用活教材例习题，培养学生创新精神，本文主要内容关键词为：培养学生论文,习题论文,创新精神论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中共中央、国务院《关于深化教育改革，全面推进素质教育的决定》明确提出，要“以培养学生创新精神和实践能力为重点”实施素质教育。实施素质教育的主阵地在课堂，同样，培养学生的创新精神也应抓住这一主阵地。在数学教学中，对学生各种能力的培养，很大程度上是通过例题、习题的讲解和练习来体现并完成的。因此充分利用这些例（习）题，用活这些例（习）题，深入挖掘它们的潜在教学功能，让学生在获得数学知识成果的同时，发展思维能力，培养创新精神，这是我们数学教师的重要职责。本文结合解析几何的例（习）题教学，谈谈自己在数学教学中培养学生创新精神的体会。
1 克服思维的封闭状态，培养创新精神
要培养学生的创新精神，必须克服思维的封闭状态和对所学知识的僵化理解。在教学中，教师应尽力创设充满求知欲望的教学情境，提出富于启发性的问题，善于捕捉学生创造性思维的兴奋点，鼓励学生去探索、去发现。
例如，在椭圆概念的教学中，教材是这样安排的：第72页给出了椭圆的定义（称它为定义Ⅰ），第78页例3 给出了椭圆的另一定义（称它为定义Ⅱ）。教学时，如果仅仅满足于照本宣科，分别完成两个定义的讲解和推导，长此以往，就会形成教学“封闭”，难以发展学生的思维能力。此刻应抓住机遇，提出问题：两个同为椭圆定义，它们之间是否有内在联系？若有，你能找出其内在联系吗？结论是肯定的，但课本上没作解释，这必然会激发起学生探索其中奥秘的欲望。
此时，教师注意点拨，让学生比较课本中椭圆方程的两种推导过程，发现定义Ⅰ所得方
反之，由定义Ⅱ同样也可推导出定义Ⅰ，由此可知，两个定义虽然形式不同，其实是等价的，它们之间的联系在于（*）式， 既可转化为到两定点的距离之和为定值的形式，又可转化为到定点与定直线的距离比为定值的形式，所得的轨迹是相同的。
又例如，同样讲解完第90页例4双曲线的定义Ⅱ后， 为了让学生深入领会定义，给出一道题：动点M到定点F（3，0 ）的距离和到定直线x＝3的距离的比等于2，点M的轨迹是什么？并求出其方程。
一般学生根据教材结论，会回答是双曲线。可在求其轨迹方程时，却产生了两种不同的结果。
其一，大部分学生应用求轨迹方程的方法，设动点M（x，y）， 由题意得
它表示两条相交直线（除交点）。
其二，另有一部分学生，套用双曲线定义
此时，教师不应急于下结论，而应让学生充分讨论，自己去判断正误，找出错误的原因，必要时可适当点拨学生注意数形结合。提醒学生所求得的a、c，当x＝a[2]/c时与准线方程x＝3符不符合？从而使学生认识到第二种结果是错误的。
那么产生错误的原因在哪里？：难道定义Ⅱ的轨迹不一定是双曲线？再引导学生深入理解教材例4，发现例4中的“定点F（c，0 ）”与“定直线ι：x＝a[2]/c”由于c＞a＞0，“定点F”不在“定直线ι”上，而所给题目的“定义F（3，0）”在“定直线x＝3”上， 原因在于题目所给条件，不符合定义Ⅱ所给条件。
通过上述两个问题的情境创设，促使学生去研究和发现书本上没有的或隐含的内容，激发学生的学习兴趣，克服思维的封闭状态和对知识的僵化理解，这是培养学生创新精神的前提。
2 深化概念教学，培养创新精神
阻碍创新精神发挥的另一障碍是思维的惰性，对问题的理解满足于一知半解，停留在知识的表面。因此教师在讲解教材的例（习）题时，一定要发挥这些题的潜力，引导学生深入进去，把课本的精神学到手。这样才能起到优化思维的作用。
