让概念教学变得更自然——“三角函数的周期性”案例分析，本文主要内容关键词为：周期性论文,案例分析论文,函数论文,概念论文,自然论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学是思维的科学，数学概念是数学思维的细胞，数学是用概念思维的.中国科学院李邦河院士认为：“数学根本上是玩概念的，而不是玩技巧.”从数学的发展过程看，数学概念凝聚着人类认识事物的思想精华；从数学概念的形成过程看，概念教学是获取研究对象，认识数学新对象，带有本源性的概括过程；从学生的认知角度看，学生是用已获得的知识来理解新概念，将新概念融入已有认知结构的吸纳过程.在现实教学中，存在概念背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分概括本质特征的机会，过早引入定义，以“几项注意”的方式进行概念教学的情况.更有甚者，有人认为在概念教学上耗费时间不如让学生多做几道题来得实惠.
三角函数是刻画圆周运动的数学模型，周期既是三角函数的一个重要概念，又是三角函数的一个重要性质.笔者借助于“三角函数的周期性”这个课题，对概念教学作如下探讨，以就教于同行.
一、概念的引入，源于自然现象
师：自然界和生活中有许多“过了一定时间某些现象重复出现”的情况，你能举出具体的例子吗？
：每天太阳的升起与落下；每年四季的变化；每周的星期一至星期日；公园中转动的摩天轮上的某个位置……
师：你所举的例子过了多长时间什么现象会重复出现？
：现在太阳升起，过了一天后太阳又升起；现在是秋季，过了一年后又是秋季；今天是星期一，过了七天后又是星期一；游客在摩天轮的座位上，每转动一周又回到原来的位置……
师：你能举出数学中某些现象重复出现的例子吗？
：我们在学习正弦函数、余弦函数的三角函数线时发现，当角α每增加或减少2π时，所得角的终边与原来角的终边相同，三角函数值也重复出现.
师：这种重复的现象，我们通常用术语“周期”来刻画.正弦函数和余弦函数的周期是多少？
（引入课题：三角函数的周期性.）
【评析】周期概念不是凭空产生的，用生活中的实例让学生感知周期的客观存在，可以自然引出学习内容；用数学中的实例让学生体会周期的重复本质，显出研究周期的必要性.失去这一环节，会使概念研究成为无源之水.学生少了思维起点，会觉得概念来得突然，好像是来自于脑外的附加物.这样设计，既有助于实现从自然现象到数学现象的迁移，又有利于学生获取心理逻辑的自然.
二、概念的形成，体现心路历程
师：sin（x+2π）=____，cos（x+2π）=____.
：sin（x+2π）=sinx，cos（x+2π）=cosx.
师：你依据什么说，这两个等式是成立的？
：因为角x与角x+2π的终边相同，所以它们的正弦值和余弦值分别相等.
师：这两个等式的成立与z的取值有关吗？
：这两个等式的成立与x的取值无关.因为无论x取定义域内的什么值，x与x+2π的正弦函数值和余弦函数值在单位圆中的三角函数线分别都是用同一条线段表示的.
师：如何从角x得到角x+2π？
：将角x的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转1周.
师：如果将角的终边绕坐标原点按逆时针方向继续旋转1周，2周，更多周，又会得到哪些角？它们的正弦函数值和余弦函数值有何关系？
：得到角x+4π，x+6π，…，sin（x+2π）=sin（x+4π）=…=sinx，cos（x+2π）=cos（x+4π）=cos（x+6π）=…=cosx.
师：你依据什么说这些等式是成立的？
：因为这些角的终边都相同，它们的正弦函数值和余弦函数值分别都是同一条三角函数线.
师：如果将角x的终边绕坐标原点按顺时针方向旋转1周，2周，更多周，你能得到什么结论？
：sin（x-2π）=sin（x-4π）=…=sinx，cos（x-2π）=cos（x-4π）=…=cosx.
师：从你所得出的等式来看，能发现什么样的规律？
：自变量x每增加一定的值，函数值就重复出现.
师：你所说的“一定的值”可以是多少？
：这里的一定值可以是2π，4π，…，也可以是-2π，-4π….
