高中生对概率定义中的“频率定义”主要错误的调查分析，本文主要内容关键词为：定义论文,概率论文,频率论文,错误论文,高中生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
由于概率应用的广泛性，美、英、法等发达国家在基础教育阶段就非常重视学生概率统计知识的获得、概率统计观念的发展及概率统计在生活中的应用.
Konold C将概率定义分为公理化定义、古典定义、频率定义、主观定义[1].其中，概率的频率定义也称经验定义，它将概率定义为某一事件在无限次或接近无限次的重复试验中发生的频率，所以这是一种后验的概率，建立在实际试验的结果基础之上[1].频率定义是概率定义中最生活化、最易为学生所接受的定义.基于这个特点，教材对概率知识的讲授一般都从频率定义入手.因此，学生在概率定义中的频率定义学习中产生的错误概念，对概率教与学的开展极为重要，十分值得我们从教学中获取第一手资料和数据进行研究.
二、问卷题目的选取
笔者根据所研究的问题类型设计了问卷，选取了两道题目调查分析学生的主要错误.
题目1 一位数学家将一些黑球和一些白球装入一个布袋中并搅匀，他并不确切地知道袋中有多少个黑球和白球.搅匀后他看了看，然后预言说：“蒙上服睛从袋中取出一个球，正好是一个白球的机会是30%.”他取出一个球，结果是白球.你认为他的预言准不准？为什么？[2]
题目1改编自李俊的《中小学概率的教与学》，笔者将原题改成了开放式的问答题，主要观察学生如何理解“30%”这个概率值的含义.
题目2 下面是天气预报的预报内容与实际情况对照，哪种情况更能说明天气预报的准确性？
A.一次预报降雨的可能性是80%，实际降雨；
B.有10天预报降雨的可能性是80%，有8天实际降雨；
C.有20天预报降雨的可能性是80%，有15天实际降雨；
D.有50天预报降雨的可能性是80%，有41天实际降雨；
E.有100天预报降雨的可能性是80%，有83天实际降雨.
题目2改编自Konold C著名的天气问题[3]，学生做出选择后均要说明理由.观察学生对频率与概率的概念、大数定律的理解，观察预言结果法在学生心中是否仍然根深蒂固.
三、研究对象的选取与数据编码
笔者于2011年10月以广州市的部分高中生为研究对象，选择了广州市协和中学、广州市第八十六中学两所重点中学和广州市越秀外国语学校、广州市美术中学两所普通中学共四所学校的569名高中生为研究对象.
为了便于统计，笔者对调查的学生进行编码，如MZ090113bF，现说明如下：
（1）前面两个大写英文字母表示学校，XH表示协和中学，BL表示第八十六中，XW表示越秀外国语学校，MZ表示美术中学；（2）接下来的两位数字表示所在的年级，11为高一年级，10为高二年级，09为高三年级；（3）再接下来的两位数字表示其所在的班级；（4）跟着的两位数字为该生的学号；（5）接着的小写字母表示性别，b表示男生，g表示女生，x表示该生没有填写性别；（6）最后一位大写字母F表示该生接受访谈了，如果没有则表示没有被访谈.上面的一个编码表示美术中学高三（1）班学号为13号的被访谈的男生.
四、对概率定义中的“频率定义”的理解情况
人教版数学教材中的概率是利用频率的稳定性来定义的，概率的频率定义是以试验为手段，笔者认为学生通过观察更容易接受和领悟这一概念.下面笔者将高中生对概率定义中的“频率定义”这一概念的理解情况及错误概念展开分析.
1.对概率值的解释情况
题目1主要考查学生是否能够通过大量重复试验来检验随机事件发生的概率.通过对调查问卷的分析，学生完成题目1的具体情况如表1.
从表1可以发现，高一学生解决问题的方法主要依靠初中所学的初步概率知识，概率水平的差别不大.而进入高二，实行文理分科后，文科学生、理科学生的回答就有较大的差异，同类型学校的理科学生回答“不能确定”的比文科生均高出18%～23%.高三学生表现出的水平并未明显高于高二年级，这说明学生对概率的学习精力更多的是放在了计算而不是概念的理解上.
