数学发展中的对称破缺及其作用，本文主要内容关键词为：对称论文,作用论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N09 文献标识码：A 文章编号：1674-7062(2009)06-0077-07
对称是自然界最普遍的现象。自然中生物、植物、建筑、人体等均呈现各种对称性，从远古时的工艺图案、实用饰品、文字形象中的对称，到现代的物体结构、语言形式、公式图形以及抽象的结构、概念、方法等的对称，可谓对称无处不在。所谓对称，直观表现即图形部分重叠或规则变化；进一步解释即图形在适当变化位置后产生重叠。用数学语言描述便是，对象在某种变换下的不变性。例如平面上的圆，可通过变换验证其各种对称性。对称表现了简单、和谐、匀称，带给人美的享受。无论是自然科学还是社会科学，都对对称性表现出极大兴趣，对称性几乎是所有学科关注或研究的对象之一。
不具备上述直观的重叠现象、规则变化，或在变换下不能保持某些不变属性，则称它是非对称的。如果对象原来具有对称性质，但在其自身运动变化或外部人为干扰过程中，不再具备原有的不变特征，即其对称性在变化或干扰下遭到破坏，我们称此为“对称破缺”。因此，对称破缺是一种具有因果关系的现象描述，不仅表示从“对称”到“非对称”的变化状态，也表示这种变化状态下的变化结果。
本文在简要论述对称概念从自然界进入数学再到自然科学，并对物理科学发展产生重要作用的基础上，主要分析数学发展中的对称破缺现象，并指出它对数学发展的作用。
一 对称破缺是自然的普遍属性
数学从它诞生起就将对称作为其研究的对象，圆、正方形、矩形、正多边形等几何图形均为古代数学就开始研究的对称图形，代数中数字的表示、运算的交换率、变量的代换等等都体现一定的对称性。这种对称性经过几千年的研究、发展，逐步被抽象、提升到理论的高度，并给予严格的数学描述，至19世纪以“群”的形式呈现给人们。
“群”这一抽象的数学概念一经诞生，就给对称性的描述带来了强有力的工具，即刻在化学、物理等自然科学中产生影响，化学中晶体、空间点的分类，物理学中基本粒子的确定都充分发挥了“群”的作用。时空对称是经典物理学中最基本、最主要的对称，以此为支托的相对性原理，便是经典物理理论的逻辑支点。物理学家狄拉克(M.Dirac,1902-1984，英国)1929年关于反物质的预言提供了对称性如何指导物理学家探索自然奥秘的一个著名例子，他确信所有物理学都应是相对论性不变的，狄拉克通过修改薛定谔方程使之具有洛伦兹不变性，惊异地发现其解比原有的薛定谔方程多一倍，最终推测这些多出来的解是描述另一个与电子性质相反的粒子的，这就是我们现在称之为正电子的反电子，其后的实验(1932年卡尔·安德森的实验)确证狄拉克关于反物质的预测是正确的[1]。现代粒子物理学更是依赖于对称性，“人们在对称性关系的研究中寻求前进的途径”(物理学家玻尔语)。对称性可以通过几何变换揭示，物理学中许多守恒定律都对应于某种几何变换下的不变性，这是物理学领域中普遍存在的规律。20世纪初，德国著名女数学家、尊称为“代数学之母”的诺特(E·Noether,1882-1938)，揭示了守恒律和对称性之间的依存关系。
诺特定理：如果一个体系的作用量存在某种对称性，即在某种变换下作用量具有不变性，则该体系必定存在一条相应的守恒律。
简言之，任一变换下的不变性必对应一个守恒律。表1给出了基本的守恒定律与几何对称变换间的对应关系。诺特定理实际上是在抽象数学理论中的对称性与自然物理学科中的对称性之间建立了一种对应关系，这与杨振宁在创立规范场理论后所建立的规范场理论与纤维丛理论间的对应关系[2]一样，显示了物理学与数学的高度吻合，令物理学家和数学家均感到惊奇无比。