师：三角函数中这种函数值重复出现的现象类似于自然界中的“周而复始”现象.三角函数所具有的这种性质称为三角函数的周期性.
【评析】让角的终边绕坐标原点按逆时针、顺时针方向分别旋转1周，2周，…，得到相应的数学表达式，从数和形两个方面让学生体会“x每增加一定值，函数值重复出现”中的“一定值”和“函数值重复”的含义，以加深对三角函数周期的本质理解，同时也为下面抽象周期函数的定义做必要的铺垫.这样设计，体现了“一定值”从正数向实数过渡的自然.
师：上面我们对正弦函数和余弦函数所具有的周期性进行了探究，除了这两种函数之外，可能还会有其他函数也具有类似的性质，为了给这一类函数下一个定义，请思考：如果将sin（x+2π）=sinx，sin（x+4π）=sinx，…，sin（x-2π）=sinx，…，cos（x+2π）=cosx，cos（x+4π）=cosx，…，cos（x-2π）=cosx…中的sin和cos抽象成一般的函数，可用什么符号表示？上述等式又如何表示？
：用f表示一般函数，上述等式可表示为f（x+2π）=f（x），f（x+4π）=f（x），…f（x-2π）=f（x）….
师：对于sinx和cosx，是x每增加2π，4π，…，-2π，…，函数值重复出现，如果把数2π，4π，…，-2π，…进行抽象，你会怎样表示？这组式子又可以怎样表示？
：把2π，4π，…，-2π，…抽象成h，2h，…，-2h，…，这组式可表示为f（x+h）=f（x）=f（x+2h）=f（x），…，f（x-h）=f（x），….
师：这里的h，2h，…，-h，…都是非零常数，若我们把这些非零常数再抽象，你会用什么字母表示？你又能写出什么样的等式？
：把这些非零常数抽象成T，这组等式可写成f（x+T）=f（x）.
师：从一组等式sin（x±2π）=sinx，…，cos（x±2π）=cosx，…，到f（x+T）=f（x），我们是在将问题进行概括、抽象，它的价值就如同用字母表示数一样，使问题更具有一般性.谁能把这个式子的意义说出来？
师生共同讨论得出函数周期的定义：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，这个非零常数T就叫做这个函数的周期.
【评析】概念抽象需要丰富典型的实例，让学生通过实例逐级、逐段地进行概括抽象，可以感悟概念形成过程，对概念的属性有深刻的理解.把sin和cos抽象成f，把2π，4π，…，-2π，…，抽象成h，2h，…，-h，…，再抽象成T，得到周期函数的定义，进而使周期函数不仅具有高度的抽象性，而且更具有应用的广泛性.这样的概括过程，不仅体现了学生形成周期函数的心路历程，而且也反映了概念形成的心智过程.这一环节，体现了函数从具体到一般，周期从实数向字母抽象的自然.
三、概念的理解，凸显关键字词
数学概念的表述，字词使用精炼、确当，历经千锤百炼，凝聚着数学家的智慧.因此，概念教学除了斟酌字句含义外，还需用实例帮助学生理解.
师：“因为sin（2x+2π）=sin2x，所以2π是对x的改变量”，这句话对吗？为什么？
：不对，因为对2x而言，每增加2π，sin2x的值就重复出现，而2x每增加2π，就等同于x增加π，所以π是对x的改变量.
师：“因为sin（x+0）=sinx，所以0是y=sinx的周期”，这句话对吗？为什么？
：不对，因为周期函数定义中的T指的是非零常数.
师：好！同学们对周期函数的本质认识深刻.非零常数T实际上就是使函数值重复出现的自变量x的增加值.如果T是f（x）的周期，那么除T之外还有其他周期吗？
：由周期的定义可知，若T为f（x）的周期，对任意x，部有f（x+T）=f（x），以x+T代替x，有f（x+2T）=f（x+T），再以x+2T代替x，又有f（x+3T）=f（x+2T），如此继续下去，则有f（x）=f（x+T）=f（x+2T）=…，所以kT（k∈Z且k≠0）也是f（x）的周期.
师：对！在新知识学习阶段解决问题时回归定义是一个好办法.对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期.能说出正弦函数和余弦函数的最小正周期吗？
：sinx和cosx的最小正周期为2π.
