Heston模型下离散几何平均亚式期权定价
陈有杰
(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541004)
[摘 要] 本研究在标的资产价格满足Heston随机波动率模型下讨论基于资产价的离散几何平均情形的亚式期权定价。 应用半鞅It
公式、多维联合特征函数、Girsanov测度变换和Fourier反变换等随机分析方法，推导出了基于资产价的几何平均亚式期权的定价公式，最后给出了数值计算实例，并分析了波动率参数对期权价格的影响。
[关键词] Heston模型；亚式期权；Fourier反变换；几何平均
0 引言
期权是风险管理的核心工具，如何给期权定价，自然是一个非常重要的问题。1973年Black与Scholes在股票价格服从几何布朗运动，利率和股票波动率均为常数的假设下，给出了欧式标准期权定价模型，即著名的Black-Scholes公式[1](记为B-S模型)。后来人们发现从期权市场数据计算出的波动率表现出波动的聚集性和微笑现象，这表明B-S模型计算的期权价格与实际市场表现存在一定偏差。为了解决这些偏差，许多学者对B-S模型进行了改进，如Merton[2]和Kou[3]等学者在标的资产的动态模型中引入跳跃风险，建立的跳扩散模型(Jump-Diffusion，简记JD模型)，并给出了类似B-S 模型的期权定价公式；另外，Heston[4]、 Hull和 White[5]以及Stein 和Stein[6]等学者设定资产的波动率是随机变化的，以资产波动率的随机变化过程来刻画波动的聚集性和微笑现象，建立了随机波动率模型(Stochastic Volatility，简记SV模型)。随后，Chen和Scott[7]、Bates[8]、邓国和和杨向群[9]等学者发现把跳跃因素和波动率随机化结合起来能更好地刻画金融市场波动的聚集性和微笑现象。
亚式期权(Asian options)是一种路径依赖型期权(Path-dependent options)，它的最终收益依赖于期权有效期标的资产价格的平均值，该平均值可以是资产价的几何平均和算术平均，记为标的资产价格从0时刻到T 时刻的平均值，则
算术平均(J T )
自主研发的多种物料分立共存吸波升温新方法采用如图2中的微波设备，将多种物料独立分装，均匀放置于转盘四周，开启微波辐射一定时间后，使用红外成像仪一步测试全部物料的表面温度。
离散情形
一是对不同人员的培训内容分类上不够细化。厅直属各单位尽管每年明确了培训的方向、制定了培训计划，但是对不同级别、不同群体开展培训的内容细化程度还不够。二是培训内容和形式上对实际工作的指导性需要增强。在日常干部教育培训工作中更多地重视理论知识的学习，而缺乏足够的实际案例教学环境，有组织、有目的、有针对性的实践教学相对较少。 三是培训内容设定的广度不够。很多单位为了工作效率，更多地重视业务知识的学习培训，而对现代管理、科技信息化、文化建设、人文素养等方面知识的培训却相对较少，这样就直接影响队伍综合素质的全面提升。
连续情形，
2.2 不同感染程度患儿hs-CRP、β-hCG、PCT检测结果比较 重度感染患儿hs-CRP、β-hCG、PCT水平均分别高于中度及轻度感染，差异有统计学意义(P<0.05)。见表2。
根据调查研究显示，低压配电系统都设置有保护装置，但大多数保护装置在实际运行中并未发挥其真正的作用，它们大多存在许多问题，比如对漏电的情况不能及时发现，导致火灾和触电现象的发生，上下级之间保护开关整定选择，断路器和隔离开关配合选择等，这些不仅严重威胁人的生命安全还会损害国家的财产。
几何平均(J T )
亚式期权可以根据到期日的收益分成两类[10]37-39，218-288：
在互联网的飞速发展下，数据在生活之中所扮演的角色也变得十分重要，爬虫系统也逐渐成为数据获取的主要方式，通过本文所实现的票务查询系统可以对爬虫系统进行一个初步的了解。
固定执行价格亚式期权：C (S ,T )=(J T -K )+或(K -J T )+，
