充分利用教材，回归真理，实现数学教育价值_数学论文

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      “用教材教”与“教教材”作为两种不同的教学观引起了教育界的充分重视.从字面上理解，两者至少有一个共同点，即都强调教材的作用，而中学数学教学的现状是：既不教教材，也不用教材教，学生的学习过程完全与教材脱节，教材的理念、意图被置之度外，数学教学完全被应试的目标（以此为标准编写的各种教学案）所牵制，成了单纯的解题教学，其丰富的教育价值没有得到充分的发挥.笔者认为，无论何种版本的教材，其编写的基本出发点都是尽可能地体现数学教学的本真要求，实现数学教育的多功能性，因此，数学教学回归教材已是当务之急.本文对用好教材，实现数学教育的本真追求谈一点个人的看法，敬请同行批评指正.

      一、要充分认识教材的“材”的特点，进行合理的教学设计

      顾名思义，“教材”就是教学之“材”，这个“材”不是硬性规定了的操作程式，而是在一定的教育学、教学论、教育心理学理论指导下的，体现了国家、社会和时代需求及在此规范下形成的教材编写者的教学主张，引领教学方向的具体架构与内容，在设计教学过程中可以选用，并需要根据实际情况进行取舍、调整甚至再创造.

      1.“教材”是各种可能中的一种（或几种）选择

      由于受到各种限制，教材不能将编写者全部的、可能的想法与方案都呈现出来，通常展示的只是一种（或几种）选择（呈现方式、编排顺序、内容载体等），因此，教学设计时就必须考虑更多的因素与可能，从学生获得最大发展的角度进行再加工.

      如“直线的斜率”一节，不同的教材在顺序安排上大不相同，有些教材先讲倾斜角，后讲斜率，有些教材先讲斜率，再讲倾斜角，从而在呈现方式、背景选用上都有所区别.笔者认为，这没有优劣之分，更没有对错之别.通过对近20节课的观察，笔者发现，学生先想到角还是先想到坡度完全取决于教师所设计的情境：先给出楼梯等现实情境的课上，学生首先想到的都是坡度，而通过多媒体演示直线旋转的课上学生无一例外地先想到角.其中一位教师给了学生足够的时间，让其自己确定一种数学地刻画直线方向的量，学生们不仅提出了坡度、角两种刻画方式，而且提出可以用向量进行刻画（我市先讲必修1、必修4，再讲必修2）.事实上，本课的初始问题就是“用怎样的量刻画直线的方向？”教学中应该给学生更为充分的思维空间，让其自己寻找并建构相关的概念，最后由它们都能刻画直线方向这一特征自然可以提出“它们之间有怎样的关系”的问题，进而建立k=tanα的关系.

      上述处理方式拓展了学生的思维，让学生经历了完整的数学建构过程，既是对数学研究方法的应用，也加深了对数学本质的理解，促进了数学素养的提升.

      2.“教材”是一种示范与引领

      苏教版高中数学课程标准实验教科书（必修5）中对正弦定理的证明的处理有别于通常方式：提出如何证明的问题后，提供了若干个处理方案，然后选择其中的两种方案进行研究，并对“向量法”解决的过程进行详细的介绍.这个案例从两个方面说明了“教材”的示范性与价值引领作用：其一，在问题解决时可以有多种思路的选择，让学生有更多的选择余地，并使教学更具适切性（同时也是对教学的一种引领：让学生有更多的思维空间、表达权利和合适选择）；其二，教材首先采用的方法是学生容易想到将一般三角形转化为熟悉的直角三角形的方法，体现了基于学生认知基础，又重视渗透数学思想方法的教学要求；其三，教材重点研究的是学生不熟悉的新方法，目的是在介绍重要的数学方法的同时促进学生对向量工具价值的认识，并感受从形的数学表示（几何形式的

）通过“数量化”建立三角形边角关系的思维方式的美学价值.新的方法通常难以由学生自主建构，教材的处理方式既是新方法的介绍，也是让学生学习一种数学思维的范式（不同数学形式的转换是数学发现、数学建构的重要手段）.