李政道(1926-)、杨振宁(1922-)于1956年春夏提出、吴健雄(1912-1997)1957年通过“旋转的极化钴原子核β衰变”实验证实，弱相互作用下宇称(P)不守恒以及CPT定理，可谓是对称性研究之杰作(C为电荷共轭变换，乃指将系统所有粒子都变成其反粒子的变换，P和T分别是空间反射变换和时间反演变换。这三种变换是描述粒子系统运动状态时起举足轻重作用的对称变换，杨振宁曾用一幅黑白对称图形来比喻CP变换和CPT变换[3])。物理学家不仅很好地应用对称概念于物理研究，并创造了对称破缺概念，它是1960年前后由美籍日本物理学家南部(Yoichiro Nambu，1921-)等从固体物理学引入粒子物理学。利用对称与对称破缺于粒子物理研究，有效地发现了许多新粒子与不守恒性。到目前为止，除了CPT联合不变性未发现破缺外，几乎所有守恒律在一定条件下均会发生对称破缺，这使人们看到，不仅对称是自然界的普遍现象，对称破缺也是宇宙的普遍规律。对称是相对的，破缺是绝对的，两者相辅相成，互为依赖。
对称性通常是一个很直观的概念，可通过直观的位置相对、度量相同、旋转不变等方式来描述。确切的可通过数学描述来定义，数学中将对称性描述为对象在某种变换下的不变性。李政道则从物理实在角度将对称性定义为“基于某些基本量不可观测的假设……，一旦一个不可观测量变为可观测，对称性就破缺了”[4]。两者本质其实是一致的。对称破缺意味着原有平衡态的结束，为寻求新的平衡状态，必须在更广范围内进行考察，发现新的对称。
数学与物理学是两个密不可分的学科，物理学是数学发展的重要动力源和最为接近自然的实验室，数学则为物理学提供必要的表现形式与美学追求方向。然而，对自然中对称性研究作出重大贡献的数学家，在数学自身研究中应用对称破缺思想似乎没有像在物理、化学中的应用那样引起重大热潮，我们对此作一初步探索。
二 数学发展中的对称破缺现象
对称性在数学和物理研究中历来都作为一个基本准则被应用。近代物理对对称性的广泛应用始于群，很多近现代物理学内容都是在追求对称性目标下获得，如麦克斯韦电磁场理论、爱因斯坦引力场方程、狄拉克相对论性电子波动方程等都将对称性特征表现得淋漓尽致。更为惊奇的是，物理学家还发现了对称破缺现象，并实际用于物理研究，产生了意想不到的成果，导致一系列不守恒现象的发现。近代物理在对称——对称破缺——对称——对称破缺……的往复中发展前进。最近大半个世纪以来，在自觉应用对称破缺思想中，现代物理学有了新的飞跃，并在哲学认识上发展了对称与对称破缺思想。
数学是在研究现实世界空间形式和数量关系中发展而来的，现实世界的普遍属性——对称，自然也是数学关注的重要内容。德国数学家、物理学家魏尔(Hermann Weyl,1885-1955)在其名著《对称》[5]中回顾了对称性概念的发展历程，指出它如何从普通关于比例和谐等模糊对称概念发展为数学中平移、反射、旋转等几何概念，又从这些概念发展为关于变换下不变性的现代对称概念[6]。数学家追求对称性，似乎是一种天然、自觉的行为，不对称性仅是一种美学的失衡，没有像物理学家那样将对称破缺的追求作为科学研究的一种自觉行为。一个极好的例子就是，由于魏尔过分钟情于对称，以至抛弃了他自己提出的不满足左右对称的二分量中微子理论(1929)，它正是(从对称性上考虑)28年后李政道和杨振宁所获得的宇称不守恒[7]，并以此荣获诺贝尔物理奖的对称破缺。
事实上，数学发展中对称性的破坏，即对称破缺，导致对数学概念、定理、理论、方法的追溯决不是个别例证，只是在对称性目标追求下掩盖了对对称破缺的深入认识与进一步的探索。本节中我们借用对称破缺概念，考察以往数学发展中数学家是如何在对称性目标追求下处理对称破缺，使数学各个部分在和谐的结构体系中互生互存、协调发展。
(一)形式对称破缺
