哥德尔不完全性定理的科学推理意义，本文主要内容关键词为：完全性论文,定理论文,德尔论文,意义论文,科学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
[中图分类号]N09 [文献标识码]A [文章编号]1000-0763(2010)02-0015-06
哥德尔(Kurt G
del，1906-1978)是美国著名数学家，他于1931年发表了形式数论系统的不完全性定理(Gdel’s incompleteness theorem)。它包括第一定理：形式数论系统和它的任意协调的扩充系统里，都有不含自由变元的公式(即闭公式)A使得A和它的否定式┐A都不是定理；第二定理：形式数论系统的协调性的证明不可能在形式数论系统中实现。或把它描述为：如果对自然数理论形式化而获得的系统是相容的，则该系统必包含一逻辑公式A，使得A和它的否定┐A在系统中都不能证明。这个定理不仅表明，作为自然数理论的公理而言，通常的公理系统是不完全的，而且在有穷观点下表明对自然数理论的形式化系统，在相容性范围内无论怎样添加公理，它仍然是不完全的。哥德尔不完全性定理的发表，立即震惊了世界数坛，其中尤其要提到伟大数学家冯·诺意曼的反应。冯·诺意曼在20世纪20年代后期，参与了希尔伯特的元数学计划，发表了几篇关于证明部分数学公理无矛盾性的论文。哥德尔不完全性定理发表后，冯·诺意曼中止了这方面的研究。他几次亲自验证了这条定理，对哥德尔出色的成就表示完全折服，在1931年秋季普林斯顿讨论班上，冯·诺意曼本该报告自己的重要工作，但他却没有这样做，他利用此机会认真介绍了哥德尔的这个成果，大力加以肯定和赞扬，哥德尔不完全性定理是很有份量的，它开辟了数理逻辑的新纪元，使数理逻辑形成一门独立的科学。
我们知道，所谓形式系统，即用形式符号对直观数学系统的模拟。为了使证明严格化，为了使数学对象能够概括更多的模型，人们力图机械地判定哪些合式公式串是证明，哪些不是，这就要用到形式系统，因为它有公理集和由包括公理在内的已知定理产生新定理的推理规则集，因而形式系统的完全性说明其中的形式推理完全地反映了通常的演绎推理，这就决定了形式系统的推理价值。哥德尔定理揭示了形式系统最重要的特性——抽象性、协调性和完全性的内在机理，也给人们用推理作为工具来认识“无限”带来了深层次的思考和提供了一些很有意义的思路。
哥德尔获得不完全性定理是有精湛的数学技巧的，他证明了不完全性定理并深刻地研究了所用的推理方法。
我们知道，数学家最关心的事之一就是公理系统的无矛盾性和完全性。所谓的完全性就是，如果在每个结构中均可满足的那些闭公式在一个逻辑体系中都是可证的，则称该逻辑系统是完全的。也就是说，每一个真的逻辑数学命题都可以由这个公理系统导出，亦即可证。哥德尔证明第一定理，首先，他觉得：形式系统的概念是用元数学(metamathematics)概念建立起来的，这些元数学概念是若干个符号的规定、转换与说明。这里所说的元数学是与希尔伯特方案(Hilbert’s Program)相联的。“科学思想是科学以前的思想的发展。”[1]哥德尔的许多工作和杰出成就，是他从研究希尔伯特的思想开始的。把数学的各个分支和研究领域分别进行形式化处理，建立相应的形式系统，并与逻辑演算相结合，形成各门形式化的数学公理系统，它们都是符号系统，在那里，每一数学定理都可在相应的形式系统中表示出来，并能从语法上得到证明。建立在对这样的形式数学系统给出工具并进行研究的有穷逻辑和(不含无穷对象的)初等数论，这样的逻辑与数论称为元数学(元数学又称为证明论。它的研究对象是数学证明本身。它研究数学的最基本活动——证明的合理性问题)。用元数学去研究形式数学系统内的协调性、完全性问题，哥德尔进行算术化处理是巧妙地通过哥德尔配数法进行的。
