从20世纪数学发展谈数学哲学的几个问题，本文主要内容关键词为：数学论文,几个问题论文,哲学论文,世纪论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、20世纪数学发展变化的特点
众所周知，20世纪的数学门类繁多，内容广泛，已经发展到了“隔行如隔山”的地步，但 从20世纪数学理论发展的源流看，它不是从零开始的，它根植于过去数学的土壤之中，一些 新概念、新思想的发生离不开旧的思想方法和理论体系，综合分析20世纪数学思想的发展变 化呈如下的特点：
1.数学应用的广泛性
20世纪前本无“纯粹数学”与“应用数学”之分，但自50年代后出现了严重的分化趋势， 西方世界采取行政手段解决这一问题，随之数学研究部门及各大学出现了许多新的系及专业 ，后又发现“纯粹数学”这些高度抽象的数学知识非但没有脱离实际，而且其所有分支都有 引人注目的不可思议的应用价值。例如：拓扑学应用于生物学DNA结构；不动点理论应用于 经济数学；数论应用于计算机科学、编码理论、密码设计技术、通讯理论；抽象代数应用于 计算机科学、控制论语言、晶体物理、机器数学、图象设计；概率论应用于统计力学、量子 化学、农业统计、生物数学、气象预报；超过三维的几何学和拓扑学应用于现代物理等等。
另一方面，应用科学、工程技术、生命科学以及经济管理科学等领域出现众多的数学问题 又成为“纯数学研究”的课题甚至发展成为一系列新的应用数学分支。例如地质数学、生态 数学、医学数学、金融数学等，发展沿着“良性循环”应用→理论应用→应用，这些抽象化 、概念化的数学非但没有各自为政，互不关联，反而使得大量意想不到的关系不断涌现，给 各种问题的解决提供了新的有力工具，特别是为解决经典问题打开了智慧之门。
2.数学理论的超前性
20世纪数学理论的研究对象远远超出经典数学的范围，日益显示出具有超前性和多样性。 这为“广义相对论”、“量子力学”准备了强有力工具。
Poincare阐明的混沌理论为“现代混沌理论”奠定了思想方法基础；Hausdorff分维理论为 “现代分形几何”建立了理论分析工具；Hamme基础理论为“现代小波理论”的前驱和思想 方法基础，如此等等。
3.结构数学贯穿在20世纪数学发展的过程中，形成现代数学统一特征的核心
20世纪数学的主流—结构数学是研究抽象数学结构的科学，它是在集合论的基础上，由传 统的数学方法中产生一批抽象的结构，这些结构大都可以通过公理法来定义，形成自己的问 题 和理论体系，并且衍生出一套相关的结构及理论。例如群可以表示成如下形式：
二元二次型→型的合成→交换群；代数方程→根的置换→置换群；图形的全同→全同运动 →运动群；射影性质→射影变换→变换群。
二、对数学哲学几个问题的重新认识 不同时代的哲学家和数学家都从认识论角度对数学哲学的很多问题提出了不同的理论和观 点。但随着数学思想的不断发展又暴露出它们的片面性或局限性，特别是20世纪结构数学象 一条红线，贯穿在20世纪数学发展过程中，形成现代统一性特征的核心，加之计算机引起数 学研究方式与教育方式的变革时，又提出数学哲学中几个更深层次的问题。
1.数学具有经验与演绎双重性质，并且交替螺旋上升
数学是经验科学还是演绎科学，这是数学哲学研究的基本问题，是关于数学本质的认识问 题，自数学产生以来一直进行着讨论，许多数学家、哲学家以及数学哲学家都在进行着不断 的探索，20世纪则达到了白热化，最为引人注目的争论，当属20世纪初的三大学派，它们对 20世纪的数学发展，对当代数学哲学的研究，都产生了重大影响。
逻辑主义的代表人物是罗素(B.Russell)和怀特海(A.N.Whitehead)等人，“逻辑主义认为 ，数学与逻辑的关系是逻辑在先，然后才有数学，并且整个数学体系是建立在逻辑基础之上 的”[1]。这是逻辑主义基本的哲学思想，从这种观点出发，不难发现，逻辑主义本质是： 首先，数学是逻辑的派生之物，与客观世界无关，其次是整个数学科学体系可以借助逻辑作 为基础建立起来。从认识论的角度分析，显然，逻辑主义是典型的唯心主义，它否认数学的 客观性，否认数学渊源于客观实践，因而否认数学的发展与客观世界存在着联系。
数学直觉主义的先驱是德国唯心主义哲学家，直觉主义者认为，逻辑没有独立存在的意义 ，几乎是多余的，逻辑定理是数学定理高度概括的普遍形式，只有当数学发展到相当程度， 人们才有可能透过对数学定理的构造方式抓住一些具有普遍意义的命题，这类命题才是逻辑 推理。
直觉主义的数学哲学观认为，数学既不是渊源于实践，也不是建立在逻辑基础之上，而是 产生于人脑先验的直觉。
形式主义的代表者是德国数学家希尔伯特，形式主义学派认为，数学的任何基础都离不开 逻 辑，每个数学分支，既有自身的公理基础，也包含着逻辑的数学的概念和原则。逻辑对数学 的作用，在于作为一种符号语言，把数学的语句表达成公式，并且用形式的程序表示推理。
