让习题教学走向深刻，本文主要内容关键词为：习题论文,深刻论文,走向论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在组内研讨活动中，两位老师执教“三角形面积（练习）”：图中哪几个三角形的面积是平行四边形面积的一半？为什么？不同的处理方法引起了我们的思考。
一、教师甲的教学
师：我们已经会计算平行四边形和三角形的面积，要知道哪几个三角形的面积是平行四边形面积的一半，我们可以怎么办？
生：算一算就知道了。
师：那就请同学们算一算。
……
师：我们来比较一下，这几个三角形的底和高与平行四边形的底和高有什么关系？
学生将前三个三角形逐一与平行四边形比较后，教师引导学生得出：等底等高的三角形和平行四边形，三角形面积是平行四边形面积的一半，并齐读。
师：再把第四个三角形的底和高与平行四边形比较，你发现什么？
生：底和高都不相等。
师：底和高都不相等我们就采用计算的方法比较它们的面积。
二、教师乙的教学
师：先观察一下这几个图形，你发现了什么？
：前四个图形的高相等。
：第一个三角形的底与平行四边形的底也相等。
师：先独立思考，你准备怎样来判断哪几个三角形的面积是平行四边形面积的一半？再在小组内交流。
学生小组交流后汇报。
：第一个三角形和平行四边形等底等高。平行四边形的面积＝底×高，而三角形的面积＝底×高÷2。所以，三角形的面积是平行四边形面积的一半。
：第二、三两个三角形和平行四边形高相等，但底不相等。所以，三角形的面积不可能是平行四边形面积的一半。
师：为什么语气这么肯定？
：（跑到黑板前指着平行四边形和三角形的面积计算公式）你看它们的面积计算公式，相乘的两个数一个相等、一个不相等，积也就不相等。所以，三角形的面积不可能是平行四边形面积的一半。
教室里爆发出热烈的掌声。
师：由此看来，我们可以得出什么结论？
：如果三角形和平行四边形等底等高，那么三角形的面积是平行四边形面积的一半。
师：那第四个三角形面积呢？
：不是平行四边形面积的一半，因为它和平行四边形既不等底，也不等高。
师：听起来挺有（道理！）
没等老师说完，就引起了一片反对声。
：我算过了，这个三角形的面积是4×3÷2=6（平方厘米），平行四边形的面积是3×4=12（平方厘米）。三角形面积是平行四边形面积的一半。
师：题中没说每个小方格边长是1厘米呀！
：可以假设嘛！
师：不算能行吗？
：我看行！三角形的底等于平行四边形的高，而高等于平行四边形的底。所以三角形的面积仍然是平行四边形面积的一半。
：相当于把两个乘数交换了位置，积不变。所以三角形的面积还是平行四边形面积的一半。
师：那是不是我们刚才的结论错了？
同学们陷入了深思。不一会儿，举手的同学渐渐多起来。
：结论没错。是老师您理解错了！（同学们大笑）这句话并没说既不等底也不等高的三角形面积一定不是平行四边形的一半。
：这句话正过来说是对的，反过来说就不对了！如果三角形的面积是平行四边形的一半，它们不一定等底等高。第四个三角形与平行四边形就是这种情况。
：那是不是得三角形的底等于平行四边形的高，而高等于平行四边形的底呢？
师：同学们怎么看？
：这可不一定！我来举个例子。三角形的底是6，高是2，它的面积也是平行四边形的一半。
师：那只要具备什么样的条件，三角形的面积就是平行四边形面积的一半呢？
：其实，刚才有同学提到了。只要三角形与平行四边形的底和高的乘积相等，三角形的面积就是平行四边形面积的一半。
师：通过刚才的讨论，你有什么体会？
：一句话正过来说正确，反过来却不一定正确。
：反过来该怎么说才对，我们得结合例子仔细思考。
：我们考虑问题得全面、严密，不能想当然。
……
三、思考
1.定向牵引还是放手观察？