关于哥德尔配数法，这是哥德尔推理证明极重要的诀窍。这里，他使用了“算术化”的方法。对于任一公式都可以配给它一确定的自然数，反过来，这种自然数都唯一地对应一公式，即公式与自然数之间有一一对应关系。研究一个形式系统实际上就是研究可数个对象的集合。哥德尔认为：“一个系统的公式……从外观上看是原始符号的有穷系列……不难严格地陈述，哪些原始符号的系列是合适公式，哪些不是。类似地，从形式观点看来，证明也只不过是一串公式的有穷序列。”[2]“哥德尔配数法”就是给每个对象配上一个数，以此来研究原形式系统的性质。给公式所配的自然数，就叫做该公式的哥德尔数，而证明是由公式序列组成的，因而对每个公式的证明也可配上唯一的一个哥德尔数。这样，哥德尔把元数学概念通过哥德尔配数法给出算术化处理，用自然数的函数与关系把它们描述出来，并证明这些函数与关系的机械性质，即它们都是递归关系。这里，以自然数为变元，取值也是自然数的所谓“递归的”数论函数，即原始递归函数(后来，作为原始递归函数的自然推广，哥德尔定义并发展了一般递归函数理论)。定义域为自然数集合并取值为自然数的函数t，如果对于任一自然数n都可在有穷步内机械地获得它的值f(n)，则称f为一递归函数。当一关系的特征函数为一递归全函数时，就称这一关系为递归关系。接下去，哥德尔证明递归函数与递归关系在形式系统P中都是可表达的。他成功地使用递归函数将元数学算术化这个有效方法引进数学基础中。哥德尔善于抓住问题中心的技巧甚至影响到爱因斯坦，爱因斯坦在普林斯顿与哥德尔结识后，他在数学中很快就可以辨认出什么是中心问题了。
当然，明了了哥德尔怎样展开对定理的证明，也应探究哥德尔怎么构造出他的定理中所要求的命题A：有一形式命题A，使得A与┐A在此系统内部都是不可证明的。要构造出此命题，需要梳理极其错综复杂的联系，并且弄清这些联系。比如，要将“命题A在P中是可证的”、“公式序列L是命题A在P中的一证明”等这样一些关于形式系统P的元数学概念都可以算术化为关于自然数间的函数与关系等弄清楚，是不容易的。哥德尔独到的思路是区分系统内外的几个层次和它们间的联系，而着手点是从考虑数学分析的协调性问题开始的。在考虑分析的协调性时，哥德尔是先用有限主义的算术证明算术的协调性，再用算术的协调性证明分析的协调性，也就是说，他不是直接去证分析的协调性，而是分两步走。这个明智之举使他在去证明算术的协调性时很快就得到了相反的结果，从而构造出不完全性定理。
哥德尔不完全性定理命题构造和定理证明的数学技巧，是精湛的。这些成果，在科学推理上意义重大。
首先，人们看到了，不完全性定理揭示了完全性与协调性之间遇到了麻烦，而协调性本身又是用“推出”说明的。一个公式的集合具有协调性，是指没有公式A使得A和┐A都能从这个集合中的公式形式地推出。推理是由一个或几个已知判断(前提)推出未知判断(结论)的思维形式。这是由已知进入到未知的方法，是探寻新结果的方法，因而是极重要的思维形式。然而，因为事物的复杂性情况的差异，它决定了人们进行推理时所依据的前提被人们所了解和掌握程度不同，并且新判断所得出的结论深刻程度也不同，所以不同的推理的难度是不一样的，甚至相差十分大。哥德尔不完全性定理使人们碰到了两不可的情景：在形式系统中完全性与协调性不可同时兼顾。两可、两不可的情景是人们思维深层次的矛盾和推理结果可能沦入的窘境，可取的思想方法不是避免和摆脱，而是设法改进情景。哥德尔不完全性定理在数学界公认否定了希尔伯特方案的某些设想，但它开辟的却是另一番富有生机的新生长点。