我教“瞬时变化率——导数”，本文主要内容关键词为：导数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2009年11月24日，在张家港市首届名师教科研成果展示暨第十一届课堂教学改革经验交流会上，本人在张家港市暨阳高级中学借班执教了一堂名师展示课。我遵循“教师为主导、学生为主体、质疑为主轴、效果为目的”即“三主一目的”的目标教学策略评价原则，在多媒体课件辅助下，较好地完成了《普通高中课程标准高中数学实验教科书（苏教版）选修2-2》第1.1.2节“瞬时变化率——导数”的教学任务，也得到了听课教师的高度评价，起到了示范作用。
教学目标：经历割线逼近切线的过程，会求曲线上一点处切线的斜率。
教学重点：体验割线逼近切线的过程。
教学过程：
一、问题提出
由于学生在学习本节内容前没有学习过第1.1.1节“平均变化率”，（在准备这节课前，我本来也准备上“平均变化率”的，考虑到“平均变化率”这个课题已经有许多人开设过公开课，对它的教学大家已经形成了共识。而瞬时变化率即导数只有很少人开设过公开课，大家对它的教学还处于实践阶段，于是我就有了进行尝试的想法。）所以就不可以采用课本中问题提出的方式了。由于瞬时变化率即导数与后续内容中切线的斜率有关系，所以我就提出了如下的问题。
问题1：求过抛物线
上的点P(1,1)的切线l的斜率及方程。
（从学生比较熟悉的直线与抛物线的位置关系入手，让学生回顾用方程思想处理直线与抛物线的位置关系的操作步骤。）
生：设切线l的方程为y-1=k(x-1)（k存在，且k≠0），代入
，化简得到
，由△=0，得k=2。所以切线l的斜率是2，方程是2x-y-1=0。
师：今天老师要告诉大家的是：我们非常熟悉的这种方法已经落后于时代了！在数学发展史上，熟悉但落后的方法往往被先进而陌生的方法所取代。而在经过一段时间的努力后，陌生渐渐变为熟悉，到那时一定会感到创造新方法的必要性。这样的例子举不胜举。如研究平面图形与空间图形问题的坐标法、向量法，再如算法等，原来不也是陌生吗？现在呢，我们就经常采用向量法。今天将要研究的一种求切线的方程的新方法也是如此。由这种方法诞生的一个数学新的分支，在18世纪的欧洲掀起了一场伟大的工业革命“浪潮”，成为现代高科技发展的基础，大到航空、航天的研究，小到原子、电子的研究，都离不开这个数学新的分支。说了半天，到底是什么样的新方法呢？
在学习新方法之前，我们先看下面的问题：
问题2：分别求下列割线
的斜率，其中点P(1,1)在函数图象上。
二、学生活动
思考1：在上述求割线
的斜率时，在a的值依次为0.1，0.01，0.001，0.0001，0.00001，…时，割线的斜率的变化趋势是怎样的？a的值是-0.1，-0.01，-0.001，-0.0001，-0.00001，…时呢？
三、建构数学
教室里沉默了一会，有学生起来回答道：当a的值无限趋近于0时，割线的斜率就越来越接近于2，越来越接近于切线的斜率。
师：能够用数学式子把“当a的值无限趋近于0时，割线的斜率就越来越接近于2，越来越接近于切线的斜率”表达出来吗？
（此刻，教室里一片讨论声。我走到学生当中去，想知道学生们在讨论些什么，课本中的“越来越逼近”“无限逼近”“最逼近”，还没有涉及，我特别想知道学生是怎样思考的。我发现一些学生感到茫然）
一会儿，一位学生站起来说：“平时学习时，我们注意到可以用三种语言来表达数学，也就是自然语言、图形语言、符合语言。刚才表示的应该是自然语言，我们可以从图形变化趋势上去考虑”。
师：那么从图形上观察，割线的变化趋势是怎样的呢？
生：当点
沿着曲线无限趋近点P时，割线在点P附近越来越逼近曲线C，当沿着曲线越来越趋近点P时，割线就和切线趋近
学生回答结束后，我用多媒体课件进行当堂实验，随机取不同的点，观察割线的变化过程。利用多媒体把点P放大，在放大过程中，再次观察割线的变化过程。
观察之后，刚才发言的同学补充回答“当点沿着曲线无限趋近点P时，割线在点P附近，而且这条直线和曲线本身无限逼近。当沿着曲线越来越逼近点P时，割线就和切线逼近”。
