实施《课程标准》后高考数学能力考查研究，本文主要内容关键词为：课程标准论文,高考数学论文,能力论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
2004年我国进行高中课程改革，实施国家课程标准.这次课程改革提出了很多新的理念，如在课程目标方面，提倡注重提高学生的科学素养；在课程设计方面，提出了课程实行多样性、选择性的原则；在课程内容方面，强调知识的时代性、基础性和选择性；在学习方法方面，强调学生自主学习，提倡多样化教学和探究性学习；在评价理念方面，关注过程性评价；等等.数学课程体现了基础性、多样性和选择性的特点，增加了数学建模、数学探究、数学文化等内容.高中课程和教学的改革为高考命题提供了新的环境和基础，同时对高考命题提出了新的要求.实施课程标准后的高考认真研究课程标准的理念、原则和特点，在命题中进行积极的改革，有力地配合了高中课程改革，充分发挥了高考的选拔功能和积极的导向作用.
二、重新建构能力框架
随着参加课改实验的高中毕业生参加高考，课程标准后的高考命题进行了新的改革.重新建构能力框架，确定新的能力考查原则.
（一）编写课程标准版《考试大纲》，对能力的成分和要求进行了必要的调整，建构新的能力框架.在课程标准版《考试大纲》中，对能力成分进行了重新研究，在原来的基础上作了一些调整，将思维能力分解为抽象概括能力，推理论证能力；将运算能力改为运算求解能力，增加了数据处理能力，数据处理能力是课程标准版《考试大纲》根据课改理念新提出的能力目标，其内容是会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.课程标准版《考试大纲》提出了数据处理能力的考查方法，主要是依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.
新高考的能力框架为：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.
（二）高考命题对以能力立意的命题原则进行了新的探索，尝试总结新的命题原则.
1.以数学内容为基点，以基本的推理能力和思维要求为立足点，突出考查学生一般能力的表现，测量学生的学习能力.
2.以多元化、多途径、开放式的设问背景，比较客观、全面地测量学生观察、实验、联想、猜测、归纳、类比、推广等思维活动的水平，激发学生探索精神、求异创新思维.
3.以源于社会、源于生活的问题考查学生，有效地测量学生抽象、概括以及建立数学模型的能力，对学生认识世界、把握问题本质、灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力提出了要求.
（三）根据调整后的能力要求和新的能力成分的考查，努力研究新的试题模式和能力考查方法，建构新的试卷结构.
三、能力考查探索
课程标准后的高考试卷根据新的能力框架，探索了新的能力考查的规律和方法.
（一）创设开放情境，考查探究能力.本次课程改革提出了知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观的三位一体的教育目标；在学习方法方面，强调教学方式和学习方式的转变，强调学生自主学习，提倡多样化教学和探究性学习.学生的数学探究性学习就是学生围绕数学问题，自主探究、学习的过程.包括观察数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论和规律，给出解释或证明.数学探究的过程就是通过观察、实验、归纳、类比的方法提出问题或假设，然后通过与知识经验相匹配的方法，验证结论的合理性.高考中连续三年命制了探究型试题，并且将探究能力的考查拓展到现行课程试卷.分别探究条件、结论和解题过程。
例1 从甲、乙两种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287
292 294 295 301 303 303
307 308 310 314 319 323
325 325 328 331 334 337
352
乙品种：284 292 295 304 306 307
312 313 315 315 316 318
318 320 322 322 324 327
329 331 333 336 337 343
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由以上数据设计了如下茎叶图
根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①________；
②________.
例2 正视图为一个三角形的几何体可以是________.（写出三种）
2008年的课标卷利用课程标准新增加的内容——茎叶图作为考核知识点，要求学生进行分析和探索，总结统计结论.但突破了传统的设问方式，没有直接问两种棉花的纤维长度的平均值和标准差，避开了复杂的运算.同时明确提出了对纤维长度进行比较的要求，要求学生进行分析和探索，自己总结统计结论.2010年的课标卷同样利用课程标准新增加的内容——三视图作为考核知识点，与之前的设问更加不同的是，试题的设计更为开放，为考生搭建了一个自主探究的活动平台，使考生的才能得到充分发挥，使不同基础、不同水平、不同志向的考生都获得成功的体验，创新意识得到发展.体现新课程关于评价的新理念.
例3 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
2009年的课标卷以“不可到达两点”的距离测量为素材，要求考生对解题策略、方法进行探究.题目没有像传统的三角测量题目一样给出测量的方法和测量到的数值，要求考生用公式进行计算.题目只是给出了飞机航测可以测量的基本数据，为考生创设一个主动探究的学习环境，要求考生对测量的要求有整体的把握和通盘的考虑，设计测量和计算的方案，然后自己确定需要测量的数据，并且可以利用这些数据和三角知识计算两点间的距离.问题以三角为背景考查算法思想，情境丰富、设问新颖，其考查的能力与传统数学能力不同，更侧重于综合分析探究能力和数学建模能力.