题目2的正确答案为E.高一年级中，重点中学的学生比普通中学表现得还要差一点，正确率低了3.6%，而且更多学生选择C或D选项.普通中学高二年级的学生超过一半人选择了A选项，重点中学也有高达35%的学生认为A选项正确，这个问题在高三年级依然存在.从文理分科来看，普通中学的高二理科学生完成情况最不理想，而普通中学的高三理科学生完成的情况最好，这两个年级理科班的水平差距很大，可能与教师在乎时授课的习惯有关.
2.对频率定义的错误概念分析
学生对于相同的回答有着不同的判断依据.存在的主要错误有：（1）主观判断；（2）预言结果法；（3）机会不能量化及预测；（4）概率值只能通过计算得出，不能由试验得出；（5）频率值就是概率值；（6）小数定律.下面对这六种主要错误类型进行分析.
（1）主观判断
“主观判断”是指学生在观察随机事件时，既没有用理论解释概率，也没有提出用重复试验来验证，而是根据一些已有的信息，给出一个主观的或直觉的估计.对题目1，存在主观判断的学生要么认为这个数学家偷看了袋中的白球和黑球的数目，要么认为黑颜色的球较重，数学家只是拿了袋中上面的球，所以第一次就抽到了白球，要么认为数学家是乱猜的，没有依据.
如MZ100125b这样回答：不准.按照字面意思理解，预言应该是在任何人都不知道的情况下进行的预测，但是题目中的数学家没有达到这个要求.在过程中，他看了袋中的球，所以不可以说这是一个预言.
（2）预言结果法
Konold C提出了预言结果法，他描述这一方法的显著特点是：①预言每次试验的结果；②将概率看做一种预测，因而，在每次试验后就判断说某一概率是预测对了还是错了；③将概率估计建立在因果关系上而不是建立在分布信息上[3].Konold C发现有预言结果倾向的学生会在不同的题目中一贯地使用此错误概念.
持有“预言结果法”这一错误概念的学生往往认为，某一随机事件发生的概率大于50%就很有可能会发生，如果没发生，那一定有什么原因；概率小于50%的随机事件则发生的可能性不大.
对题目1，XH110304g是这样解释的：不准.因为他说抽中白球的机会是30%，而他第一次就抽到了白球，因此我认为他预言机会是30%过于偏小.再如BL100633b的回答是：不准.因为从袋中取出一个白球的机会是30%，说明一个黑球的机会是70%，取出黑球的机会比白球的机会大，结果应该是黑球（取出一个球的）.对题目2，XW090642b选择了A选项，理由是：一次预报降雨的可能性是80%，表示当天降雨的可能性大，实际也下雨了，说明天气预报较准确.
数学家预言摸球这一背景相对来说不太容易引发预言结果法，相比之下，天气预报这一背景看来更容易引发这一错误概念；而且随着年龄的增长，预言结果的错误倾向不会减弱.
（3）机会不能量化及预测
机会不能量化及预测是指错误地认为随机现象是没有规律可言的，是完全不确定的，所有机会是不能量化及预测的，一般有三种表现形式：随机事件是否发生全凭运气，受外部条件的影响较大；对于同一试验每次发生的机会都是不同的，所以机会与概率值无关；随机事件的结果不能预测，从而概率值的大小也不能预测[2].
对题目1，XH100511g（文科生）的回答是：不准.因为从袋中任意取出一个球是随机事件，随机事件的结果具有偶然性与不确定性.而MZ100136bF回答：难说.这个30%只是估计，但实际发生的事情结果还是说不准的，概率也不是100%准确.这位学生把机会当作预言结果的根据了，而结果是不确定的，全凭运气，所以他得出了无法预言哪一结果可能性更大的结论，因此无法比较机会的大小.
（4）概率值只能通过计算得出，不能由试验得出
存有这种错误概念的学生认为概率值就是要通过计算才能得出.相当一部分学生之所以认为数学家的预言不准确，是因为数学家还不知道袋中黑球和白球的确切的数量，因此不能得出取出白球的概率值.