其中i 为虚数单位，B k =B [t m-k +1-t m-k ,q (u n-k +1)
可见，m =1时，结论成立。
1 市场模型与预备知识
考虑一个无套利无摩擦的金融市场。假设投资者将其财富仅投资于市场中的两种资产，其投资时期为[0,T ]，其中一种资产B 是无风险资产(如债券或存款)，其收益按无风险利率r ≥0(常数)连续复利计算。另一种是风险资产S (如股票)。假定完备概率空间(Ω，F，(Ft )t≥0 ，P )具有满足通常条件的σ -代数流Ft ，Ft 由W t 和B t 联合生成，根据Duffie[14]选取特定等价鞅测度的思想，本研究假设概率测度P 为风险中性测度，且条件数学期望E P [·]是基于概率测度P 下计算。在此概率测度下，股票价格S t 满足下列微分方程：
(1.1)
其中σ ,κ ,θ ,ρ 均为常数，2κθ ≥σ 2。此模型称为Heston[4]随机波动率模型。
注 1： 令ρ =1，σ =κ =θ =0，则V t 为常数，模型(2.1)变成经典的B-S[1]模型。
令X t =lnS t ，由It
公式，方程(2.1)变为
(1.2)
引理 1.1[15]：设0=t 0<t 1<t 2<…<t m =T 为[0,T ]中的m 个时间点，m ∈
+，且m ≥1。记X T =(X t1 ,X t2 ,…，X tm )T 是m 维向量，u =(u 1,u 2,…,u m )是m 维实数向量，则(X t1 ,X t2 ,…，X tm )基于t 0时刻的联合特征函数为
(1.3)
浮动执行价格亚式期权：C (S ,T )=(S T -J T )+或(J T -S T )+.
其中f (u )是随机变量X 的特征函数，则
且A 0=0，
螺栓在使用过程中，由于受力张拉、螺栓变形、螺帽松动等原因造成托架连接松动，而托架角钢的刚度又较小，上螺栓在变形过程中在承受拉力和剪力的同时，还要承受对螺栓性能影响最大的弯曲作用，从而降低了螺栓的使用寿命和耐久性[3]。
(1.4)
(1.5)
其中
推论 1.1[4]：若股价满足Heston模型，则执行价格为K ，到期日为T 的标准欧式看涨期权在时刻的价格为
(1.6)
其中
(z )表示z ∈
的实部，
2 主要结果
本节在股价满足Heston模型的条件下，应用多维特征函数，Girsanov测度变换和Fourier变换方法，推导出基于资产价的离散几何平均亚式期权的定价公式。
2.1 亚式期权定价
考虑离散情形几何平均固定执行价格亚式看涨期权，其它情形的亚式期权可类似讨论。
定理 2.1 在Heston模型下，具有m 个离散时间点0=t 0<t 1<t 2<…<t m =T 的基于资产价的离散几何平均亚式期权在0时刻的价格为：
(2.1)
其中
证明： m =1时，根据风险中性定价原理得
=E p {e -rT (J T -K )+}
=E P {e -rT J T 1(Jt1 >K )}-E P {e -rT K 1(Jt1 >K )}
=I 1-I 2
2.3 处女蝇的收集时间探讨 无论是哪种方法收集处女蝇，时间的控制对处女蝇的收集都很重要。果蝇在接种以后，前期羽化的果蝇中雌果蝇数量较多，而羽化2～3批次后雄果蝇数量偏多。原因是当培养基中的营养成分减少，雌蝇的发育受到限制，雄蝇却发育正常。但是在杂交实验亲本选择时，一定要优先保证处女蝇(即雌蝇)的数量。因此，在果蝇接种后每隔1周要在培养基表面加入2～3滴营养液，以保证整个培养过程中雌蝇发育所需的营养，平衡雌雄蝇羽化的比例[4]。同时，也尽量根据果蝇的培养时间来收集处女蝇，确保杂交实验的成功。
(2.2)
再利用分布函数与特征函数的唯一性及Fourier反变换，即应用公式
I 2=Ke -rT P (J t1 >K )=Ke -rT P (lnJ t1 >lnK )
(2.3)
计算I 2，