      “教材”的示范意义还在于价值追求，即体现教学内容的教学价值，有时并不要求严格地按照其机械执行，教师完全可以在素材选择、呈现方式等环节作适当调整，但教材所体现的设计思想应该得到尊重.比如“平均变化率”是为引入导数（即瞬时变化率）作准备的，而导数是刻画曲线上一点处变化快慢（也可以认为是刻画曲线上一点处的方向）的数学模型，一点处变化的速度（瞬时）很抽象，不易为学生理解，故而需要从区间上的变化率开始，逐步地收缩、逼近，以适应学生的认知水平.该内容的教学设计可以有多种背景和形式，但以寻找刻画变量变化快慢程度的数学模型的基本思路不能变，而且要从多个视角不断地“敲击”这个核心点：代数的、几何的、物理的等等.

      当然，教材的示范与价值的引领是多方面的，如研究方法的示范、教学理念的示范、数学规范的示范、数学思维方法与策略的示范等，在进行教学设计时要充分地分析、理解这种示范与引领，自觉地运用于教学之中.

      二、要充分理解编写意图，实现教材设定的数学教育目标

      从上文已经能够看到，理解教材编写意图有利于把握教学设计的方向.

      1.理解教材结构体系的建构意图

      数学教材是一个整体，一套教材有着其一以贯之的理念，每个章节也有着贯穿始终的思想，它们形成了教材的编写指导思想的理性“框架”，而这个框架又统领着学科知识体系的建构模式.

      比如，苏教版高中数学教材“三角函数”一章从现实世界的周期性现象导入，以探求与建构刻画周期性现象数学模型为主线，展开全章内容：建构刻画周期性现象的数学模型→如何刻画圆周上一点的运动（（x，y），（α，r），l之间的关系）→如何刻画“圆周上一点周而复始的运动”（角的概念的推广）→（α，r），l之间的关系（弧度制）→（x，y），（α，r）之间的关系（三角函数）→不同模型之间的关系（同角三角函数之间的关系）→这些模型能够刻画周期性运动吗（诱导公式）→这些模型是怎样刻画周期性运动的呢？（y=sinx，y=cosx和y=tanx的图象与性质）→更一般化的周期性运动的数学模型是什么？（y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，说明更复杂的周期性运动也可以通过“变换”转化为“简单而又基本”的三角函数来进行刻画）.

      由于对上述整体框架不了解，不少教师在设计教学过程时没有将每个知识点置于这个整体结构之下，使得非常自然的“思维链”无法成形，整个章节的内容变得支离破碎.如“任意角的三角函数”的概念，将其以“锐角三角函数”作为认知起点，殊不知初中学习的只是“三角函数”的名称，根本就不是用函数的观点来认识的（多数国外教材以及上海版教材都不以三角函数称之，而直接冠名为“三角比”），无论是从历史观还是数学内部关系上看，前者都不是后者的思维起点，只是在研究（x，y），（α，r）之间的关系时，在特殊情形（α为锐角）的情况下“发现”了这种关系，两者才产生了认知逻辑上的联系.同时，研究函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质也不应以“如何由y=sinx的图象变换到y=Asin（ωx+φ）的图象”的方式提出课题，而应该以“如何建构刻画更为复杂的、一般化的周期性现象的数学模型”作为研究背景，因为我们的认知起点不是已经知道了y=Asin（ωx+φ）是刻画周期性现象的数学模型，而是要通过研究发现它能够刻画周期性现象.

      从全套教材看，更能够看出这种整体设计的痕迹：上面介绍的“直线的斜率”部分只研究了刻画直线方向的两种数学模型（斜率、倾斜角），而在必修4“平面向量”一章设计了一道阅读题，让学生用直线的方向向量寻求直线的点斜式方程.这个问题将刻画直线的方向的数学模型的建构加以完整化、系统化.

      综上，从整体框架认识教材结构是用好教材、实现教学效益最大化的基本要求.

      2.理解素材选取与组织的意图

      教材对有些内容的处理非常详细、明确，但不少教师不作研究与思考，对设计意图不加分析，或另起炉灶，或机械操作，失却了教材预设的教学价值的实现时机.如苏教版教材中“对数运算的性质”一节，教材是这样处理的：

      

      然后，教材给出了数据表，并说明：从表中可以发现，对数运算的性质……

      教材设计的意图是什么？首先，提供由指数运算性质及对数与指数之间的关系的式子，让有能力的学生在较高思维层次上进行探索，为其发展提供空间；其次，通过教师的适当引导，为一般学生搭建脚手架，使其在自身的能力范围内，通过努力解决问题；最后，对于基础相对较差的学生，可以通过表中数据的启发，在对具体数据进行尝试、分析的基础上也能独立发现数学规律.可见，这是一个面向全体学生，使所有学生都能有所发展的设计.在我听的大多数课上，教师们都用特殊到一般的方式，通过归纳让学生“发现”规律，既缺少问题的提出过程，也浓缩了思维的时空，教学素材的价值打了很大的折扣.