科学史上不乏这样的事实：前进吧，你就会有信心！沿着正确的思路惯性地操作(推理)下去，在普遍性的范围内陆续取得成效，然后再回过头来，不少原先很难解决的问题随之迎刃而解。在科学推理中，往往要对两种“情景”尤加重视，即初始条件和边界条件。事件以某一时刻为开始的初始运动状态，叫做初始条件；而受周围环境影响的边界实际状况则称为边界条件。推理的起始状态之确立和推理过程进行的边界条件之改进，对科学研究和科学创新是很有意义的。考察“摄动”和采取“逼近”，是人们通常采用的手段。我们这里说“改进情景”正是这个意思。要达到的目标明确，但证明推理过程遭到困难，其重要的一种思路就是改进情景。哥德尔不完全性定理给了我们这种启示。哥德尔本人对此也是十分重视的。
1930年夏天，哥德尔开始研究证明分析学的协调性问题。他发现：希尔伯特想要通过有穷主义的方法来直接证明分析学的协调性是不可思议的。他总的认为，我们应该把这个困难分解成几个部分，以便使每一部分能够变得更容易克服。在这个特殊情况下，他的计划是通过有穷主义的数论来证明数论的协调性，然后用数论来证明分析学的协调性，在这里，我们可以假定数论不仅是协调的，而且是真的。他当时给自己提出的问题是分析学对于数论的相对协调性，这个问题对于有穷主义数论的某些不确定的概念来说是独立的。[5]当数学上出现一些重大发现时，它貌似与以往的某些定理甚至是公理发生了冲突，但它并不是要完全否定、摈弃或推翻原有的定理、公理或者方案，而往往是将原有的那些数学成果、结论作为有条件的东西保留在知识的长河之中。科学推理是讲究前提条件的，对前提条件进行情景改进然后再进行正确推理，往往会得到珍贵的副产品，比如，哥德尔原先是在系统为ω协调的(英为ω-consistent，德为ω-widerspruchsfrei)假定之下证明这条定理的。这个条件，对形式系统而言，比简单协调性条件更强。但是，J.B.Rosser则对情景作了改变，他成功地用简单协调性代替了更强的ω协调性[6]。又比如，进一步限制不使用解析中的辅助手段(如无理数和无穷级数)的自然数的理论“纯数论”，我们便可以得到较弱的自然数理论，它们的协调性可不必使用直到ε。为止超限归纳法这种特殊论证，而使用有穷方法便可以推理证明。同时，用逐步逼近也是一种可考虑的思想方法。数学发展史表明，在命题的证明推理过程中，往往会得到一些非常重要的新发现，有时甚至会有数学新工具的创造；原定的目标有时不一定理想地达到或较快地达到，但证明推理过程中所得到的或先得到的副产品却是十分有价值的。
其次，我们着重来谈“无限”。随着人的认识的深化，对“无限”的认识愈来愈显得实在和重要了。科学实践很自然地招引人们把注意力吸引到：在科学认识上，如何通过有限来认识无限；在科学方法上，如何通过有限的手段把握无限。具体说来，人们如何运用推理来认识和把握“无限”呢？它的可能性和方法是怎样的呢？
无限(无穷)即没有穷尽，它是相对有限(有穷)而言的。在数学中，有无穷大、无穷小：一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数，这个变量叫做无穷大(无限大)；一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数，即以零为极限的变量，这个变量叫做无穷小(无限小)。还有无穷序列、无穷集合、无穷序数、无穷基数等。而关于无穷过程，人们把无穷作为一个逼近的目标，可逐步逼近而永远不能达到，叫潜无穷；把无穷作为一个完成了的总体，通过思维能够把握的，叫实无穷。