收集转染后的对数生长期的SUNE-1细胞，提取蛋白后，用BCA蛋白质测定试剂盒定量测定蛋白浓度。通过SDS-PAGE分离后，将蛋白转移至PVDF膜中，BSA液封闭30 min，EGFR一抗(1∶1 100)4℃孵育过夜，用含有的TBST溶液洗膜3次，每次10 min，在室温下孵育二抗(1∶5 000)，封闭1 h。使用ECL显影液检测目标蛋白的表达水平，GAPDH用于蛋白内参对照;实验重复3次。
F (x )=P (X ≥x )
笔者通过预试验比较了分别以乙腈-0.05%磷酸溶液[15]、乙腈-0.1%磷酸溶液[16-17]、乙腈-0.75%冰醋酸溶液[18]作为流动相时对色谱图的影响，发现以乙腈-0.75%冰醋酸溶液作为流动相进行梯度洗脱时获得的色谱峰尖锐、基线漂移较小、分离度良好，且色谱峰信息丰富。故选择乙腈-0.75%冰醋酸溶液作为流动相。笔者还比较了221、230、254、275、300、330、365 nm各检测波长下获得的色谱图，发现在275 nm波长下获得的色谱峰分离度良好、信息丰富，指纹图谱的整体特征较稳定。故选择275 nm作为检测波长。
(2.4)
2016年，宁波一院依托云医院平台，建设“远程医疗服务中心”，开放3个云诊室，可以开展内分泌科、心内科等6个专科诊疗科目。借助这一系统，患者在社区就可以联通三甲医院医生，完成上述科目的线上问诊服务。
(2.5)
其中
(2.6)
计算I 1，应用Girsanov测度变换，定义一个新的概率测度P 1如下：
显然，上述Radon-Nikodym导数存在且
由Girsanov定理可知，概率测度P 1等价于P ，则
辅助系统是船舶轮机内部重要构成部分，在进行船舶轮机检查时，要将该系统作为重点检查对象，以便在辅助系统正常工作下，为轮机功能发挥提供保障。辅助系统以供给系统为主，能起到储存和供应油料的作用。待使用的船舶油料可储存在系统内。在船舶航行过程中，油料经过燃油管道传输到船舶，是保证船舶航行任务有效完成的关键。这一系统的缺陷，体现在滑油舱缺陷、燃油舱缺陷以及运输管道缺陷等方面，在检验时应加大这方面的检查，确定缺陷产生原因并提出具体应对措施。例如，当燃油舱和滑油舱之间缺少有效的隔离措施时，这两种油会混合在一起，从而出现船舶轮机运行故障，不能支持船舶良好航行。
I 1=S 0P 1(J t1 >K )=S 0P 1(lnJ t1 >lnK )
(2.7)
其中
(2.8)
由于亚式期权的价格比标准化的欧式期权的价格便宜，所以在金融市场上，它倍受投资者的青睐。近年来，在学术界，亚式期权定价问题的研究也吸引了众多学者。Dubois和Lelievre[11]在B-S模型下利用偏微分方程推导出了亚式期权的显示解；刘宣会和徐成贤[12]在跳扩散模型下讨论了算术平均亚式期权定价问题，将其简化为类似欧式期权定价问题；Bayratar和Xing[13]利用快速数值逼近法得到跳扩散模型下亚式期权价格的近似解，等等。本研究结合Heston随机波动率模型和基于资产价的离散几何平均，进行亚式期权定价的研究探讨。
m =2时，具有2个离散时间点0=t 0<t 1<t 2=T ，根据风险中性定价原理得：
=E P {e -rT J T 1(JT >K )}
虽然蔬菜的腌制已经有非常悠久的历史，腌制的蔬菜深受人们的喜爱，但是这些腌制的食品中含有亚硝酸盐，亚硝酸盐的含量如果过高，人体在食用之后不仅会出现组织缺氧等现象，严重时还会引发癌变[6]。对食品中的亚硝酸盐进行具体测定时，需要与实际情况进行结合，将所有样品的温度控制在35℃以下，并且保证一定的干燥性。脂对亚硝酸盐含量测定的影响如表3所示。
-E P {e -rT K 1(JT >K )}
=I 1-I 2
(2.9)
计算I 1和I 2，
I 2=Ke -rT P (J T >K )=Ke -rT P (lnJ T >lnK )
现有分析为中国乳制品进口贸易研究的深入开展奠定了较为丰富的理论基础。目前国内学者针对中国乳制品进口贸易的研究以定性研究为主，对乳制品进口的定量研究相对匮乏。那么，导致中国乳制品进口不断增长的关键因素是什么?如何既保证进口量，满足国内市场的需求，又不对国内乳制品行业造成负面冲击?在新的形势下，为确保中国乳制品市场的安全性，在进口政策方面应进行哪些调整?