例如，课本第81页第11题：“△ABC的一边的两顶点是B（0，6）和C（0，－6），另两边的斜率的乘积是－（4/9），求顶点A 的轨迹”及第93页第16题：“△ABC的一边的两个端点是B（0，6）和C（0，－6），另两边斜率的积是4/9，求顶点A的轨迹。”两题虽只一个符号之差，轨迹形式却完全不同（一个是椭圆，一个是双曲线）。这是教材编写者有意安排的两道题，我们如果不能领会编写者的意图，就题论题，学生虽不难完成这两道题，但问题到此为止，教学效果就不理想，因它对培养学生创新意识没有多大帮助。我们在讲解第93页第16题时，让学生回顾第81页第11题，进行观察对比，并将题目改成“积为常数k（k≠0）”引导学生讨论轨迹的形式与k的取值的关系。得出“与y轴上两定点连线斜率乘积为非零常数时点的轨迹是二次曲线。当常数为正时轨迹是双曲线，常数为负时轨迹是椭圆。”从而得到了一个二次曲线的等价定义。
这使学生明白了，对问题只要不满足于停留在表面，敢于深入进去，善于归纳总结，就会有所发现，哪怕是不起眼的，只要不是从书上看来的现成结果，而是自己探索得出的，就是发明，就是创造，这有利于提高学生的信心，大胆地创新。
3 在一题多解的解题过程中培养创新精神
解数学题，就是在于探索问题的数量关系和结构样式，选择恰当的解题方法。一题多解是从同一题设中，探索不同解法的思维过程。它要求思维方向发散于不同的方面，有利于优化学生思维品质。
但由于多方面的原因，教材中有不少例题都只有单一的解法，这从某种程度上造成学生“一题唯有一解”的误解。为了弥补这方面的不足，我们应适当地、有目的地利用教材例（习）题进行一题多解训练。
例如，课本第58页例1：“求直线y＝x＋3/2被曲线y＝x[2]/2截得的线段的长。”课本为了紧密配合知识点的学习，给出的解法是：先解方程组求交点，然后求两点间的距离。思路自然，学生接受是不成问题的，但我们不应就此满足，而应充分发挥它的潜在功能，适时地创设问题情境：求交点坐标计算量较大，能否不求交点而求出线段的长？引导学生进行思维迁移，类比求一元二次函数图象与x轴两交点间的距离，而得出对学生来说是一个新颖独特的解法：设而不求，利用根与系数的关系，求得两交点间的线段长（具体解法略）。
象这样可进行一题多解的例子，教材中还很多。它不仅可加深学生对所学知识深刻理解，达到娴熟运用的目的，更重要的是它扩大了学生的认识空间，激发创造灵感。一题多解是数学教学培养学生创新精神的一条重要途径。
4 在一题多变的引伸演变中培养创新精神
“一题多解”从命题角度来讲没有变化，只是解法角度的发散，而这里讲的“一题多变”，既改变命题的题设或结论，又改变解题方法，是命题角度和解法角度两个方面同时发散，其发散性更强。
进行命题研究，将命题模式、解题技巧及思维方法进行充分的揭示，给学生恰当地设置“最近发展区”，就会激活学生思维，产生强烈的创新欲望。
例如，课本第101页第5题：“经过抛物线y[2]＝2px的焦点F，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于P[,1]、P[,2]两点，线段P[,1]P[,2]叫做抛物线的通径。求通径P[,1]P[,2]的长。”
通过计算，可得通径P[,1]P[,2]的长为2p（解法略。限于篇幅，以下各题的解题过程均略）。稍一引伸：这两点纵坐标之积y[,1]y[,2]等于什么？容易得到y[,1]y[,2]＝－p[2]。现在，围绕这一中心课题，作进一步的研究，改换原题的部分条件或结论，引伸出新问题，寻求新解法。
变题1
“与对称轴不垂直的焦点弦的两端点的纵坐标之积等于什么？”
其一般结论就是课本第101页第8题：“过抛物线y[2]＝2px 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两交点的纵坐标为y[,1]、y[,2]，求证：y[,1]y[,2]＝－p[2]。
这是抛物线焦点弦的一个性质。
变题2 “过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ 平行于抛物线的对称轴。”
这是课本第102页第13题，它是应用上述性质进行解题的实例。
变题3 问“y[,1]y[,2]＝－p[2]有什么几何意义？”
经过作图、分析，可证“过抛物线的焦点弦的两端作准线的垂线，两垂足与焦点的连线互相垂直。”这实际上是抛物线焦点弦的又一个性质。
