开放类逻辑的哲学基础———种非规范三值内涵语义理论，本文主要内容关键词为：语义论文,内涵论文,逻辑论文,哲学论文,理论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 开放世界预设
1.1 开放类的存在性
Bertalanffy(1968)（注：L.Bertalanffy,General System Theory.George Braziller Inc.,1968.）发现，存在一类与外界有能量和物质交换的开放系统。若将系统描述为关系结构
G.Shackle(1961,p.9)（注：G.Shackle,Decision,Order and Time In Human Affairs.Cambridge University Press,1961.）在讨论决策问题时指出：竞争行动方案间的选择依赖于对它们可能导致的后果的估计。但是，一般而言，决策者没有足够的时间和完整的知识去穷举在确定的条件下采取某一确定行动A的可能后果，以至于真正的后果必然包括在已列举的可能后果之中。他认为存在一类关于可能后果的假说序列，它们不是穷竭的。若将概念的内涵理解为把个体归入某个集合或相应外延的标准，采用发生方式来定义概念“行动A的可能后果”的内涵；则该概念的内涵是确定的，外延可扩展。笔者认为，由此，Shackle的断言可一般化为：存在着其成员特性确定的开放类。
Wittgenstein(1953)（注：L.Wittgenstein,Philosophical Investigations.Oxford:Basil Blackwell,1953.）提出家族类似理论，认为存在着诸如“游戏”这一类概念。其特点是，在一般情况下，无法给出一组充要条件对它们进行定义，而它们的意义或内涵可在使用中不断变化。由此可得一类概念，它们的内涵可变化，外延可扩展。将这一表述一般化可得：存在着其成员特征不确定的开放类。
当前，对开放类的研究主要集中在归纳逻辑领域的非Pascal归纳概率逻辑方向和演绎逻辑的非单调推理方向。由于对开放类的逻辑结构的研究尚未取得实质性进展，上述理论中存在一系列问题。
在非Pascal归纳概率逻辑方向，Shackle(1949)（注：G.Shackle,Expectation in Economics.Cambridge University Press,1949.）建立了第一个非Pascal归纳概率理论一潜在惊奇理论，试图给出不穷竭假说集或开放类中成员的不确定性度量。它的方法论特点是：引入剩余假说使开放的竞争假说类封闭化，从而构造潜在惊奇公理系统。Smets(1988)（注：P.Smets,"Belief Functions"in Non-Standard Logics for Automated Reasoning,ed.P.Smets,E.H.Mamdani,D.Dubois and H.Prade,Academic Press,1988.）采用类似的方法，在其信念函数理论中通过引入理想元Θ，构造了一个封闭的命题类，拓广Shafer(1976)（注：G.Shafer,A Mathematical Theory fo Evidence.Princeton University Press,1976.）证据理论。但是，除非事先假定所有相关的假说；否则，剩余假说无意义。所以，这一假定与开放类的存在相矛盾。因此，我们处于两难境地：要么陷入自相矛盾，要么接受无意义假说。在这样的条件下，我们无法构造恰当的理论来实现开放类上的不确定推理。