师：是不是任何周期函数都有最小正周期？（这个问题提出后，学生沉思，思维受到了挑战.思考并讨论.）
：不是.如常函数f（x）=2没有最小正周期.因为x增加任意一个正值k，都有f（x+k）=2，这里的k不存在最小正值.
【评析】抓住定义中的关键字词设计反例，目的是让学生体会使用这些字词的必要性，加深对周期函数概念的理解，使概念理解过程成为学生主动思辨的过程.教师提出反例，让学生设计反例，是概念教学的重要环节.从不同角度加深对概念内涵的理解，是概念学习的必然过程.这一环节，体现了学生对概念正面理解和反面理解相结合的自然.
四、概念的应用，回归定义本质
周而复始现象的真正面目是“定期重现”，我们关注的是它的重现时间，周期函数表现为函数值“重复出现”，我们关注的是它的周期.
例1 求函数y=cos2x的周期.
师：求函数的周期在没有新办法之前回归定义.我们已经知道y=cosx的周期为2π，那么y=cosx与y=cos2x的周期是否一样？你能猜出y=cos2x的周期吗？如何证明你的猜想.
：不一样.y=cosx的周期为2π，y=cos2x的周期为π.令2x=u，由定义cos2（x+T）=cos（2x+2T）=cos2x，对任意x都成立，即cos（u+2T）=cosu对任意u都成立.由y=cosu的周期是2π得2T=2π，T=π，所以y=cos2x的周期为π.
师：这是用了什么思想？采用了什么方法？
：这里采用了化归思想、整体思想，应用了换元法、比较法.
师：回归定义是数学解题策略之一，通过换元将复合函数问题化归为形如函数y=cosx周期的求法，通过比较求出函数y=cos2x的周期，思路正确，方法灵活.
例2 求函数y=Asin（ωx+φ），x∈R（A、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期.
师：读了这道题，有什么想法？
（学生讨论.）
：这是u=ωx+φ与y=Asinu构成的复合函数，其解法与上道题解法相仿.令u=ωx+φ，则y=Asin[ω（x+T）+φ]=Asin[（ωx+φ）+ωT]=Asin（ωx+φ）对任意x都成立，即Asin（u+ωT）=Asinu对任意u都成立，由y=Asinu的周期为2π得ωT=2π，T=
，故y=Asin（ωx+φ）的周期为.
师：①从函数y=Asin（ωx+φ）的周期的求法中，你发现了什么？②你能猜出y=Acos（ωx+φ），x∈R（A、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期吗？会证明吗？
：周期T是对自变量x而言，是自变量x的改变量，而不是ωx的改变量；正弦函数的周期与“ω”有关，与“A、φ”无关；余弦函数的周期为，具体证法与正弦函数周期的证法相仿.
师：若条件ω＞0改为ω≠0，正弦函数和余弦函数的周期是多少，为什么？
：此时的周期均为
，因为周期是指最小正周期.
例3 已知y=f（x）的周期为2，f（x）在区间[-1，1]上的解析式为f（x）=-
+1，求f（x）在[3，5]上的解析式.
师：f（x）的值在哪些区间上会重复出现？
：因为区间[-1，1]的长度为2，函数y=f（x）的周期为2，所以函数y=f（x）的值在区间[1，3]，[3，5]，…，[-3，-1]，[-5，-3]，…上会重复出现.
师：说得很好.根据周期的性质通过平移求函数解析式是一种有效的方法，希望同学们能理解掌握.
（学生练习，具体过程略.）
【评析】应用概念解决问题有助于学生对概念的理解和巩固，围绕根据周期函数求周期，利用函数周期求函数的解析式进行练习，既有助于学生理解、掌握概念，又拓宽了概念的应用空间，概念的应用须依靠变式，变式有助于创新，不断创新才是催生学生学习兴趣的原动力.这一环节体现了周期概念从顺用到逆用的自然.