在极限理论中，大于零小于任意实数的无穷序列无穷小和大于任意正实数的无穷序列无穷大，都是潜无穷概念。在非标准分析中，通过逻辑证明，存在一个大于零小于一切实数的无穷小量，就是实无穷概念。一个集如由无限多个元素组成，这样的集就叫做无限集。我们知道，要对事物和命题进行证明，有依据事实的、经验的，也有用严格数学的、非经验的推理方法。在处理包含无穷多个数学对象的集合时，象涉及到所谓“一切的”、“全部的”、“所有的”这样情景时，工具、手段的采用就非常重要了。“数学无穷的观念已经起着举足轻重的作用，没有它便没有科学”。[7]
在自然科学中，我们面对的对象是许多有关于无限性的事实；在数学中，我们必须处理包含无穷多个数学对象的集合。在自然科学中，人们在摸索一般规律时往往会从“经验归纳法”出发，从特殊到一般；而用严格逻辑或数学推理来证明定理却大不一样。“在数学上，一个规律或一个定理，只有当它能表示为某些已被认为是正确的假设的逻辑的必然结果时，才算是被证明。”[8]在通过有限的步骤去证明无限时，必须十分明了要从任意有限多个(哪怕是非常多个非常多个)的情形中去得出一个正确的一般规律，一定要保证“逻辑的必然结果”，因为即使是“任意有限多个”，充其量也是“合理的假说”，还不是“逻辑的必然结果”。一个规律或一个定律的确定，讲究的是它要普遍地成立，因而，推理证明的前提和步骤必须严格遵守。那么，数学上的无穷是不是可以被认识的呢？这是认识论上的问题。实际上，无穷是人们对大量相继性过程的反复构造中通过外推的思维建立起来的。人们可以通过理性思维的能力相对地把握某一无穷集合的特征，这就是说无穷是可以相对地被认识的。但是，想要通过理性把无穷个客体一一都认识出来，这是不可能的。对无穷客体的认识只能是个逐步推进的过程，而这个过程又是永远不会完结的。无穷是既可被认识又不可绝对被认识的这种辩证法，让数学家们有信心地寻找解决的办法和工具，比如，把“代数和”的概念应用于一个收敛的无穷级数，建立起一个全称的无穷概念利用排中律来认识无穷，这些手段，是正确的、有效的。数学上的无穷和哲学上的无穷是不完全一样的，它们既不同又相联系，要把握这些，数学家的哲学素养往往是很重要的。“无论如何，哲学也给科学提供了一些有价值的积极概念，……哲学家反过来也从专门科学采纳了比从日常思维采纳的任何东西更健全的基础。……事实上，每一个哲学家都拥有他自己的私人科学观，每一个科学家拥有他的私人哲学。”[9]明了这些，我们来阐述哥德尔不完全性定理在证明推理上的意义就会更加深刻。
哥德尔不完全性定理本身以及哥德尔对不完全性定理的证明，在科学推理上都有重要意义。首先，哥德尔不完全性定理给人们在认识和处理无穷上启迪了宝贵的思路：当完全性与可证明发生冲突时，可以改变论证推理的方式。我们知道，数学家们都希望，任何真语句都一定可以在某个公理系统范围内得到确立。但哥德尔定理的一个推理是：不仅没有一个公理系统足以包含全部数学，而且也没有一个公理系统足以包含任何一个有意义的数学分支，因为任何这样的公理系统都是不完全的。在系统内存在不可证明的语句(它的概念属于该系统)，但是人们可以通过非形式的论证来证明它是真的——实际上这非形式的论证是通过元数学的逻辑实现的。哥德尔在获得不完全性定理时，还研究了所用的方法，从而得出另一个十分重要的结果：设S为包含自然数理论的形式化系统(在有穷观点下)，如果S是相容的，则只利用S中可形式化的论证不可能证明S的相容性。这就是说，例如，要从有穷观点来证明自然数理论的形式化系统的相容性，就不能不用到一些有穷观点容许的形式化自然数理论所不容许的某些论证。按照这种思路在纯数论的相容性的证明中，必须使用纯数论以外的某种论证推理方法，如使用直到ε。