在常识表达与推理方向，Reiter(1978)（注：R.Reiter,"On Closed World Data Bases,"In Herve Gallaire and Jack Minker,editors,Logic and Data Bases.Plenum Press,New York,1978.），McCarthy(1980)（注：J.McCarthy,"Circumscription-A form of Non-monotonic Reasoning"in J.of Artificial Intelligence,13,27-29,1980.），McDermott和Doyle(1980)（注：D.McDermott and J.Doyle,"Non-monotonic Logic-I,"Artificial Intelligence,13,41-72,1980.）创建了非单调逻辑理论。近20年来，该理论一直处于常识推理研究的主流地位。它的关键是：通过非单调扩充使由语句组成的开放类或不完全知识库封闭化，从而为运用经典演绎逻辑方法处理非单调推理铺平道路。但是，正如W.Lukasiewize(1990,p.105)（注：W.Lukasiewize,Non-monotonic Reasoning.Ellis Horwood,1990.）指出：将不完全知识库封闭化是不恰当的。事实上，将开放的知识库封闭化，就是将不完全的知识视为完全的。若以此为前提进行推理，就会在形式上将可错的结论表达成为可靠的真理。
这种将开放类封闭化的方法是产生上述所有问题的根源。正是它直接导致了方法论上的自相矛盾。产生这种方法论困难的原因在于：迄今为止，人类对开放类的逻辑特征缺乏必要的研究和了解，我们甚至找不到一种合适的语言表述开放类，以至于只能使用现代数学和逻辑学提供的工具处理开放类问题。不幸的是，现代数学和逻辑等经典理论对集合或类做了理想化的封闭性假定，即至少在理论上一个集合或类包含了具有某种确定性质的所有元素，或包含了应该属于它的所有元素；而这种封闭性假定恰恰与开放类的特征相冲突。
因此，在个体类这一最基本的层面上，开放类的特征与经典理论的假定相冲突，对它的研究有可能导致逻辑学的研究方法与理论结构在非经典方向上的发展。
1.2 Hume问题与开放世界预设
根据逻辑学的形式公理化方法，类是逻辑理论的核心概念。要建立一个描述开放类的形式公理系统，必须明确开放类的特征。在此我们首先考虑所谓的开放类划分问题。
设具有给定性质的个体组成一个类，作为分类标准的一组性质对这个类做穷竭的划分。如果该类是封闭的，它的成员是由所有具有该性质的个体组成。因此，属于该类的个体必具有该组性质中的某个性质。但是，如果该类是开放的，情况则大不相同。开放类会因为加入新的具有上述给定性质的个体而得到扩展（简称开放类的扩展）；因此，在给定分类标准的情况下存在这样的本体论问题：如果某个开放类原有成员都具有某组性质中的某一个性质，那么该开放类新成员是否必具有这组性质中的某一个性质？
类似地，存在另一类特殊的知识扩展问题：如果某开放类的所有已知个体都能用某组概念做真实的描述，那么据此可断定该开放类的其余个体也能用这组概念做真实的描述吗？
上述两问题是开放类特有的问题。如所周知，Hume以及后人的工作已经表明：我们无法找到正面解决Hume问题所需的绝对无误的陈述，从而证明放大性论证具有保真性，即它的前提为真时结论必为真；因此，从整体上为归纳的合理性做辩护是不可能的。但是笔者（注：J.Shier,"The Unsolvability of Hume's Problem and the Local Justification of Induction"in Epistemoligia,no.XVI,1993.）(1993)发现：我们同样无法找到反面解决Hume问题所需的绝对无误的陈述，从而证明放大性论证不具有保真性，即它的前提为真时结论必为假；从整体上为归纳的不合理性做辩护同样是不可能的。因此，从整体上Hume问题，或放大性论证的保真性问题，具有不可解性。