(2.10)
其中
(2.11)
I 1=S 0P 1(lnJ T >lnK )
(2.12)
其中
=
(2.13)
可见，m =2时，结论也成立。用同样的方法也可证得m =3时结论成立，进一步由数学归纳法可得(2.3)式，证毕。
3 数值结果与分析
本节主要以固定执行价格亚式看涨期权为例，运用Matlab 2016b和Mathematical 11.0
软件编程计算，分析比较了Heston模型下离散情形几何平均亚式期权和欧式标准期权价格的变化情况，并分析了Heston模型的主要参数对亚式期权价格的影响。模型的主要参数选取如下
表1 Heston模型下亚式期权和欧式标准期权价格比较
首先，在Heston随机波动率模型下，比较离散情形几何平均亚式期权与欧式标准期权价格随股价变化而变化的情况。由表1，我们可以看到，两种期权的价格都是随着股价的增加而增大，且离散亚式期权价格随着m 值的增大而增大。而且，亚式期权的价格比欧式标准期权的价格低，即基于资产价的离散几何平均情形的亚式期权比一般的欧式期权价格低，这是因为亚式期权在到期日时的收益依赖于标的资产某一时间段内的平均价格，这样它通常比标准化的欧式期权的价格便宜，且该期权不易被操控。
最后考察模型的主要参数对期权价格的影响，以两个离散点(m =2)的离散亚式期权为例进行考察，这里分别选取价内(S 0=80)、平价(S 0=70)和价外(S 0=60)期权为计算实例。由图1(a)可知，价内期权价格和平价期权价格是参数σ 的增函数，而价外期权价格随着σ 的增大而减小；图1(b)可以看到，价内和平价期权价格随着κ 的增大而减小，而价外期权价格是κ 的增函数；由图1(c)可知，期权价格随着θ 的增大而增大；由图1(d)可以看到，价内期权和平价期权的价格都是随着相关系数ρ 的增大而减少，而价外期权的价格随着ρ 的增大而增大。
图1 各参数对期权价格的影响
4 结论
本研究在Heston随机波动率模型下应用Fourier变换方法和特征函数技术获得了基于资产价的离散几何平均情形的亚式期权价格的显示解，并通过数值实例，比较了亚式和欧式期权价格随着股价和离散点变化的变化情况，分析了模型参数对期权价格的影响，数值计算结果表明，模型中的参数对期权价格的影响具有不同的显著作用。本研究结果对进一步研究其他路径依赖型期权或美式期权有很好的借鉴作用。
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Pricing of Discrete Geometric Average Asian Options under Heston Stochastic Volatility Model
CHEN Youjie
(School of Mathematics and Statistics ，Guangxi Normal University ，Guilin ，Guangxi 541004，China )
[Abstract ]In this paper，the pricing of Asian options based on the discrete geometric average of asset price is discussed under the model of Heston stochastic volatility in the underlying asset price .Some stochastic analysis approaches such as the semi-martingale It
formula，multidimensional federated characteristic functions，Girsanov theorem and Fourier inverse transform technique are used to derive the pricing formula for the Asian discrete call option.Finally，numerical examples are given by us，and the impacts of some parameters in stochastic volatility process on the values of the option values are examined by this numerical examples.
[Key words ]Heston model；Asian options；Fourier inverse transform；geometric average
[中图分类号] O211.9
[文献标识码] A
[文章编号] 1672-9021( 2019) 05-0067-06
[作者简介] 陈有杰(1993-)，男，广西横县人，广西师范大学数学与统计学院硕士研究生，主要研究方向：金融工程。
[引用格式] 陈有杰.Heston模型下离散几何平均亚式期权定价[J].河池学院学报，2019，39(5)：67-72.
[投稿邮箱] hcxyxb@163.com
收稿日期 2019-08-16
[责任编辑 姚胜勋]
标签：Heston模型论文; 亚式期权论文; Fourier反变换论文; 几何平均论文; 广西师范大学数学与统计学院论文;