五、反思过程，感悟教学真谛
1.让学生感觉概念引入，起点自然
概念不是凭空产生的想象物，数学基础性的概念一般都具有丰富的现实原型，这些现实原型需要用数学概念来描述与刻画.而准确形象的刻画，不仅是数学本身的需要，也是学生学习数学的心理需求.在概念引入的教学中，学生的心理需求越迫切，概念引入的效果就越好.在本案例中，用自然现象和数学实例作为“周期”的意象表征，让学生感受用数学术语刻画这些现象的必要性，这样的探究显得朴素自然.把生活中的周而复始现象与学生知识储存中的角每增加2π（或减少2π）时，角的终边相同，三角函数值重复出现有机联系起来，使得三角函数周期性的研究既有形的直观（边的重合），又有数的定量刻画（值的相等），为探究周期概念的形成获取了逻辑起点.这样的引入过程，体现了生活现象与数学知识结合的自然，获取的是学生心理逻辑的自然，为学生的学习创设了欲知不得、欲罢不忍的学习情境，激发了学生的探究积极性.
2.让学生感知概念形成，过程自然
概括是数学概念形成的重要过程.在这个过程中，要从现有材料中概括出本质特征，并把本质特征用精当的数学语言加以描述，教学设计应为学生的概括做好铺垫.如从sin（x+2π）=sinx，sin（x+4π）=sinx…到f（x+2π）=f（x），f（x+4π）=f（x）…再到f（x+h）=f（x），f（x+2h）=f（x）…为把具有这类特征的事物概括进去，最后到f（x+T）=f（x），形成一个逐级逐步概括、抽象的过程.在这个过程中由于教者为学生精心设计台阶，搭建思维的脚手架，使得学生参与概括成为可能.当然，学生的概括或许不到位、不精确.此时，师生可以一起讨论，共同修正，逐步完善.在概括过程中，教师不能急于求成，更不能成为学生的代劳者，要倾听学生的心声.教师的引导不要过于直白，要留一点机会给学生，以求概括过程的真实自然.这样的形成过程，体现了认知逻辑的顺序自然.在这个过程中，学生获取的是逐级逐段概括的机会，实实在在经历着三角函数周期概念的形成过程，感受着“上坡不见坡”的心理愉悦，提升了概括水平和归纳能力.
3.让学生感受概念理解，真切自然
概念表述的严谨是数学学科特点之一.严谨的表述需要用精当的语言，这又会给概念的理解带来困难.让学生正确理解概念，既需要正例的巩固，也需要反例的净化.学习心理研究表明：“概念的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息.”在概念理解过程中运用恰当的正例，如：利用周期函数的概念求周期（前文中的例1、例2），利用周期求函数（前文中的例3），可以让学生剔除概念的非本质属性，把握其本质属性，概括形成概念；同时，通过反例可以让学生换一个角度剔除概念的非本质属性，不仅可以弥补正例教学的不足，而且可以提升学生的思辨能力，从而获取对数学概念的本质理解.比如在得出周期函数的概念后提出“因为当x=
π时，sin（x+
π）=sinx，所以π是函数y=sinx的周期”和“因为sin（x+0）=sinx，所以0是y=sinx的周期”等，让学生在辨别、判断的过程中加深对周期函数本质理解的同时，防止因理解偏差而误入陷阱.这样的理解过程，体现了逻辑判断的自然.其作用在于让学生认识到：判断一个命题正确，必须有足够的依据；否定一个命题，只需一个反例，善于找反例，才不会上当.
4.让学生感悟概念学习，朴素自然
朴素的才是自然的，真实的才是永恒的.满足学生心理需求和符合学生认知规律与思想水平的教学，才是合情合理的，有生命力的.设计这样的教学过程，才是真情的数学活动过程.心理学研究表明：知识不是老师教会的，而是学生通过接受老师传递的信息自己领悟的.由此可见，教会学生学习比单纯传授知识更重要.因此，在概念教学的设计过程中要把实验与观察，类比与比较，分析与综合，具体与抽象，一般与特殊，猜想与辨析等思维活动真切地还给学生，让学生体验概念学习就是把一些特定的数学对象通过去粗取精、去伪存真的思维加工，从“朴素直观”到“精致抽象”的过程.让学生感悟到概念学习的理解过程自然，方法成于自然，应用回归自然，思路来得自然.只有这样，概念教学活动的过程才会因学生的主动参与和勇于探索而显得真实自然.