如果忽略上述两个划分问题在哲学解释方面的不同，我们可以发现它们具有相同的抽象结构。它可表述为：如果某个开放类原有成员满足某分类系统，那么该开放类的新成员是否必然满足该分类系统？由此，我们得到了一个更为一般的关于开放类划分的Hume问题，它是上述两问题的普遍形式。根据Hume问题不可解原理，当上述分类问题的前提为真时，它的结论是：如果某个开放类原有成员满足某分类系统，那么该开放类的新成员可能不（并非必然）满足该分类系统；这就是说，开放类扩展后得到的新成员可能不具有它原有成员借以分类的任何性质。这一结论表达了开放类的第一个特征，它的后件就是所谓开放世界预设，该预设是开放类逻辑的哲学基础之一。
2 开放类的形式描述与运算
2.1 概念内涵和性质的存在性
经典语义理论的基础是所谓的外延主义教条：它将集合作为构造语义理论的初始概念，由此出发定义其他概念。例如，在经典逻辑中，谓词的指称被解释为集合或集合上的关系；而谓词的内涵形式上是从一个集合到另一个集合的映射，而实际上不过是一种积集；一个语句真值条件则用集合论术语来定义。所谓的内涵逻辑，例如Kripke语义学也从头到尾地贯彻了上述教条。它是一种伪内涵主义逻辑。但是，开放类的成员是可扩充的，它在任何时刻都不能通过已有的成员得到刻画；对于开放类而言，只有它的成员必须具有的性质才是它在变化中的不变量。这是开放类的第二个特征。因此，如果满足一个谓词的个体类是开放类，那么我们便无法用集合来描述满足该谓词的个体。显然，如果一个语义理论涉及其指称为开放类的谓词（简称开放类谓词），它将不可能服从外延主义教条。
随之而来的问题是：如何刻画开放类？如何进行开放类之间的运算？正如我们已经知道的那样，采用给出类的所有成员的方式来刻画或定义开放类是不可行的。从Frege集合二元论的观点看，通过其成员必须满足的性质来给定开放类，是一条值得探讨的途径。但是，这一途径面临的最大问题是：性质本身是否存在？Quine(1996)（注：W.V.Quine,From A Logical Point of View.Harvard Univ.Press,1996.）等人对此持否定态度。本文将从正面论证性质的存在性，而将Quine等人的观点留作另文讨论。
我们的讨论起始于一个公认的假定：主体在其把握的论域内能够确定概念的外延，该外延可表达为公式：｛a',b',c',d',…｝，其中字母a',b',c',d'…分别是指称个体a,b,c,d,…的专名。该公式表示，出现在括号中的字母所指称的个体组成概念的外延。从专名子集可得到子集中专名指称的个体a,b,c,d,…组成的集合。所有这些个体a,b,c,d,…不同于个体域中的其他个体，它们是同一个概念外延中的成员。如果除去括号，专名子集自然消失，剩下的只是一个包含a',b',c',d',…的专名序列；与此同时，相应的个体子集消失，剩下的只是一个包含个体a,d,c,d,…的个体域。因此，用括号标记集合这一事实表明：括号不指称任何个体，它恰恰标记个体域上的划分；更严格地说，它指称这种划分。因此，只要我们能够把握概念的外延，那么我们必能对个体域做出一个划分，使得划分出的某个集合被认为是概念的外延。
当主体做划分时，他面临的是他所把握的个体域。获得概念外延或做出对应划分的可能途径有二：(1)主体通过简单地接受已经给出的外延的方式获取概念的外延，而无须借助于任何划分标准；(2)主体并非简单地接受，而是通过某种主动的方式从个体域中获取概念的外延。主体不是以主动的方式，就是以被动的方式获取概念的外延；因此，不可能存在第三种可能的途径。