师：你怎么想到“逼近”这个词的？
生：我观察割线的变化过程时，想到了双曲线的渐近线概念，它们之间有点类似。
我和其他学生禁不住给他鼓掌。
师：数学上常用符号“→”表示趋近、逼近的含义。如果我们用这个符号，割线的变化趋势怎样表示呢？
一个学生板演：
从图形上看割线的变化趋势：
；在点P附近的曲线→直线；割线→切线。
又一位学生板演，修改为：；在点P附近的曲线→直线（直线代替曲线）；割线→切线。
师：当点无限逼近点P时，在点P附近，直线代替曲线。就是通常所说的“以直代曲”的数学思想方法。类似的，割线斜率数量上变化趋势又可以怎样表示呢？
师：
，是用来刻画曲线上某一点处的变化趋势。数学上把它称为瞬时变化率。它如同物理学中的瞬时速度、瞬时加速度一样。瞬时变化率就是导数，由它产生的数学分支就是微积分。微积分在实际生活中有着广泛的应用。在后续内容的学习中，我们将要学习。而割线斜率逼近切线斜率是“以直代曲”的一种数量化。
设曲线C上的点P(x，f(x))、Q(x,△x，f(x+△x))，那么割线PQ的斜率为多少？它的变化趋势怎样？
生：虽然此时点P可以看成是曲线C上的任意一点，但割线PQ的斜率还是可以用斜率公式求得。割线PQ的斜率
。那么可知△x→0，意味着Q→P，
。
师：在
与P(x,f(x))处，求割线PQ的斜率时方法是一样的，它们的不同之处在哪里？
生：是在一个点P处的导数，而P(x,F(x))是曲线C任意一点处的导数。前者是特殊，后者是一般。如果曲线c任意一点处的导数都存在的话，那么在某个特殊点的导数也存在，反之不能成立。
四、数学应用
师：请同学们完成下面两个练习题。
练习1 利用直尺，用割线逼近切线的方法作出曲线在P点处的切线。
一位学生一边说一边画（板演）：在曲线上，点P附近取点Q，得到割线PQ，然后让点Q沿着曲线越来越趋近点P，当点Q沿着曲线越来越逼近点P时，割线PQ就逼近点P处的切线。
练习2 求抛物线上的点P(2，4)的切线l的斜率。
生：取点
，求得割线PQ的斜率
，当△x→0时，
，所以切线l的斜率等于4。
五、回顾反思
方法：学会了用割线逼近切线得到切线，用割线斜率逼近切线斜率得到切线斜率。
数学思想：经历了“以直代曲”“特殊与一般”“数形结合”等数学思想方法解决问题的过程。
六、课后作业
课本第11页练习第2、3、4题。
七、课后反思
1.本节课值得肯定的地方
(1)在掌握学生数学学习心理的基础上进行课堂教学设计和实施。站在学生的角度去思考、观察、审视，学习过程中会有哪些困难、疑问、障碍。从学生熟悉的求切线斜率入手，借用信息技术做实验，而不是演示。这个处理的细节表明学生不是在被动接受，而是在经历割线到切线这种量变到质变的过程，正是因为学生经历了这个变化过程，才能通过观察给出用自己的语言来表述的逼近过程将大段讨论内容浓缩为
，为用“瞬时变化率就是导数”刻画曲线上一点处的变化趋势铺平了道路、扫清了障碍，引入“瞬时速度、瞬时加速度”加深了理解，也是学生高中数学学习的一次飞跃。
(2)体现了“用浅显的问题揭示深刻的道理，用简单的问题展示复杂的道理，用形象的事物表现抽象的道理，用特殊的事例研究一般的道理”的教学理念。
(3)尊重教材，但又不囿于教材，体现了一定的智慧与创新精神。
2.本节课值得改进的地方
(1)问题1中求切线的方程与整个教学过程没有关联，可以去掉。这说明在细节处理上还要更加精致一些。
(2)从学生当堂反应来看，变化到P(x,f(x))时，少数学生还不能体会从特殊到一般的过程，可以借用多媒体进行当堂实验，让学生充分理解特殊到一般的过程。这样有助于学生形成一种结构化的认知结构。
(3)少数学生在练习2求切线l的斜率时，还是取几个点，分别计算它们的斜率，通过看变化趋势得到切线l的斜率。产生这个想法的原因是对“
，Q→P，”不理解。为什么不理解呢？是因为教学过程中没有对“
、△x→0”的意义讨论清楚。可以说这是本节课的败笔，也为我以后更加细致的组织概念教学提供了借鉴。