数学概念、定理、结论、公式、图形等外表对称性，可称为形式对称性，是数学家追求的一个目标，不合这样要求的结果通常被认为是不好的，要么被抛弃，要么重新修改使之达到和谐。很多时候，结论在特殊情形下表现出非常完美的形式，一旦推广到一般情形，这种完美就消失殆尽。这就需要重新限定范围或建立合适的框架，使原有的完美性重现。
例如，圆锥曲线(圆、椭圆、双曲线和抛物)在直角坐标系下的标准形是极其完美的，具有明显的各种对称性。但当这种特殊的圆锥曲线表为一般二次曲线后，就产生对称破缺。设一般二次曲线为：
f(x，y)=Ax[2]+By[2]+2Dxy+2Ex+2Fy+C=0，其图像性质无法直接判断，作图也不方便，相对于坐标系来说它已失去通常的对称性。为重显对称，可对它作平移、旋转等变换，化为以坐标原点为中心的标准形。此例是一种相对破缺，图形自身具有对称性，但相对坐标系出现对称破缺，经适当变换可重现对称。大多情形，要重获对称需数学家良好的直觉与高超的技巧。
形式对称比较直观，位置对称、循环对称，时间周期、旋律对称，定理、公式等都能观察与感觉，判断标准清晰，这种例子在数学、物理等学科中俯拾皆是，如几何图形、对称多项式、二项式系数三角形、根与系数关系的韦达定理、复根的成对性、多元函数的雅可比行列式、常微分方程的朗斯基行列式、麦克斯韦电磁方程、波动方程、热传导方程等，表现为图形局部重叠、变量全部出现并呈齐整匀称形式等，一旦不满足这些条件即变为非对称结构，呈对称破缺。
(二)方法对称破缺
除可直观把握的对称外，有些对应关系也可具对称性，包括一些方法、手段、技巧、思想等，我们可将它们称作广义对称。诚如魏尔在《对称》中所说的，“对称性不管你按广义还是狭义来定义，其含义总有一种多少时代以来人们试图用以领悟和创造秩序、美和完善性的观念”，这种观念上的对称指导我们寻求和谐、简单、实用、美妙的新思想或方法。过于偏颇于某些特殊方法，引起思维定式，不利于数学发现，形成思维或方法对称破缺。
古希腊几何在欧几里得的贡献下成为一个数学体系，《几何原本》的演绎方法成了处理数学的典范方法。中世纪前，几何是重要而热门的数学分支，许多古代大数学家都著有非常重要的几何著作。算术与代数尽管也有悠久的历史，但总体发展较几何迟缓，其基础的建立还是近代的事，严格性在当时与几何相去甚远。
几何学的顺行使问题处理偏于几何方法，“数形结合”更多是以形代数。数与形本身是一种地位对等的现实世界数量关系与空间形式的抽象。因此，数、形方法在经典数学中历来都是一种“对称”的方法论思想，上述这种偏颇可以认为是数形方法的一种对称破缺。笛卡儿(R.Descartes,1596-1650，法国)对此深感不安，他认为，演绎方法“与其说是用来探索未知的东西，不如说是用来交流已知的东西”，但他也从几何证明中吸取营养，认为由成串简单易懂的推理可以想到，“所有人们能够知道的东西，都是相互有联系的”[8]，主张将代数与几何中最好的东西取长补短，相互结合。在他这种伟大方法论思想指引下，作为处理几何问题的普遍方法——解析几何终于问世，从而导致微积分的发明，使数学进入近代快速发展期。这种思想、方法上破缺的矫正需要丰富创造力，对问题需有宏观与深刻的理解。
作为数学学科或方法发展不平衡的对称破缺，是数学家寻求创新与发展的重要启示。欧氏几何的演绎方法，不仅是数学知识整理的一种标准手段，也是确认数学结论正确性的通行方法，它逐步发展为现代严格的公理化方法，对数学发展起了极大推动作用。数学给人的印象似乎是演绎证明的堆砌。但从宏观数学发展看，演绎数学并非数学的全部，单一的逻辑演绎就形成非对称的数学认识模式，从而产生对称破缺，近代笛卡儿的解析几何、现代吴文俊的机械化数学等都是在此破缺基础上发展起来的。
(三)概念对称破缺