我们首先考虑途径(1)。如果概念的外延是其他主体给出的，那么该主体何以可能获取概念的外延？这导致无穷倒退。如果不是，它一定以某种方式存在于个体域中，并呈现在主体之前；由此，必须假定存在将属于外延的个体与其他个体相分离的界限；否则，它将无法与任何可能的类相区分。主体不能把握这个界限，这等同于他无法正确地识别那些组成该概念外延的个体。因为任何个体都与其他个体不同；从这一角度看，它们的地位相同；没有一个个体会由于与众不同而自动地从论域中被抽取出来，加入某概念的外延。因此，只有把握某界限才能把握一个特定的类。而这界限正是划分标准。所以，途径(1)不可行。
存在着两种实施途径(2)的可能方式：主体或者依据某种规则从个体域中获取外延，或者不依据某种规则获取外延。显然，这两种方式是穷竭的。假定主体不依据某种规则或标准从个体域中构造外延，那么实现(2)的惟一途径是从个体域中随机地抽取个体获得某个类；但是，通过随机抽取完全可能得到另一个不同的类；如果概念的外延不是一个任意的类，那么随机抽取不能保证所得到的类就是概念的外延；因此，主体必须确认通过随机的方式产生的类就是概念的外延，而这等同于从个体域中划分出概念的外延；这将导致循环论证。所以，如果主体有能力把握某概念的外延，他必借助某种规则从个体域中构造外延。不论这种规则的具体形式和实施方式如何，它的功能是在个体域中做一划分，因而是一种划分规则。划分就是选择个体域中的某些成员归为一类，其余归为另一类。因此。划分规则存在的必要条件是存在相应的划分标准。否则在个体域中做出任一划分的可能性是相等的。但是，给出所要求的划分本身就是试图表明：除了某个划分外，给出其他任何划分的可能性均为零。显然，假定无标准的划分本身就是自相矛盾。因此，上述规则必然实现某种划分标准。而我们能够给出概念的外延这一事实表明：如果我们能把握概念的外延，那么存在某种划分标准，主体能够把握该标准，并从个体域中构造外延。外延本身不能成为标准，因为这导致循环论证。
根据以上所述，划分标准恰好可用来从论域中区分出某些个体，使它们汇合成某概念外延。同时，从传统逻辑的观点看，内涵的作用之一就是构造一个从论域到论域的映射，它具有给出概念外延的功能。据此，我们称那些划分标准为概念的内涵。依据标准某些个体并入概念的外延，其他个体则排除在外。如果个体中不存在有可能使它与标准发生不同关系的东西，那么标准将无差别地对待论域中所有的个体，从而不可能导致选择行动。因此，个体中必存在某些东西，它们使得个体依据标准必归入概念外延或排除在外。我们称这些东西为个体的性质。如果个体的性质使个体归入某概念的外延，我们称它为对应于该概念内涵的性质。因此，只要假定主体能够把握概念的外延，就必须假定概念的内涵是存在的；而概念的内涵是确定概念外延的标准，概念的外延是一个类，它的成员都具有某个（对应于概念内涵的）性质。
在上述结论的基础上，我们将有关术语定义如下：黑体大写字母表示类，斜体大写字母表示性质或概念内涵，小写字母表示谓词，以及斜体小写字母表示个体。令S是任一个体的集合，P是一个性质，集合P=｛x│x具有P性质，x∈S｝；P和P组成名字为p的概念，又称p为谓词或概念词；p指称P和表达P，而P是概念p的外延，P所对应的划分标准是概念p的内涵；考虑到内涵与性质之间存在一一对应关系，在不会混淆的情况下，也称P是概念p的内涵。
2.2 开放类的形式描述
一般说来，存在两种描述类的方法：枚举法和概括原则。根据枚举法，通过列举某类的所有成员可给定一个类。所谓概括原则是说：任给一个性质P，就有一个恰由所有具有该性质的对象组成的类。由于开放类的可扩展性，我们无法穷竭地列举它的所有成员。因此，利用枚举法不可能完成任务。由概括原则构造的类有两个特点：任何具有该性质的对象必在该类中；而该类中除了这些对象之外没有任何其他对象。由于开放类的成员必须共有某一性质，故它满足后一特点。但是，开放类的特征是，可能存在一些对象，它们具有某一性质却不出现在开放类中，故它不满足前一特点。因此，用概括原则来描述开放类是不可能的。
