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按常理想，无理数既然叫做无理数，肯定都是些很没用的数吧。事实上却恰恰相反——在数学中，那些最有价值的常数往往都是无理数。今天，就让我们走进无理数的大家庭，细数数学中的无理数常数吧。
古希腊的大哲学家毕达哥拉斯很早就注意到了数学与大千世界的联系，对数学的发展有着功不可没的贡献。他还创立了在古希腊影响最深远的学派之一——毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派对数字的认识达到了审美的高度。他们相信，在这个世界中“万物皆数”，所有事物都可以用整数或者整数之比来描述。
第一个无理数
的发现者就是一位毕达哥拉斯学派的学者，他叫希帕索斯。据说，一天希帕索斯向毕达哥拉斯提出了这样的问题：边长为1的正方形，对角线长度能用整数之比来表示吗？毕达哥拉斯自己做了一些思考，证明了这个数确实无法用整数之比来表示。由于这一发现触犯了学派的信条，因此毕达哥拉斯杀害了希帕索斯。学了勾股定理后，大家就会知道，这个数正是无理数。无理数的出现推翻了古希腊数学体系中的一个最基本的假设，直接导致了第一次数学危机，整座数学大厦险些倾覆。
无理数虽说“无理”，在生产生活中的用途却是相当广泛。例如，量一量你手中的杂志的长与宽，你就会发现它们的比值约为1.414。这是因为，通常印刷用的纸张都满足这么一个性质：把两条宽边对折到一起，得到一个新的长方形，则新长方形的长宽之比和原来的一样。因此，如果原来的长宽比为x∶1，新的长宽比就是
，于是
，解方程就能得到
。
圆周率π≈3.141 592 653 589 793 238 5
不管圆有多大，它的周长与直径的比值总是一个固定的数。我们就把这个数叫做圆周率，用希腊字母π来表示。人们很早就认识到了圆周率的存在，对圆周率的研究甚至可以追溯到公元前。人类对圆周率的探索从未停止过，几千年过去了，人类对圆周率的了解越来越多，但却一直被圆周率是否为有理数的问题所困扰。直到1761年，德国数学家兰伯特才证明了π是一个无理数。
π是数学中最基本、最重要、最神奇的常数之一。它常常出现在一些与几何毫无关系的场合中。例如，任意取出两个正整数，则它们互质的概率为
。
自然底数e≈2.718 281 828459 045 235 4
把一个线段分为两段，分割点在什么位置时最为美观？分在中点处，似乎太对称了，不好看；分在三等分点处，似乎又显得有些偏了。人们公认，最完美的分割点应该满足这样一种性质：较长段与较短段的长度比，正好等于整条线段与较长段的长度比较长线段与整条线段的比值就叫做黄金分割，用希腊字母ψ来表示（如图1）。在初三的数学学习中，大家将会了解到黄金分割
。它是一元二次方程
的正实数解。
图1
在美学中，黄金分割有着不可估量的意义。在那些最伟大的美术作品中，每一个细节的构图都充分展示了黄金分割之美（如图2）。在人体中，黄金分割也无处不在——肘关节就是整只手臂的黄金分割点，膝关节就是整条腿的黄金分割点，而肚脐则位于整个人体长度的黄金分割点处。
图2
在数学中，黄金分割ψ也显示出了无穷魅力。例如，在正五角星中，同一条线上的三个点A、B、C就满足BC∶AB=ψ（如图3）。再比如，在斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21，…中（这个数列自第3项起每一项等于前两项之和），相邻两数之比将会越来越接近于ψ。
康威常数λ≈1.303 577 269 034 296 391 3
你能找出下面这个数列的规律吗？
图3
1,11,21,1 211,111 221,312 211.13 112 221,1113 213 211,…。
这个数列的规律简单而又有趣。数列中的第一个数是1。从第二个数开始，每个数都是对前一个数的描述：第二个数11就表示它的前一个数是“1个1”，第三个数21就表示它的前一个数是“2个1”，第四个数1211就表示它的前一个数是“1个2，1个1”……这个有趣的数列就叫做“外观数列”。
外观数列有很多有趣的性质。例如，数列中的数虽然会越来越长，但数字“4”永远不会出现。1987年，英国数学家约翰·康威发现，在这个数列中，相邻两数的长度之比越来越接近于一个固定的数。最终，数列的长度增长率将稳定在某个约为1.303 577的常数上。约翰·康威把这个常数命名为康威常数，并用希腊字母A表示。约翰·康威证明了A是一个无理数，它是某个71次方程的唯一实数解。
钱珀瑙恩常数
把全体正整数从小到大依次写成一排，并在最前面加上一个小数点，便得到了一个无限小数0.123 456 789 101 112 131 4…。这个数是由英国统计学家钱珀瑙恩于1933年构造出来的。他把它命名为钱珀瑙恩常数，用符号
表示。与其他的数学常数相比，钱珀瑙恩常数有一个很大的不同：这个数仅仅是为了论证一些数学问题而人为定义出来的，它并未描述任何一个数学对象。
钱珀瑙恩常数有很多难能可贵的性质。首先，容易看出它是一个无限不循环小数。因此它也就是一个无理数。其次，它还是一个“超越数”，意即它不是任何一个整系数多项式方程
。它还是一个“正规数”，意即每一种数字或者数字组合在它里面出现的机会都是均等的。在众多数学领域中，钱珀瑙恩常数都表现出了一些非凡的意义。