如MZ110428g的回答是：不准.因为他并没有确切地知道袋中黑球、白球的数量，仅仅在搅匀的时候看了一下就加以判断.再如XW100106gF的回答：不准.球的总数不知道多少，概率所需的M、N都不知道，所以无法知道其概率.
学生在学习概率时，主要还是通过看例题、做练习等方式，而所做的题目基本上都是围绕着如何用列举、排列组合等方法计算某随机事件的概率值.事实上，生活中的很多随机事件的概率值是通过大量重复试验，由其发生的频率估计得出的.虽然高中教材中都有通过抛硬币估计概率的试验，但笔者访谈的学生都说高中的概率课没有做这个试验，基本都是看一下电脑演示或者学生自己阅读，教师稍微讲解就一下带过，因此学生对从大量重复试验得出规律的结论只是机械记忆.
（5）频率值就是概率值
这种错误概念的产生在于学生将试验值和理论值等同，该错误概念主要通过对题目2的观察得出.
比如MZ090103g选择了B选项，她的理由是：10×0.8=8.A选项的可能性是80%，但不是100%下雨；C选项中，20×0.8=16≠15；D、E选项同理，故选项B最准确.
（6）小数定律
“小数定律”是对应“大数定律”而言的，持有该错误概念的学生认为试验的次数越少得出的结果越精确，试验的次数越多结果的误差越大.学生往往难以想象，为何重复试验有助于发现规律，而重复大数次比重复小数次获得的规律更可靠.
例如，XH110416bF对题目2是这么回答的：选择B，因为天数越少越准确.在访谈时，他谈了自己的看法：A选项只有一天，不足以说明下雨的概率；但是C、D、E选项，天数越多，误差越大，E选项实际的降雨天数比理论值还多了3天；B选项的“10天”这个天数我觉得比较合适.
3.学生对频率定义的主要错误概念的统计分析
统计结果见下页表3、表4.
预言结果法的倾向在题目2中比题目1更加严重.高一年级有近30%的学生用预言结果法回答了天气的问题.高二、高三年级文理科之间的预言结果的倾向差距达到12%～15%，但总体上人数百分比与高一年级相近.结果说明，预言结果法更容易受题目背景的影响.
对于“机会不能量化及预测”，高一、高二文科，高三文科在题目1中使用这个错误概念的人数百分比都比较接近，在23%左右，而高二理科、高三理科的人数百分比则为5.9%和4.7%.笔者将这个区别归因于两者数学的基本功，即类似于英语学习中的“语感”水平高低的不同.
学生通过在高二期间概率知识的学习后，“频率值就是概率值”这一错误概念从高一的33.8%降低到了17%左右，且到了高三没有“反弹”.有趣的是，其他错误概念一般都是文科生犯得比理科生多，但“频率值与概率值相等”对于无论高二还是高三的理科生，他们的使用率都比文科生高出10个百分点.
从上面的分析来看，学生对频率定义的核心思想，即“事件在大数次重复试验中表现出规律性”的掌握是不够的，有些学生不相信试验，有些学生不认同规律的存在，再加上教学的局限性，学生很难直接观察或者抽象领悟到频率的稳定性，只能被动接受概率的概率定义，从而产生各种错误的概念.在“频率定义”教学中，大数次重复试验观察到的某事件发生的频率与一次试验中该事件发生的机会之间的区别与联系，应作为教学的一个重点，以帮助学生更好地理解该概念.
高中生对“大数定律”的认识存在困难，较难理解随机事件的“不确定性”背后隐藏的规律.虽然他们已经在初中阶段就接触了初步的概率知识，但只有26%左右的学生接受通过大量重复试验来估计概率值.
在概率定义中的“频率定义”教学中，教师应当积极地创设情境，使用多种不同的生活背景来展示概率问题，鼓励学生通过观察计算机模拟实验以及汇总各种试验数据去检查、修正他们对概率的认识.对于概率中的某些问题，即使在同一个答案的背后，也会有各种错误的理由和不同水平的理解，因此教师应要求学生对他们的答案说明理由，从而有针对性地帮助学生提高概率的认知水平.