试题营造了数学发现的环境，要求考生积极探究，运用合情推理的思想方法，形成问题的结论.考生认识的角度不同，形成的结论不同，问题具有开放性，考生可以从不同的认识角度，形成有价值的结论，为考生展现创新意识，发挥创造能力提供了活动空间.合情推理是数学发现的重要方法，而学生的自主探究是重要的学习能力.实际上探究活动的过程就是进行合情推理和逻辑推理的过程，探究活动的目的就是让学生通过操作和合情推理提出猜想，通过演绎推理证实或证伪猜想.探究活动的核心价值在于发展学生的推理能力.
这些探究型试题是全国高考推出的创新性题目，试题以考查考生潜能为目的，情境新颖，高于课本，远离复习资料，避免题海战术的干扰.
（二）分析数字特征，考查数据处理能力.课程标准卷根据大纲的规定，要求考生依据所学统计学的知识和方法，对数据进行整理、分析，形成有实际意义的结论.试题所提供的数据具有真实的实际背景，体现了数学知识的应用价值.在上面的茎叶图问题中，考生可以从众数、平均数、中位数数据的离散情况等统计方面的基本特征回答问题，但都应当涉及两个品种的比较，重点是乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度和甲品种棉花的纤维长度的方差（标准差）大于乙品种棉花的纤维长度的方差（标准差）.
数据处理能力要求考生能理解问题所提供的文字、数字、图形、图表等信息，并能从中提取有关信息，对它们进行分析和处理.评价学生收集、处理和运用信息的能力，能分辨问题所提供的信息哪些是有用的，哪些是多余的，并能对有关的数据和图形进行统计和分析.
（A）变量x与y正相关，u与v正相关
（B）变量x与y正相关，u与v负相关
（C）变量x与y负相关，u与v正相关
（D）变量x与y负相关，u与v负相关
本题主要考查考生对收集后数据进行分析、判断的能力，正确区分现实生活中变量间的相互关系，通过对两个相关变量的数据散点图的观察、直观认识、分析两个变量间的相关关系.试题数据简单，通过观察散点图，利用正相关和负相关的概念即可作出合理判断.试题的背景比较真实，在信息社会中，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策，通过收集现实问题中两个相关变量的数据作出散点图，是直观认识和分析两个变量间相关关系的基本方法，所给数据有一定的规律性，便于考生分析、整理、得出结论.着重考查了考生的基本思想和分析能力.
（三）结合新增内容，考查空间想象能力.与现行《考试大纲》相比，课程标准版《考试大纲》对空间想象能力的要求本质没有变化，既能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合.但《课程标准》在立体几何部分的教学，无论从教学内容的编排，教学能力要求都和传统的立体几何教学有较大变化.《课程标准》强调“从空间几何体的整体观察入手，认识空间几何体”，“遵循从整体到局部，具体到抽象的原则”培养学生的空间想象能力.特别是课程标准中增加了三视图的内容，给考查空间想象能力提供了更多的素材.
例5 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.
（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（Ⅲ）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′//面EFG.
空间图形的三视图是《高中数学课程标准》中新增内容，本题考查三视图的概念，能画出简单空间图形的三视图，会求多面体的体积，直线与平面平行的判定的能力.《考试大纲》要求“能画出空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型”.本题的设计希望考生能够应用所学三视图的知识，能识别所描述的几何体中相关几何元素的度量值.利用直观图形中的几何元素间的关系，解决体积的计算并证明给出的线面关系.根据三视图的知识确定几何体中的几何量和关系.
本题考查了空间想象能力，本试题的设计准确把握了《课程标准》下立体几何教学对文科考生的基本要求，对考生的空间想象能力和综合运用所学知识的能力提出了更高的要求，试题改变了传统的立体几何试题的命题方式，大胆创新，给人耳目一新的感觉，对中学立体几何教学的改革有积极的推动作用.
（四）倡导理性思维，考查推理论证能力.推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成，论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程.在课标卷中，力图以新增内容为材料，考查推理论证能力.
例6 下面的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的
（A）c＞x；
（B）x＞c；
（C）c＞b；
（D）b＞c.
