数学教学设计的新视角——解题教学关键环节的处理，本文主要内容关键词为：数学教学论文,关键环节论文,新视角论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学教学所要传授的数学知识是相对固定的，但是通过何种手段来传授已经设定了的数学知识，却非固定不变.它随着教师预设的教学目标不同，怀有的教学观念不同，获得的教学经验不同，对数学知识性质的理解不同，对学生认知特征的把握不同，存在着多种选择余地.不同的教学设计对促成学生数学发展的结果大相径庭.这种区别不是体现在数学教学的整个过程中，而是体现在教师对数学知识发生的关键环节处理上.本文以解题教学举例加以说明.
一、数学解题的一般心理过程
在具体论述数学解题教学设计的关键环节之前，我们大致地描述外在数学材料在人的心理上生成数学结构的过程.主体已经掌握的数学知识与数学观念相结合，做成了富有能动性的知识框架.主体利用这一知识框架来处理外在信息，从而意识机能掌握，并富含了解决新数学问题的工具（数学知识框架）.那么，知识框架这一工具是如何套用外在信息的呢？
如图1，要达到解决问题，就必须经由思维对外在信息进行过滤、比较、辨别等一系列活动，从问题提供的众多表象信息，乃至附加想象的信息中选择出一项，或将其几项相关联形成支点式信息.思维活动依据这一支点式信息，调用众多附着在数学观念上的知识框架，从中大致地选择出其中的某一个，将问题提供的、除支点式信息以外的诸多信息吸附到这个知识框架的周围.这些信息在知识框架的比照之下，经由思维活动对它们进行组合、调整与重组等一系列的运作，使它们构成一种虽然还是不稳定的，但却形成了相对有序的结构轮廓（数学知识结构的雏形）.
到此，我们选择出了“知识框架”来套用问题所提供的外在信息，从而，获得了客观问题信息所生成的“结构轮廓”.思维活动将这两者置于自己的“工作台”上，对知识框架与结构轮廓中需要对应的元素、项目、子结构等分离出来，进行对比、比较.首先，检查外在信息生成的“结构轮廓”所提供的元素等是否充分（完成知识框架结构的要求），其次，查看“结构轮廓”中的元素的位置与“知识框架”中相应的元素的位置是否相吻合.如果这两项条件都满足，问题就被解决了.如果知识框架与由数学思维形成的“结构轮廓”不想匹配，主体的思维活动就要再行挖掘信息，重新组织信息，以此补充不足的信息，调整“结构轮廓”与知识框架信息元素位置存在差异的地方.如果无法补充，或调整，就有可能要更换支点式信息了，选择另外的知识框架，重新构作出外在信息的结构轮廓，以此循环往复.
通过对数学知识结构创生的心理活动过程的揭示，我们发现，感官的感知只是信息入门的向导.经由它只能获得外在的一些鲜活信息的个别特点和表面形式，因此，只依赖于感觉是极难解决数学问题的.解决问题中的每一步，思维活动中的数学观念都参与其中，而且起着极其重要的作用.这正是数学教学促进学生素质提升的关键所在，也是素质教育的要旨之所在.
二、数学解题教学设计的关键环节举例
数学解题必须要运用学生已经掌握了的数学知识，经由意识机能的发挥，作用于数学问题，否则问题不可能自行解决.我们从图1中就可以知道，要运用数学知识，必须要从问题所供给的外在信息中，获得支点式信息，由支点式信息组织成近似于知识框架的结构轮廓.在这一过程中，生成支点式信息极为重要.数学解题教学设计的关键环节就在于此，是将这种支点式信息所决定的知识轮廓直接给学生，还是让学生自己去创生，抑或将这两者结合起来达到一种平衡？这要依据具体的问题而定了，也是教学设计的灵活性、创造性所在，我们不能给出一种万能的方法.为了说明问题的需要，我们举一个例子.
这种解法真的是十分优美简洁，是在“不等式放缩”的观念指导下，花费了许多时间.进行了许多次试探，而碰运气得到的.如果教师不加变更地把这种自己长时间探究获得的思想直接教给学生.那就将会失去数学知识发生的砥砺学生思维能力发展的价值.我们知道，教师在解答问题时，出于自己专业领域与充足的时间思考，对自己的解答过程能够充分反思，解答窍门的发现、方法的获得、思想的形成是会有保证的.学生由于多门功课的压力与掌握数学知识与方法的层次性，很难有时间保证达到教师的思考深度与深入的层次.
就本例的这种解答的方法而言，在课堂教学中，如何处理将由③式的信息出发，构造出④式与⑤式这种套用外在信息的知识框架呢？是直接移交给学生吗？这最容易，教学中生成知识的效率也是极高的.但如此执行教学有弱点，学生必然要提出，由③式，怎样想到设出④式与⑤式的？如何回答学生的这一提问呢？这就构成了数学解题教学设计的关键环节.在一节课中.把握住了知识发生的关键环节.就获得了集中精力打歼灭战，或者说起到了画龙点睛的作用.教师的教学可以取得事半功倍的效果.
三、教师将知识发生的逻辑过程转化为学生知识发生的心理过程
如此，就需要教师将其进行深度思考的知识发生的过程转化为学生心理发生的过程，否则，就只能说，教师将数学知识强加给了学生.教师提供模型，学生吸收模型，进行强化训练达到熟化数学解题方法的目的，这与数学教育目标格格不入.如此，数学教学设计的关键环节就是最为考验教师的地方，是高素质教师与一般教师的差别所在，也是教师的创造性才能表现之处.针对本例，各个教师将有不同的处理方法，但是理想的教学设计，就是要达到这种证明探究不等式的分项放缩的方法，经过教师的有效教学，使学生从心理上自然地发生.这里提供作者教学的片段实录，供同行参考：
生1：这里的底数a不明确，首先讨论，a＞1或0＜a＜1.先看a＞1，那么，⑦式是增函数.再来考虑将⑦式放大或缩小来达到目的.
师：虽然生1没有继续下去，但他的想法给了我们的启示.我们就设定a＞1，现在是如何将⑦式进行放缩，大家拿出演算稿纸，来进行试探.
（教师没有直接将“分项放缩”这种数学观念提供给学生，而是采用了鸟瞰式的模式向学生进行“一般性”观念的提示.学生又经过一轮试探，终于有学生解决了问题）
生2：老师，我们可以如此运作使问题得以解答（生2的解答就是我们所给的⑥式）.
师：请上黑板向大家汇报.
当然，在实际解题中，教师其实利用外在的问题信息，经过了多次实验，才得到这一套用信息的框架.而正是教师有了多次实验和深入思考的启示，教学中就可以将获得思路的详细过程进行相应的浓缩，既不把知识强加给学生，又不失引领学生创造的机会，向学生提问的内容就把握了问题的关键之处.
教学中，由于课堂时间太宝贵，学生不可能完全靠自己去创造.大多数情况下，这是不现实的，也是不可能的，甚至是有害的.教师经过自己的深入思考，获得了解决问题的有效方法，这无疑对教师进行有效教学产生极大的帮助，但这还不够.教师必须要把经由他的创造性发挥得到的解题的简洁方法，变成促使学生创造的手段，经过一步步启发，导致学生自己获得解决问题的方法.而既不是将解决问题的知识框架直接地移交给学生，也不是将这种套用外在问题信息的框架完全让学生去创造.应找到一种手段，把握好这两者之间的平衡，这是教学设计最为重要的一个环节.对此，数学教师应保持高度的警惕.