教师具有什么样的教学观决定了教师如何处理每一个细小的问题。在课后的交谈中，教师甲谈到：“我班的学生基础较差，不大可能自主发现等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。且第四个三角形与平行四边形既不等底又不等高，所以采取计算的方法对我班而言能面向全体，简单易行。”正是基于这样的认识，教师甲一开始就用语言暗示学生通过计算进行比较。在这一既定方略的指引下，学生顺利地“发现”第一和第四个三角形的面积是平行四边形的一半。计算之后，教师也引导学生比较得出了结论且似乎得出了一个比较方法：如果等底等高就能肯定三角形面积是平行四边形的一半。如果既不等底也不等高就采用计算的方法。真的如教师甲所说的“不大可能自主发现”吗？课后，我们在其他几个未实施教学的班级按学生的水平层次进行抽样调查：观察这组图形，你发现什么？结果是包括教师平时认为数学水平较差的学生80%以上能发现几个图形的等高，60%以上的学生能发现第一个三角形与平行四边形等底。由此看来，不是学生没有观察、发现的能力而是教师的观念在作祟。教师的定向牵引使学生失去了一次很好的观察、思考、发现的机会，习题的教育价值大为流失。在教师乙的课堂实践中，引导学生对三角形和平行四边形的底和高充分观察、比较后，思考：怎样来判断哪几个三角形的面积是平行四边形面积的一半？并没有把比较的方法限定在计算上，而是更注重运用概念、公式“判断”。虽然这里的三角形与平行四边形之间的关系与上一节课推导三角形面积公式时两个完全一样的三角形与平行四边形之间的关系有了拓展，但有了充分的观察为基础，就会促发学生进一步观察、思考：三角形与平行四边形底和高的关系与面积的关系有什么关联？这就使运用两种图形公式的联系进行思考成为可能。
2.就事论事还是融会贯通？
简单化的处理会让学生很快知道第一个问题的答案，但本题的价值在于后一个问题“为什么？”教材并没有为了计算和表达的方便写上“每个小方格边长为1厘米”，显然并不主张通过计算了事，而是希望引发学生的观察和思考。教师甲让学生用计算的结果来回答“为什么”十分苍白而令人遗憾！抑或说放弃了对“为什么”的教学。而教师乙则引导学生在研究三角形与平行四边形底和高的关系上大做文章。先是从相对抽象意义上，就公式的关系对等底等高的三角形面积是平行四边形的一半作出解释。对两个反例的研究中，教师智慧的追问促发学生组织起相关旧知“积的变化规律”对新知进行纵向的理解和解释，这才是理解式学习！在对第四个三角形的研究中，教师仍然没有满足于通过计算就事论事地解决这一看似只能通过计算解决的问题，而是通过“题中没说每个小方格边长1厘米呀！”“不算能行吗？”的追问把学生的思维向纵深推进。从而抛开具体的问题，上升到运用乘法交换律进行解释的理解层次。最后的引导学生自主举反例研究，更是让学生从“积不变”的层面对三角形面积是平行四边形面积一半的必要条件作出了令人叹服的解释。最后，教师引导学生谈研究的体会是对思维过程的反思，形成的是元认知领域的科学观和方法观的认识。坚持这样的总结与反思对学生的可持续发展具有长远的意义。
3.“就地正法”还是“欲擒故纵”？
对一个知识的教学如果从正面过度强化，往往会违背我们的良好初衷。比如单一强调“等底等高的三角形面积是平行四边形的一半。”会让学生面对“三角形的面积是平行四边形的一半，则它们等底等高”这一命题时义无反顾地认为完全正确。究其原因，我们在教学时没有对结论成立的充分条件和必要条件进行研究。因此，我们有必要对一个命题进行反向厘定，对它的否命题、逆命题作出理解性的判断。当然，这样的教学并不是逻辑意义上的教学，而应当以具体的表象作支撑得出结论。当学生运用底和高的关系判断第四个三角形与平行四边形面积关系时错误地运用已有结论的否命题，教师并没有居高临下地“就地正法”，而是以支持者的平等身份“肯定”这一想法，让出错的学生体面地坐下并愉快地经历自我省悟的过程。同时，教师将自己置身于真理的对立面，更能引起学生的“群情激愤”，从而在情感上获得战胜权威的情感体验。学生首先从具体的计算上否定了教师的结论，获得初步的积极情感。教师的追问“那是不是我们刚才的结论错了？”再次将自己置身于平等的讨论者的地位，激发学生进一步展开讨论。学生从逻辑上和反例中作出解释。学生针对特殊反例提出的问题，教师仍然“欲擒故纵”，让学生通过自主举例完善对逆命题的理解，明确了原命题的逆命题不成立。教师还通过提问引导学生对获得的认识进行总结，对逆命题如何修正给出解释：如果三角形的面积是平行四边形的一半，则它们底和高的乘积相等。教师从正面引导学生得出的结论则让学生明确了“三角形的面积是平行四边形的一半”的充分必要条件是“底与高的乘积相等”。这样也就明晰了原来的命题与这一命题条件的种属关系：充分条件与充要条件，深化了对获得的结论的理解，也完善了认知结构。
标签：平行四边形论文;