数学研究一切对象的关系模式。为了具有普适性，往往将具体对象抽象化。如希尔伯特对几何公理化时指出，抽象点既可表示雨点、水滴、地点等，也可表示茶杯、桌子等任何事物。研究抽象对象获得的抽象关系模式同样也具有广泛的普适性，这种高度抽象与广泛应用不仅给思维与理解带来准确性，也提供了更广阔的遐想空间，有助于思维的深入发展。
如果将许多对象共性特征抽取作为抽象化基础，那么不同对象间所具有的共性就是这两类对象间的某种不变性质，这就呈现了某种对称或局部对称性。数学对象间的这种对称性往往不易被人发现，因为有时抽象是从表面看来完全不同的两类或更多类对象中获得的，它掩盖了蕴涵着的某些对称性，这时也可认为对象间呈现出某种概念对称破缺。
射影几何中，彭色列(V.Poncelet,1788-1867，法国)利用中心投影(蒙日利用平行投影)研究图形在透射，即图形的透视或连续多次透视变换下的不变性质，发展了对合与调和点列理论(而不是交比概念)，并强调“连续性原理”的重要性，利用它将实图形引申到虚图形。以圆的交弦定理为例，“虚”的意思即：相交弦的交点从圆内移到圆外(弦的延长线上的点)时原有定理仍然成立。当两圆相交时，公共弦上的点满足交弦性质，两圆相离时，公共弦成为虚的，但定理仍然成立，不过这时原来的交弦点或公共弦延长线上的点就变为两圆根轴上的点。虚元素观念给建立对偶原理提供了合理基础，但却使普通实元素系统产生对称破缺。
普适法则的追求及“对偶原理”的需要使数学家第一次将无穷远点、直线、平面作为普通的点、直线与平面对待，为无穷元素争得了一席平等之地，也为点、线或点、面间的破缺关系重获对称搭建了一座桥梁，“这些理想的无穷远元素给我们带来了好处，它们使结合定律系统变得尽可能简单明了。由于点和线之间的对称性，从此就如所共知的那样，产生了几何学富有成效的对偶原理”[9]。
19世纪射影几何复兴使人们有机会重新审视几何学地位，发现其逻辑上比欧氏几何更基本，欧氏几何继非欧几何后再次降格为别人的侍从。无穷元素的处理，使没有直观形象的虚元素“无穷”成为与实对象一样的普通元素；对偶原理则在平面点与线、空间点与面间构建了一种对称结构。普吕克把笛卡儿点坐标(x，y)改为齐次点坐标(x[，1]，x[，2]，x[，3])后，获得漂亮的“线坐标”概念，使对偶原理有了明确的代数表述和严格证明，并使“无穷”元素从形式上完全平民化，(x[，1]，x[，2]，x[，3])不仅表示普通实点、实线，也可表示无穷那样的虚点、虚线，使其与普通点、线一样，具有共同的表示与处理方式，更清楚地揭示了无穷元素与普通元素、平面点与直线间的对称关系。普吕克的齐次坐标使点线面中的概念对称破缺真正获得了对称重建。
无穷元素的对称化处理，是古代无穷感性认识的具体化，也是分析算术化对无穷辩证理解与处理的继续，康托尔(L.Cantor,1845-1918，德国)将普通自然数与超穷数对称化后创立“超穷集合论”，鲁宾逊(A.Robinson,1918-1974，德国)将“无穷小量”与普通实数对称化后导致非标准分析诞生，几何中“无穷元素”理想化处理与数论中库默尔的“理想数”引入是理想元素方法最富成效的例子[10]。
(四)理论对称破缺
具体的定理、性质、图形等直观形式的对称破缺，与抽象的概念、方法、思想等内在关系的广义对称破缺都对数学发展具有推动作用。学科理论在分类、属性、处理方法等方面也会产生对称破缺，这种破缺将引起新分支的建立与发展。
欧氏几何第五公设问题研究导致了非欧几何的发现，这将原有完美、对称的欧氏几何系统打开一个缺口，发现其外还有一个没有矛盾、一时又找不到现实对应的罗巴契夫斯基(N.Lobatchevsky,1792-1856，俄国人)几何。罗氏几何的发现并没有就此中止非欧几何的发展，由此产生了众多各异的非欧几何，进一步的发展首先来自理论对称破缺的启发。