为止的超限归纳法。还有，纯数论相容性的证明推理方法也还不限于超限归纳法，例如哥德尔利用了“自然数域上有穷类型的可计算函数”而对自然数论的相容性给出了另外一种证明[10]。其次是哥德尔配数法。哥德尔数及其哥德尔的配数方法，是哥德尔给出的，其思想精髓就是从“一一对应”的方法出发来进行后面的推理的。如上所述，对于给定的任一公式，都可以配给一确定的自然数，反过来这种自然数都唯一地对应一公式，而证明是由公式序列组成的，这样，对于每个公式的证明来说，也可配上唯一的一个哥德尔数，因而“一一对应”使得哥德尔数在证明推理的过程中发挥着重要作用。“一一对应”的方法看去好像简单，但思想却很深刻。“坚持把证明的严格性作为完善地解决问题的一种要求，是完全必要的，并且，正是追求严格化的努力驱使我们去寻求比较简单的推理方法，因而严格化与简单性原则是统一的。”[11]此外，哥德尔的高明之处还在于他又通过这些数反过来看原来形式系统的性质。“思想能够产生思想”[12]。他的成功确实可以给人们带来许多推理证明方法上的启示。
在研究哥德尔不完全性定理的科学推理意义时，有两件事是值得一提的。其一是：中国古代著名的数学家刘徽在注释《九章算术·商功》“阳马术”时，在充分肯定和灵活运用数学推理进行数学证明的过程中曾深沉地发出感叹：“数而求穷之者，谓以情推，不用筹算。”[13]其二是著名数学家布劳威“搞清楚直观上确定的不及数学上证明的时候，哥德尔用他的不完全性定理证明了直观上确定的胜过数学的证明”[14]。为什么刘徽意味深长地说到要用“情推”？为什么哥德尔会说到“直观上确定的胜过数学的证明”？为什么这些数学大师在严格证明推理得出伟大成果时发出这样的感叹呢？这里，涉及到形式与形象、实际与抽象、现实与原型及模型、经验与证明等诸多关系问题。
众所周知，在数学上成立的东西，只有当它已从逻辑的推理上严格地被证明了的时候。在数学上，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。要推理证明，需用抽象的形式化语言，比如，数学符号和数学符号系统就是抽象的形式化语言，它对数学本身的存在和发展十分重要，“常常是由于缺乏能够说清楚真正实质的符号，数学的某个领域就得不到发展。典型的例子就是代数学：为了写出‘一般的’代数方程式
，从丢番图到维耶特和莱布尼茨用了整整三个世纪；……·为了使无穷小的计算获得一个确定的形式，用了整整100年。这里的主要原因是，在牛顿和莱布尼茨以前，还没有提出导数和微分这些新的概念的方便符号，还不能十分清楚地分辨这些概念”。[15]抽象性、形式化体现了数学的力量，也是一种数学美。不过，另一方面，它也带来了危险，“当一个数学学科远离它的经验本源继续发展的时候，或者更进一步，如果它是第二代和第三代，仅仅间接地受到来自‘现实’的思想所启发，它就会遭到严重危险的困扰。它变得越来越纯粹地美学化，……这门学科将沿着阻力最小的途径发展，……换句话说，在距离经验本源很远很远的地方，或者在多次‘抽象的’的近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的危险。”[16]冯·诺意曼认为：“每当到了这种地步时，在我看来，唯一的药方就是为重获青春而返本求源，重新注入多少直接来自经验的思想。”[17]昂利·彭加勒也说：“我希望审查的是，逻辑原则一旦被承认，人们是否真的能够证明——我不说发现——所有的数学真实性而不重新诉诸直觉。”[18]这层思想，在哥德尔不完全性定理的提出过程和这个定理本身，揭示得颇为彻底。