在此基础上，我们还可继续再作一些变题，如
变题4 “过抛物线的焦点弦的两端作准线的垂线， 以两垂足连线为直径的圆必切焦点弦于焦点。”
变题5 “以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切。”
通过这种训练，紧扣教材，适当变式，使学生从中了解命题的来龙去脉，探索命题演变的思维方法，它是发展学生发散思维，培养创新能力的有效途径。
5 增强例（习）题的开放性，培养创新精神
开放题是指题目的条件不完备或结论不明确，从而蕴含着多种可能，它容易激起学生的探索欲望，给学生提供较多的独创的机会。
而现行教材中的绝大部分例（习）题，条件完备，答案固定。鉴于此，有必要根据教学需要，适当地将教材中的部分例（习）题改编成“探索题”或“开放题”。
例如，课本第112页第10题：“在椭圆（x[2]/45）＋（y[2]/20）＝1上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。”
隐去结论，改编成“椭圆（x[2]/45）＋（y[2]/20）＝1 上是否存在一点，它与两个焦点的连线互相垂直？若存在求出该点，若不存在说明理由。”即成为一道探索题。
接着再将条件变换，问：“是否对任意椭圆，都存在椭圆上的一点与两焦点的连线互相垂直？”即成为一道开放题。
又例如，课本第112页第5题：“从一个定点M[,1]（a，b）到圆x[2]＋y[2]＝r[2]上任意一点Q作线段，M点内分M[,1]Q成2：1，求点M 的轨迹方程。”
将题目条件中的圆换成圆锥曲线，改编成“从一个定点M[,1] 到圆锥曲线上任一点Q作线段，M点内分M[,1]Q成2：1，求点M的轨迹方程。 从中你可得出什么结论？”
从所求得的点M的轨迹方程，可得出点M的轨迹与原曲线类型相同。这样既复习了一类轨迹方程的求法，又为学生才智的发挥和创新提供了机会。
在编制开放题时，要掌握适度，不要为开放而开放，而应根据教学大纲的要求和着眼于学生能力的发展，这样才不至挫伤学生的学习积极性，从而更好地保护学生的创新精神。
6 强化知识的应用，培养创新精神
数学既是一门高度抽象的科学，又是一门应用极其广泛的科学。引导学生将所学数学知识和方法应用到生活和生产实践中去，解决简单的实际问题，这已成我们数学教师的共识。应用也具有创造，它对培养学生创新能力是大有裨益的。
但现行教材中应用题数量偏少（尤其是解析几何部分），因此，我们除了充分利用好教材中已有的应用题外，对例（习）题中，属纯粹数学模型的问题，尽量挖掘一些背景应用题给学生练习，以强化应用意识。
例如，课本第80页第2题：“给出了椭圆的面积公式S＝πab，其中a、b分别是椭圆长半轴和短半轴的长。我们结合课本本节开头介绍汽车油罐横截面的轮廓是椭圆，编写一道应用题：一汽车油罐横截面面积为3600πcm[2]，上下顶点之间的高度为90cm，已知所装汽油超过半罐，且油面宽120cm，问油面距油罐上顶多少厘米？
又例如，在讲解了课本上求直线被抛物线截得的线段的长的例题后，可编写一道这样的应用题给学生练习：“一门大炮从山脚向山上发射一枚炮弹，其弹道路线方程是y＝x－（1/1000）x[2]， 山坡的倾斜角（坡面与水平面所成二面角的度数）为30°，求炮弹落地点A 距大炮的距离。”
许多数学题来自社会实践，是有一定应用背景的。只要我们联系生活和生产实际充分挖掘，是可以编写出类似应用题给学生练习的。虽然这些问题前人已经解决过了，但它对学生来讲却是意义重大的。因为他们在学生阶段，通过这样的训练，对解决实际问题有了初步的感受，锻炼了一定的能力，以后参加工作和科研，将大有用武之地。
总之，在数学教学中，必须反对那种把教学过程仅仅作为传授知识的过程。对学生来说，学习知识的过程应是一个创新的过程，只要把要学的知识看作为待创造的成果，去探索，去“发现”，去“创造”，就能把学习知识和获得创造能力统一起来。这就是素质教育。