      3.理解教材具体内容的设计意图

      因为受体例、格式的诸多限制，教材在很多环节上没有将真实的思维过程进行完整的阐述，导致不少教师不能理解.比如苏教版教材选修2-1“圆锥曲线”一章中“圆锥曲线的统一定义”一节有下面一段内容（研究目的是找到证明猜想“平面内到一个定点与一条定直线（定点不在定直线上）距离之比等于0到1之间的常数的点的轨迹是椭圆”的方法）：

      推导椭圆的标准方程的过程中有这样一个式子：

      

，

      对此式子你有何发现？

      不少教师启发学生：等式右端正好有个两点间距离的代数形式，那么，能否在等式左端构造出点（x，y）到某直线的距离的形式呢？

      由学生探索、发现，上式可变形为

      

      再让学生解释这个式子的几何意义，从而发现定直线为

.

      以上过程者似精巧，但缺少数学的大气，没有体现数学的一般性的思想方法：为什么会突然地想到在椭圆标准方程推导过程中找这样一个式子的呢？教学中要把其思维的缘起揭示出来：要判断曲线是否为椭圆，有两种思路：用第一定义——行不通；用方程——目前的知识结构下只有标准状态下的方程才能够判断，于是，如何建立坐标系使轨迹方程为标准方程就是难点，而可资利用的只有椭圆标准方程的推导过程.

      可见，把教材中“省略”的思维过程“找”回来非常重要，它是让学生学会思维、经历真实、完整的思维过程的必要条件.

      4.将学习内容置于学生认知基础的框架下进行合理的教学设计

      教材设计通常基于一种基本的框架，突出一种“一以贯之”的思想方法，如对函数（从基本初等函数到三角函数等）的研究，教材都是用图象进行直观探究进行的，包括对函数y=Asin（ωx+φ）的图象也是如此（目前各种版本的教材都是这样处理的）.教师进行教学设计时还必须将学习内容与学生的已有认知结构进行相关研究，即要将与教学内容相关的前知识进行梳理，发现学生的认知基础，从而设计出符合学生认知水平的教学过程，提高教学效率.

      比如，研究函数y=Asin（ωx+φ）的图象时，大多数教师都采用了同样的方法（作出图象，归纳概括）分别研究y=sin（x+φ）、y=sinωx和y=Asinx图象的变换方式（或φ，ω和A对函数图象的影响），没有注意到在学习指数函数、对数函数时已经研究过形如

的图象的变换规律.最近在浙江省杭州市学军中学听了由江苏省天一中学沈爱莉老师上的一节课，收获很大.沈老师根据学生的认知基础，对三种变换采用了三种不同的教学方法：平移变换由学生自己研究，有学生画图，也有直接用平移变换的一般结论，教学过程很顺利；对周期变换，则让学生作图探索，并借助多媒体演示，作充分的研究与深入的讲解；对振幅变换则直接让学生思考、猜测（不让作图），时间不长，学生们都得到了正确的结论.对三种情形，都作了理论证明：第一种教师示范，后面两种由学生完成.从课堂练习看，效果非常好，究其原因，就在于沈老师充分地熟悉教材，对学生的已有认知结构了然于胸，从而设计了与学生的认知基础、思维能力相适应的学习过程，既保证了教学重点，又有充裕的时间突破难点.

      教材中有着很多的“前置知识”，其设计目的就是作整体贯通，为后继学习作铺垫.苏教版教材中存在大量的此类设计.我们要对教材进行整体阅读，了解教材结构，用好这些素材，使教学过程更加切合学生实际，教学的着力点准确、到位，提高教学效益.

      最后还要强调的是，不仅教材的正文部分值得重视，就是练习、习题及其他栏目都有其特定的设计视角，值得深入研究，充分挖掘其教学价值.

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