但是，根据开放类的第二个特征，性质是开放类在其扩充过程中惟一的不变量，只有借助性质才能定义开放类，而概括原则恰恰是用性质来刻画某个类。这似乎暗示我们：如果根据以上讨论的结果修改概括原则，使之保留开放类能够满足的特点，删除其与开放类相左的部分，进而包含开放类的特征，则有可能得到一种描述开放类的方法。采用这一方法得到的类应具有如下特点：其一，该类中除了具有某性质的对象之外没有任何其他对象；其二，可能存在具有该性质却不出现在该类中的对象。具有上述特点的类正是直观意义上的开放类。我们将在上述设想的基础上给出开放类的定义。不过，在此之前我们先引入开放世界概念。
设W为一类现存的或物理上存在的个体，它可能是某个概念已知的外延，也可能是某个自然类的现有成员；W为W中所有的成员共享的性质。为了阐明类的可扩展性，我们在谈论开放类的同时，在本体论上承诺或假设潜在地有个体a，使得a具有W性质且不属于W，记这些个体组成的类为
。这些个体的本体论或认识论地位不同于先前出现或已知的个体；另一方面，虽然我们并不假定包含了所有这些个体，却要求它包含在讨论开放类时所涉及的所有个体。我们规定，以下所要论及的个体均属于
，我们称
为开放域，和W分别为潜在世界和开放世界。引入使得我们拥有一个类似于素朴集合论的论域，借助这一“论域”可表达和处理开放类及其运算。
定义2.1 设p为任意一阶谓词，它表达性质P。一个类P是W上的开放类，当且仅当它满足如下条件：
(i)P=｛x│x具有P性质，x∈W｝；
(ii)在中可能存在一个体a，a具有性质P。
根据该定义，首先,P中个体都具有P性质，且允许存在具有性质P但不在P中出现的个体。因此，它表达了开放类的特征。其次，开放类与通常的类相同，只有具有某性质的个体才能归属于它；但是，后者与前者不同，它包含了所有具有该性质的个体。最后，从直观上说W也具有开放类的特征；它与一般开放类的不同之处在于：它包含了所有事实上已出现或已知的个体。由此，我们限制了概括原则，给出了开放类的定义。
2.3 开放类的运算
我们试图在定义2.1的基础上给出开放类的交、并和包含运算的定义。
定义2.2 设P和Q是W上的开放类，它们所对应的性质分别是P和Q。在W上所有具有性质P和（或）性质Q的个体组成的类是P和Q的交（并），记为P∩Q(P∪Q)。
定义2.3 设P和Q是W上的开放类，它们所对应的性质分别是P和Q。我们称在W中Q包含P，记为
；当且仅当下列关系成立：若W中个体具有P性质，则具有Q性质。
由于P和Q是开放类，在中可能存在个体，它们分别具有性质P和性质Q，却分别不属于P和Q。但是，开放类的定义对这些个体与其他性质的关系未做任何限制；它们可能同时具有性质P和性质Q，或只具有其中之一；也可能满足关系“如果具有P性质则具有Q性质”。因此，根据定义2.1-2.3，P∩Q，P∪Q和满足定义2.3所列关系的个体类都是W上的开放类。
为了给出开放类的补运算的定义，我们引入原则N：对于任一个体和性质P，该个体不具有性质P，当且仅当它具有某个与P不相容的性质。
在这里，所谓两个性质不相容是指：任何个体都不可能同时具有这两个性质；或者说：满足前一性质的个体类与满足后一性质的个体类的交是空类。反之，两个性质是相容的。以下，我们给出接受原则N的理由：
假定原则N不成立：当某个体不具有性质P时，它不具有某个与P性质不相容的性质。则有结论：在此条件下，它具有的所有性质都与P性质相容。按照这一结论和先前的定义，具有所有这些性质的个体组成的类与具有P性质的个体组成的类的交非空。但是，具有某个体所有性质的个体只有一个，那就是该个体自己。因此，上述交类中只有某个体一个成员。这等于说某个体具有P性质。这一结论与假定的前提矛盾。由相容性定义直接可得：若某个体具有与P不相容的性质，它一定不具有P性质。由此可知原则N成立。