在欧氏几何到非欧几何发展的漫长路途中，萨凯里(G.Saccheri,1667-1733，意大利)的思想具有里程碑作用，他将直线外一点处的平行线作了如下分类：过这点(a)恰好有一条直线与之平行；(b)没有直线与之平行；(c)至少有两条直线与之平行。他希望用(b)、(c)代替第五公设后能推出矛盾，从而肯定只有(a)成立。他确实从(b)与其他公理出发导出了矛盾，对(c)虽然没有导出矛盾，但他不敢面对由此得到的稀奇古怪的结论，最后还是不了了之，以《欧几里德无懈可击》作为他对欧氏几何最终的忠实辩护。19世纪以前的许多数学家都与萨凯里一样，不敢轻易否定根深蒂固的欧氏几何。历史发展表明，萨凯里对平行线的上述分类是完全、和谐的。罗氏几何只解决了萨凯里分类中的一种情形，就分类的完整性而言是不完美的，呈现一种对称性破缺，这种破缺究竟是无法弥补的缺陷还是蕴涵丰富宝藏的金山一角，这不能不引起数学家的兴趣。
黎曼为获得哥廷根大学教师资格，1854年就高斯指定的几何基础问题作了一次公开演讲，并于1868年以《关于几何基础的假设》为题正式发表，导致另一门非欧几何——黎曼几何的发现。它不仅对罗氏非欧几何作了极好的补充，且进一步发展了高斯的内蕴几何学，给出了全新的黎曼流形、流形曲率等概念，将物理空间看成是一种特殊的流形，并严格区分了无界与无限。黎曼几何创立不久，贝尔特拉米(E.Beltrami,1835-1900，意大利)(1869)便找到了其欧氏几何模型，将黎曼几何看成欧氏几何中球面上的二重椭圆几何，事实表明这是物理世界更好的描述。而且，黎曼几何恰好是前面提到的萨凯里对平行线所作分类，即过直线外一点没有直线与已知直线平行的完整补充，萨凯里与罗氏都由此推出矛盾，使几何体系产生对称破缺，黎曼却在改变直线的无限延伸性后使之重新恢复和谐，达到新的对称[11]。这样，就萨凯里对直线外一点所作平行线分类而言，获得了圆满的解释。黎曼几何的发现，从整体上表明，三角形内角和大于、等于、小于π的三种几何是一个和谐、完整的整体。罗巴契夫斯基几何与黎曼几何以极其完美的形式证实了几何分类的和谐性(需对两点决定一直线另作理解)。
理论对称破缺对数学发现具有重大意义。几何空间概念打破后，代数的千年禁锢也随之解体，形成破缺之势。哈密尔顿(R.Hamilton,1805-1865，英国)的四元数几乎与非欧几何同时发现，冲破了交换律的束缚，成为代数学解放的先导，与几何学双双获得理论发展的突破，成为现代数学发展的重要里程碑，随后发现的一系列新代数使破缺后的代数体系在新的层次与更广范围内达到“对称”。
三 数学发展中对称破缺的作用
对称、非对称均为宇宙的普遍现象，对称破缺现象的普遍存在，特别是它对物理学发展的巨大推动作用，使“破缺”成为上世纪下半叶以来自然科学研究的一个重要课题，并引起科学哲学范畴内的大量讨论，如文献[12-16]等。
对称与非对称在一定条件下可以转换。原有对象的对称性在一定条件干扰下丧失，即呈对称“破缺”，破缺描述了这种转化过程；若对称破缺后，对象在新的条件、层次上重获新的对称，我们可称其为“对称重建”。上图表示对称、非对称及破缺与重建间的基本关系。一般的非对称不能称之为对称破缺，这从对称破缺的物理学来源即可知，具体可参见物理学中对称破缺的大量论述，许多文献如文[12]都称非对称即对称破缺，我们认为欠妥。尽管魏尔提出“不对称很少仅仅是由于对称性的不存在”[5]11，但并没有确切依据表明对称与不对称间具有必然的对应关系。从而，不对称也未必是从对称“破缺”而来。从动态发展观点看，对称、非对称只是一对相对稳定、阶段静止或局部平衡的基本状态，“破缺”与“重建”反映了这两种基本状态间的动态变化过程，热力学第二定律告诉我们，“重建”一般不是原有“破缺”的恢复，它是不可逆的变化过程，重建后的对称往往处于另一环境或更高层次中。若原有对称在破缺之后通过重建获得新的对称，对称性程度在反复的破缺、重建后逐步提高，系统就形成一种“螺旋渐进”式的进化或发展。
