循环是怎样产生的呢？往往是在寻根问底的追问下出现的.例如，学生用余弦定理证明勾股定理，教师追问‘余弦定理怎么证明的呢？’学生又用勾股定理来证明余弦定理，教师则可以指出这是犯了循环论证的错误.反之，如果学生不用勾股定理而用其他别的方法给出了余弦定理的一种证法，那就不但没有犯循环论证的错误，而且应当表扬他的勇于思考的精神”.
由此，问题1的证明是否为循环论证，关键要看分配律的证明方法.如果利用了线面垂直的判定来证明分配律，那肯定犯了循环论证的错误.如果能找到新的不依赖线面垂直判定定理来证明分配律，那就不是循环论证.
2.向量法证明线面垂直是否可行
如果以现行教材系统为准来判断是否为循环论证是片面的.希望教师能够注意到书上定理存在的一些不同证明方法能够变循环为不循环.
在上述证明过程中总算找不到到线面垂直判定定理的影子了，我们现在有理由认为本文开始用向量法证明线面垂直判定定理的方法是可行的，非循环论证.
3.对教学的建议
（1）判断循环论证要慎重
笔者认为在论证过程中所引用论据的真实性仅能以论题的真实性来论证，而对于所引用数据的真实性不仅依赖于论题的真实性，还可用其他的真实性判断推证出来的，则不宜称循环论证.判断“引用数据的真实性是否仅依赖于论题的真实性，还是可依赖于其他的真实性判断推证出来”取决于认识者现有的知识体系，认识的深度和习惯等.
（2）高中数学教学的严谨性
对新课标人教版现行高中教材中问题1，问题2的证明涉嫌循环论证的讨论其实已经触及如何认识数学的严谨性，如何领会教材编写者的意图以及中学数学教学的主旨问题.
张奠宙教授认为“不严谨的数学也是数学，牛顿发明微积分时毫无严格基础，但谁又能否认微积分对科学发展的巨大贡献呢？严谨性并非只是学生接受能力大小的问题，而是数学本身固有的现象.中学数学根本做不到完全严谨，只能做到适度严格.这个度是根据数学本身的需要，社会对数学严谨性的要求以及学生年龄特征等综合因素确定，而且要因时因地改变.数学过分的严谨会带来繁琐、雕琢的毛病，反过来抑制了学生生动活泼的数学思维.”
我们要了解证明过程中某些论据的来历，要提高我们教学的底气，这样不至于面对个别“刁钻”的学生提问而手忙脚乱，敷衍塞责.但是过分的“死抠”到头来只会作茧自缚，吓跑学生，使教学停滞不前，学生的综合应用知识的能力和创新能力更是无从谈起.现在数学分支已经相当庞大，各分支相互渗透，相互促进，共同繁荣.数学教学要讲逻辑的严谨性，但更重要的是要将数学作为一种工具为其他学科和社会发展服务.对于教材中讲微积分不用“ε-N”语言，数学归纳法不加以严格证明而使用，可以用不完全归纳法得到等差等比数列通项公式等教材的处理方式，我们不能只看到“不严谨”，更要细心品味这样处理的“优势”.
最后，我们以伟大数学家希尔伯特在巴黎数学家代表大会上的名言作为本文结束语.“数学学科是一个不可分割的有机整体，它的生命力在于各个部分之间的联系.的确，数学最为迷人之处是不同分支之间有许多相互影响，预想不到的联系有时会奇迹般的展现在你的眼前.”