从20世纪数学发展看，认为数学是一门纯粹经验科学的观点是站不住脚的。为什么这么说 呢？因为象抽象代数，愈来愈朝着与经验很少相联的方向发展，集合论中，一个无穷的“幂 ”和“序”，可以是有限数要领的推广，但是在它们的无限的形式中，它们与现实世界很难 有任何联系……。尽管逻辑主义视逻辑为数学之渊源，形式主义将数学的真理性归结为逻辑 的无矛盾性，以及直觉主义排斥逻辑而只承认先验的，但不论从何角度看，数学同逻辑有着 极为密切的关系。“一方面，从20世纪结构数学的发展过程看，数学对逻辑的发展具有较大 的促进作用，由形式逻辑到逻辑运算，由逻辑演算到证明论、递归论、模型论和公理集合论 ，由二值逻辑到多值逻辑，由模糊数学到模糊逻辑等，数学使其逻辑推理更加严密，结论更 加明确，另一方面，逻辑推理的严谨性又是数学的要旨，逻辑是建立结构数学理论框架的主 要工具，如格、拓扑空间、度量空间等等。”[2]
2.数学的研究对象可以从现实世界中提炼出来，也可以从数学自身的逻辑发展的需要构造 出来，甚至是现实经验中暂找不到或者是很难得到的构造
数学发展的早期历史和人类对自然界的最初认识交织在一起。当时人们信奉自然是按数学 方式设计的，数学是宇宙的真理和秩序。古希腊时代毕达哥拉斯学派关于“万物皆数”的信 条，一方面把数学抬举为世界的本源，另一方面把数学研究的对象
牢牢地封闭在有理数的范 围内。
的发现，直接冲击了毕达哥拉斯学派的哲学信条，表明了“万物皆数” 的观念是不可靠的，同时改变了人们认为数学结论的可靠性完全依赖于人的直观与经验的观 念。
随着20世纪40年代以来科学技术的飞速发展，各门学科、各个领域及高新技术都迫切要求 数学化、定量化，但是科学技术的深化就意味着研究对象的复杂化，为适应这些要求，必须 把建立在实数域及复数域上的代数、数论、分析及几何推广到一般域上，特别是代数数论一 方面推广到局部域上，另一方面推广到函数域上，实数空间上的分析也被充分推广，构成大 范围分析，实数域上的付立叶级数理论推广到李群之上形成抽象调和分析。因此，我们说， 数学的研究对象是个极为庞杂的领域，它的研究对象在不断扩大，不断发展，很难说有什 么统一的对象。
3.从20世纪数学思想的发展过程看，算法思想将成为今后相当长一个时期数学的主要思想
中国传统数学思想的特点是算法化、模型化、实用化，吴文俊院士曾提倡中国传统数学的 算法化、数值化、离散性等计算思想，随着电子计算机的应用又促进了计算数学的发展及其 与 之交叉的诸如计算机流体力学、计算几何等边缘学科的产生以及数学实验的出现，又采取对 欧几里得模式挑战的姿态，坚信充分理解相当于逻辑证明，他们在电子计算机上，让思想充 分自由进行实验、创造。这些都说明数学抽象思维结构的内部能够发生变革，进一步使算法 思想重新得到发展，成为与演绎法并驾齐驱的思想，因此可以预言，随着电子计算机作为数 学研究工具地位的确立，算法思想将成为今后相当长一个时期内数学的主要思想。算法思想 与演绎思想在数学发展过程中的这种更迭替代，从一个侧面体现了“演”与“算”这对矛盾 在一定条件下的相互转化，李文林先生把这种转化从数学方法论的角度概括为“算法倾向与 演绎倾向螺旋式交替上升的过程。”[3]
4.数学在科学上的神奇功效和数学研究的超前性，其根源应是科学的本性而不是数学的本 性
众所周知，十七、十八世纪微积分的应用十分广泛且成效显著。例如，在天文学中利用它 能精确地计算行星、慧星的运行轨道和它所处的位置。数学应用显示出了不可思议的有效性 ，而二十世纪则达到了白热化的程度。为什么这么说呢？让我们对一个常被引证的数学在自 然 科学上应用的奇迹——爱因斯坦的广义相对论对黎曼几何和张量代数的使用作些分析，爱因 斯坦在从等效原理得到引力方程必要特征后曾由于没有找到合适的数学工具来表达和处理 这种深刻的直观认识而徘徊停滞了数年之久，走了很多弯路。直到他与老同学格罗斯曼合作 ，直到并掌握了黎曼、R·Ricci和LeviCivta等数学理论，才得出了广义相对论最终的表述[ 4]。如果爱因斯坦的时代微分几何没有得到充分的发展，可以肯定的说，他的广义相对论最 将只不过是他头脑中的一些模糊的科学思想，不可能成为伟大的科学理论。可见，科学家的 工作中很重要的一项就是把科学直观数学化，如果缺少了合适的数学工具，他的工作就不会 有满 意的结局。马克思曾明确指出：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才 算真正发展了。”这是对数学作用的深刻理解，也是对科学直观数学化的深刻预见。当我们 为数学在科学上的成功运用感到神秘不可思议时，我们恰恰忽略了大量由于没有得到数学工 具的支持而胎死腹中没有成型的科学思想。抽象数学可有效用于自然科学并常常超前于自然 科学发展的根本原因在于人类认识能力的局限性，使得人们一方面不能从根本上明晰数学本 体及其与世界的关系，另一方面也没有彻底解决数学自身的合理可靠性，有了上述认识，我 们就可以说，不是数学用之于自然科学，而是自然科学乞助于数学。
综上所述，我们认为，关于数学的研究对象，数学基础及其实践与逻辑等关系的问题是一 个动态的辩证关系，随着数学的发展变化，以上诸关系在发展变化，企图抓住一点给出以上 诸元素之间永恒关系的设想是不可能实现的。目前关于探讨以上诸关系的说法颇多，但随着 时间推移和数学的进一步发展又都显露出不能自圆其说的缺憾。因此，作为一种哲学信念， 我们认为，探讨数学哲学基本问题，人类认识的道路永无止境。