我们已经看到，数学发展的各阶段均存在对称破缺现象，这种破缺或是由于新概念、新理论、新方法的建立，或是由于某一学科深入发展导致不平衡，或是由于数学认识和思维的不完善而产生。对称性作为美学的一个基本原则是数学外在表现目标之一，对称破缺使原有的和谐成为逻辑上的不协调，这种不协调导致新的“对称”目标的追求。因此可以说，对称破缺是数学发展的内在动力之一，它与对称性原则一样对数学发展具有积极作用。
(一)对称破缺是数学问题产生的源泉
数学发展的基本动力来自两个方面，科学实践和数学自身，前者为数学发展的外部动力，后者为数学发展的内部动力。两者均会对数学提出大量问题，数学问题是这两种动力在数学中的表现形式，表达了数学需要达到的基本目标。“问题是数学的心脏”[17]，问题缺乏意味着数学发展的中止或死亡。
科学实践为解决实际问题，可提出某些具体要求作为问题产生的信息来源，数学自身问题从何而来这是数学研究需要考虑的一个基本问题。出于美学原则，数学研究获得的结论往往希望具有某种简单性，对称就是其中的一个基本要求，为达到这个目标就会产生如何实现的问题。因此，对称性要求本身就产生数学问题。当对称破缺发生时，原有的美学和谐遭到破坏，形成直观的不匀称和逻辑的不协调，此时为了重返对称，就会考虑重获对称的各种目标和手段，从而产生有利于达到既定目标的各种数学问题。用信息论观点来考察，对称破缺具有比对称更多的信息量，对称破缺是信息之源[18]，形象不对称、结构不合理、如何完成对称重建、重建目标向何方发展等都是产生问题的信息源，破缺即是问题。
实际上，我们大多处于非对称、非平衡、非稳定、非线性、非均匀的复杂状态之中，对称作为“简单”的一种表现形式是描述系统或对象最方便、简洁的手段，身处如此一个“非”正常的大背景之中，加上历史悠久的对于“对称”的依赖，使人们过分强调“对称性”在科学认识中的地位[15]53。但是，近现代自然科学研究告诉我们，以对称为背景的对称破缺也是自然界的普遍现象，几乎所有守恒律都存在破缺情形。作为自然或宇宙一部分的数学，是否就能离开这一自然规律而使对称性保持永恒？上述数学对称破缺现象告诉我们答案是否定的，数学中有关定理，如哥德尔不完全性定理等都部分地揭示了数学中“对称破缺”现象的存在。无疑，对称破缺是数学问题产生的源泉之一，是数学发展的内部动力之一。
(二)对称破缺是数学螺旋渐进的台阶
自然科学的许多实例，如人类进化过程、相对论的发展等都表明，科学的革命与发展离不开对称破缺。科学的发展过程，是对称性和对称破缺不断交替形成和产生的过程[16]14。这种方式在数学发展中同样显示了清晰的脉络。
例如，数与形这两个概念，在以形表数、以数示形这样的“表示”意义下建立了基本的对应关系，这种对应建立了数与形间一种简单的对称关系，使数形结合成为处理数学问题的一个古老而基本的数学方法。“数形结合”这种对称的方法论思想总是在对称——破缺——新的对称——新的破缺这样的往复中推动着数学的发展，拉格朗日(Lagrange,1736-1713，法国)给予数形结合思想极高评价，“只要代数与几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，应用就狭窄。但当它们结成伴侣时，就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”[8]24。解析几何的出现导致了微积分的发现，使近代数学进入快速发展期，代数与分析几乎统治了整个17、18世纪，古老的综合几何方法被排斥于常规考虑之外，长期的偏颇使数形思想再次出现对称破缺。一方面，因几何在方法上直观优美、逻辑上严密清晰，使人难以忘怀；另一方面，由于解析几何过分强调代数方法，引来一些数学家的攻击，厌烦机械运算过程带来的“坐标磨坊的嘎嘎声”，产生它“到底是不是几何学？”的疑问。破缺引起的结果就是所谓的“射影几何复兴”，这种复兴不仅使几何思想的精髓得以重现，也推动了代数几何、微分几何等新学科的兴起。