哥德尔说：“我在数学的形式系统中构造不可判定数论命题的直观试探原理是与‘可证性’相对立的‘客观数学真理’的高度超限概括(这里我说明了直观性的论证，通过它我达到了不完全性定理这个结果)。”哥德尔突破了数学界和逻辑学界长期普遍认为的仅当能用有限的元数学加以解释或证明为是正确时才算作是有意义的观念，不将元数学的可证性与客观数学真理对立起来，而是既看到数学形式化的重要，又看到数学直观的重要，既强调形式的理性思维，又重视直接认识真理的能力，他把这称为“直观性的证明”。通过它，他得到了不完全性定理的结果；而不完全性定理本身，也蕴含了这个深邃的思想。这种既讲究抽象的证明推理手段又把握“直观的”、“具体的”思想方法，在菲利克斯·克莱因那儿也受到重视。[19]“抽象化”、“形式化”、“情推”、“直观上确定的”、“返本求源”、“直观性论证”，这些都从不同侧面反映了数学思想和数学方法的特点，健全的数学思维应当既要讲求形式化并运用形式规则去推导而给出数学真理，而且要训练出具有不经过逻辑推理就直接认识真理的能力。元数学论证的推理和“直观性论证”的推理(包括“情推”)都不应偏废。对于给定的形式系统而言，可证性是一个较为机械的思维过程，而它的真理性则是一个能动的和超穷的思维过程，哥德尔揭示了机械的与非机械的思维活动的基本性质，对涉及到理论协调的逻辑标准与局限性问题有了论证，这项工作是人类科学认识史上的重要结果，意义的确十分重大。把数学理论形式化，构造形式数学系统，意义是十分深刻的。数学家们把研究对象形式化，构造形式系统P，并不是直接研究原来的对象，而是要数学地研究P本身，研究P本身中的形式证明。历史表明，形式化在哥德尔以前的数学研究中，已显示了巨大的功能，实际上就连哥德尔不完全性定理，也是在构造了形式系统P，并对之作了深刻研究的基础上得出的。因而，没有高度的形式化，也就不会有哥德尔不完全性定理。但是形式化的功能究竟有多大？在形式化的数学系统中，其无矛盾性和完全性的关系究竟怎样？哥德尔不完全性定理圆满地回答了这些对数学来说是极其重要的本质问题。在哥德尔不完全性定理提出之前，人们的理想想法是：应当花力气去证明形式化以后的数学系统是无矛盾的；应当花力气去证明形式化以后的数学系统是完全的。哥德尔不完全性定理明确提出：这是不能办到的。对于不可判定命题，人们是不能用一个形式系统对它进行完全地刻画和把握。这里是对一个形式数学系统而言。其含义包括：一个形式系统，你要证明它的无矛盾性，如果只囿于本系统中使用的推理工具，那是不行的，如形式算术系统以及包括形式算术的形式系统，其无矛盾性是不能用系统中所使用的推理工具来证明；在此系统中，无矛盾性得不到证明，但相对于另外一些系统，它则是确实可证；要判定一个公式是否为真，在本形式系统里得不到解释，但可依赖于形式系统以外的解释。形式化的推理证明是讲究逻辑的；“情推”也讲究合情合理，一般要“逻辑上是可能的”或是有“严密逻辑联系的”。数学家本身并不是用一个模子铸造出来的，数学方法的应用也不是一成不变的。这里，“转换”十分重要，皮亚杰在《结构主义》中谈起结构时，是将整体性、转换和自身调节性紧紧联系在一起的。他认为各种结构都有自己的整体性，结构是可以形式化的，然而一项起结构作用的活动，只能包含在一个转换体系里面进行，“结构”最重要的是要成为一个若干转换的体系，不是某个静止的形式，而运算推理是起自我调节作用的。[20]将皮亚杰关于结构的思想和哥德尔不完全性定理联系起来，将那些看去似乎不相关但却密切相关的东西联系起来考察，往往是大有禆益的。“互补”的思想方法，在科学研究中不可或缺。
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