本题考查程序框图的基本逻辑结构的理解和掌握.考查考生的逻辑思维能力.算法是高中数学中的新内容，其思想非常重要，考试大纲要求考生理解程序框图的三种基本逻辑结构.本题的设计目的是使考生通过阅读程序框图，理解程序框图所表达的算法和逻辑结构，应用所学程序框图的基本逻辑结构进行准确判断，考查考生的逻辑思维能力.考虑到算法作为新增教学内容，以及各地各学校在教学上的差异，为了面向全体，试题在叙述中说明了本程序框图的算法思想是“求三个数的最大数”，降低了难度.
试题说明了所列程序框图是“求三个数的最大数”的一个算法框图，所要回答的问题是在空白的判断框中填写“判断条件”.《课程标准》要求对算法的学习，在具体数学问题的解决过程中，学习程序框图的基本逻辑结构和语句，不简单处理成程序语言的学习和程序设计，应着重强调使学生体会算法思想，提高逻辑思维能力.试题准确把握了算法教学的能力要求.
算法语言是课标中的新增内容，其命题形式尚在研究和探索中，本题从程序框图出发，既考查了课程标准的主干知识，又考查了推理能力.本题中循环结构是程序框图中的三种逻辑结构之一，2007年是考查程序框图最后输出的结果，2008年要求考生填写判断框，考查条件控制问题.
（五）建立数学模型，考查应用意识.依据现实的生活背景.提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.
（Ⅱ）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100-x万元投资B项目f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f（x）的最小值，并指出x为何值时,f（x）取到最小值.
本题考查取有限个值的离散型随机变量的概率分布、均值、方差的概念和计算，考查应用离散型随机变量的均值和方差的概念解决实际问题的能力.利用离散型随机变量的概率分布描述和分析随机现象是概率论学习的重要内容和方法，利用概率论知识解决简单的实际问题是概率论学习的基本要求.本题通过实际情景的创设，希望考生理解随机变量
和
的分布列的含义，通过随机变量和和随机变量
和
间的线性关系，建立随机变量和的分布列，从而求解随机变量和的方差
在（Ⅱ）中，利用以及提示的公式可以方便地算出f（x）.利润的方差是投资的一个重要指标（衡量投资风险的一个指标），通过（Ⅱ）的解答，可以看出适当的组合投资可以降低投资风险.本题考查了随机变量的方差的概念及解决实际问题的能力，同时综合考查考生利用随机模型观察、分析实际问题的意识和能力.
本题围绕离散型随机变量的概率分布、均值、方差的概念和应用，精心设计，突出知识的应用价值.通过计算公式的提示，把考生计算过程中的可能繁杂的过程得以简化，重点关注问题所涉及的数学知识和方法，体现了数学应用问题的考查.
例8 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：
5，6，7，8，9，10.
把这6名学生的得分看成一个总体.
（Ⅰ）求该总体的平均数；
（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
本题考查简单随机抽样方法，样本数据的基本数字特征，随机事件所含基本事件及事件发生的概率.对于文科考生，根据《课程标准》对于统计概率的学习，强调学习用统计方法解决实际问题的基本思想，理解统计思想和概率意义.本题通过实际情景的创设，希望考生能够运用统计学的知识，从实际问题的需求合理选取样本，从样本数据中提取需要的数字特征（如平均数），并对其进行合理解释（概率大小的计算）.考虑到文科考生的实际情况及考纲的要求，试题中总体所含的个体数设计为6个，样本容量为2个，都很小.通过本题的计算，可以使学生认识到：①总体平均数，样本平均数是有区别、有联系的两个概念，总体平均数是一个确定的值，而样本平均数是有变异的.②当用样本平均数估计总体平均数总是会有误差的，但我们可以通过考查这种误差在一定范围的概率来看出这种估计的合理性.可以想象在本题中，当总体个数很大，样本容量较大时，这种估计产生的误差在所要求范围内的概率可以很大，这就从一个侧面说明了样本平均数估计总体平均数的合理要求.本题对问题中的总体和样本进行描述性说明，降低难度，重点关注统计概率的思想方法的考查.
本题创设了一个真实公平的问题情景，使考生置身于问题之中，有助于考生的正常发挥.试题涉及的统计和概率知识考生不难理解，相关的概率的计算也比较简单.本题的难点在于考生是否具有应用统计学的思想方法整理材料所提供的信息资料，合理选取样本，从样本数据中提取需要的数字特征，准确理解随机事件所含基本事件.试题准确把握《课程标准》在统计概率部分对文科考生的能力要求，体现了数学应用问题的考查，坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的命题原则.
课程改革给高考命题提出了挑战，同时也提供了机遇.高考改革应与课程改革相互协调，深入研究课程标准后高考的能力内涵和考查方法，认真研究试题的综合性、应用性和创新性与试题难度的相关程度，使高考改革和课程建设相互促进，为教育改革的深化做出贡献.
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