又如东西方数学，普遍认为西方演绎数学在近现代数学发展中起了主导作用，事实上东方的算法数学在数学发展中同样具有重要作用。克莱因(M.Kline,1908-1992，美国)对世界数学发展方式的这种“对称破缺”给出了一个较为客观和平衡的看法，认为数学发展具有两种独立的传统：希腊人树立的逻辑演绎数学和印度、阿拉伯人发展的为求实用的数学[19]，但他忽视了中国及其他一些国家的数学对世界数学发展的作用。吴文俊先生基于世界数学发展史及中国古代数学史的深入研究，对数学发展方式不平衡的对称破缺给出了客观而合理的解释，从价值论上指出，以古代中国为代表的东方数学的机械化算法体系和以古希腊为代表的西方数学的公理化演绎体系，在人类数学发展史上交替占据着支配地位。这种价值论思想，不仅肯定了中国古代数学在整个数学史中的地位与作用，更重要的是指导了实际的数学研究的方向，吴先生在这种思想的启发下，独立发展了几何定理机器证明，开创了机械化数学新方向，使东西方数学的作用在新的意义下获得对称重建。李文林先生将东西方数学在数学发展中的这种对称作用作为数学史分期的一种标准，以“算法倾向”与“演绎倾向”交替繁荣作为刻画数学发展的阶段性特征[20]。
代数和几何、东西方数学起伏波浪式的发展进程，在某种意义上表明了对称“破缺”与“重建”的螺旋渐进方式，“破缺”为数学发展提供动力机制，“对称”为数学发展提供目标方向，形成连续的“螺旋渐进”式的进化发展。“破缺”成为数学发展的一个台阶，跨越这个台阶，数学就达到一个新的高度。
(三)对称破缺是对称原理必然的补充
“对称”作为美的一种表现形式，体现了简单、匀称、平衡等符合人类认识基本规律与和谐协调感觉的特征。对称性原理自然也成为人们认识事物的目标准则和方法论原则之一。但是，科学的重大发展往往是出现在对称破缺发生之后，有了破缺才会产生新的问题，才会有新的目标。因此，寻求对称破缺成为系统发展的一种必要手段。
对称破缺是原有平衡态的必要否定，是对称到非对称的中介过渡，但这不是最终目标，而是自发或人为打破平衡，促使系统运动发展的必然途径。
解析几何的发明，一方面改变了欧氏几何一统天下的不平衡状况，使数形发展具有对称的地位；另一方面，又导致分析学的蓬勃发展，解析方法的有效性使数形对称的平衡态再次破缺，引起数学家重新考虑综合几何和解析几何的作用问题。19世纪“射影几何的复兴”不仅使“数形结合”思想重新达到平衡，使文艺复兴时期发展起来的射影几何获得新的发展动力，几何学在遭遇解析几何抛弃两百来年后获得了“报仇”的机会。而且，在追求类似解析几何普适方法的目标下，不对称概念间建立了一种有效的联系，使看似无关的抽象概念间呈现“概念对称”特性，即“对偶”思想。新的破缺与重建后，无论是几何学还是代数学均获得了进一步发展。
从广义角度看，对称、平衡是暂时的，非对称、不平衡是绝对的。对称与破缺是系统发展的两个要素，“对称”检验系统发展的阶段目标及外在表现，“破缺”验证系统发展的可能和能力。因此，对称破缺是对称原理的必然补充，没有破缺就没有发展，没有对称某种意义上就看不到发展。追求“对称”是数学追求完美的一个重要动力，而探索“破缺”是追求新的完美的动力，数学家若能像物理学家那样自觉运用“对称破缺”原理将会更有利于数学发展。
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