高考中线性规划问题的解法讨论，本文主要内容关键词为：线性规划论文,解法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
自从高中数学新增了线性规划知识点后，有关线性规划的问题越来越受到重视，题型也越来越丰富。从最初的简单判断可行域、求最值等问题在向求非线性目标函数的最值、比值、距离以及已知最值求目标函数中参量取值的逆向问题转变，在全国卷中甚至出现了和导数融合的综合性问题，可见线性规划在现在高考中的份量。纵观近几年全国各高考试卷中出现的关于线性规划的问题，对题型和解法做一些探讨。
一、截距法
平移直线法是解决线性规划中最优解问题的基础，其一般求解步骤如下：1.设变量x，y；2.列出约束条件和目标函数f(x，y)；3.作出可行域，平移平行于直线f(x，y)=0的直线束，求出最优解。
图1
进一步讲，上述的方法也可以在目标函数是z=ax+by型时说明：①当b＞0时，动直线向上平移，z值越大，向下平移，z值越小；②当b＜0时，动直线向上平移，z值越小，向下平移，z值越大。
评析 这种方法是线性规划问题中最基础，也是最常用的方法，图形直观，线条简单且区分比较明显，作图要求不是很高。一般学生都喜欢这类方法。但要注意的是很多人简单地认为动直线越向上平移，z值越大；越向下平移，值就越小。要考虑z=ax+by中y前面的系数正负问题。
二、代入检验法
图2
解析 教材上也讲到，对于可行域是一个凸多边形区域，变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。本题的关键是能正确作图并找到该点。在高考考场上，学生一般不会用尺规进行非常严格标准的作图，使得在平移直线时不能准确、快速地确定附近几个凸多边形的顶点中哪一个是正确目标。通常可以这样做：先通过作图找到附近疑似点的坐标，然后代入目标函数去检验，最大或最小即是所求结果。
评析 本题解法比较实用，在解题时既能迅速找到答案，又不易出错，这在考试时显得尤为重要，适用的范围：线条较多，凸多边形的顶点或边所在直线相对靠近，变动直线的最佳位置不易通过观察图形而得到的情况。
三、比较斜率法
评析 在教材的原解题过程中，对作图的精确度要求非常高，在平移时部分学生就出现了问题，在短时间内不能准确找到最优点。而用比较斜率法，在确定最优点时就非常轻松了。
四、向量法
图3
图4
图5
评析 可以看出向量在解决此类问题的便利之处，这也是向量的魅力之一。向量方法用得好，可以使得过程简明，使学生明白数学知识之间是相通的，数学方法是交汇的，锻炼学生多角度考虑问题，培养学生的多向思维。
五、目标函数非线性的解法
在高考中还出现了求目标函数是非线性函数的最值问题，例如在约束条件下求斜率、距离等问题，这些问题在数形结合方面更典型，而且这样的问题在近些年出现的频率越来越高，因此把它们单独列出来探讨。
1.比值问题
图6
图7
3.逆向问题
例7 （2006重庆）已知变量x、y满足约束条件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2。若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点(3，1)处取得最大值，则a的取值范围为______。
图8
解析 先作出约束条件的可行域（如图8中的阴影部分）。目标函数z=ax+y变化为y=-ax+z。通过图像分析，最值有两种情况：①当斜率-a＞0且-a＞1，即a＜-1，z为最小值；②当斜率-a＜0且-a＜-1，即a＞1，z为最小值。因为a＞0且要求最大值，故a＞1。
在上述关于比值、距离等约束条件是非线性目标函数的最值或已知最值求目标函数中参量取值的逆向问题时，首先识别其几何意义，然后在图像上进行分析、求解。