根据原则N，可以得到与某性质P不相容的性质的集合。事实上，根据P可将论域W分成两个部分：具有P的类P，和不具有P的类W-P，后者记为-P。任取-P中的对象，由原则
。
现定义性质not-P为
由以上做法可知：在论域W上任一个体具有性质not-P，当且仅当它不具有性质P。显然，not-P和P对W做出穷竭的划分。据此，我们给出开放类的补运算定义。
定义2.4 设P是W上的开放类，它所对应的性质是P，not-P是它的补性质。我们称-P是P在W上的补类，如果-P由W中所有具有性质not-P的个体组成的类。用符号表示就是：-P=｛x│x具有not-P性质，x∈W｝。
根据的定义，除了要求其中的个体具有W性质外，它对这些个体的性质没有任何限定。因此，不能排除其中的某些元素具有not-P性质的可能。所以，-P是开放类。
综上所述，我们从内涵的角度定义了开放类，给出了开放类的运算规则，并且指出：从开放类出发通过上述运算规则得到的类依然是开放类。
3 开放语句的真值理论
3.1 开放谓词的意义
根据Frege-Camap逻辑语义理论传统，表达式的意义由内涵与外延两个部分组成。对于概念而言，它的内涵是概念词所表达的性质，外延是具有该性质的个体组成的类。但是，人们通常认为：某个体具有某性质等价于它属于某集合。所以，作为概念的形式化，谓词在经典逻辑中被解释为封闭类。但是，如果概念词指称的类是开放的，相应的谓词的解释是否应该发生变化？答案是肯定的。由于开放类的成员数可扩展，若采用经典逻辑的做法将开放谓词仅解释为一个类，这就排除了用开放谓词描述新个体的可能性，使得它只能被解释为封闭类。又由于开放类在其演化过程中惟一的不变量是它所对应的性质，只有根据这一性质才能确定新个体是否可加入相应的开放类。因此，开放谓词作为开放类的名称，性质是它的语义解释不可缺少的一部分。另一方面，若将开放谓词仅解释为性质，虽然开放类的不变量得到表达，但相应的类的可扩展性却被忽略了。因此，在谓词的解释中保留开放类，在知识表达和处理方面是必要的。在以上分析的基础上，我们先引入开放谓词的定义；然后，引入语句连接词┐（非），∧（合取），∨（析取），→（蕴涵），定义复合的开放谓词。不过为了避免不必要的技术细节，本文仅讨论一元谓词。
定义3.1 设p是任意一元谓词。p被称为开放谓词仅当它指称W上的开放类P和表达性质P。
定义3.2 设P和Q是W上的开放类，它们所对应的性质分别是P和Q；开放谓词p和q分别指称P和Q，表达P和Q。我们称p∧q(p∨q)是开放谓词，如果它指称P∩Q(P∪Q)，表达P和Q（P或Q）。
定义3.3 设P和Q是W上的开放类，它们所对应的性质分别是P和Q；开放谓词p和q分别指称P和Q，表达P和Q。我们称p→q是开放谓词，如果它指称，表达性质关系：若P则Q。
定义3.4 设P是W上的开放类，它所对应的性质是P；开放谓词p指称P和表达P。我们称┐p是开放谓词，如果它指称－P，表达not-P。
对于以上定义需要补充说明的是：在上述定义的后半部出现了“或”，“和”以及“若，则”等联词，它们表达性质的复合与性质之间的关系。这些词的用法与它们在素朴集合论的交集、并集和包含关系的定义中的用法相同。此外，在上述定义中，我们使用一个性质和一个类来刻画开放谓词的意义。但是，根据定义2.1-2.4，开放谓词所指称的类可用论域W以及该谓词所表达的性质来定义。由此，只要假定一个所有开放谓词共享的论域，仅用一种实体即性质便可定义这些谓词的意义。这一结论为在性质的基础上给出开放语句的真值条件奠定了基础。
3.2 开放语句的纯内涵真值条件
在此，我们只给出无量词的开放语句定义，试图从语句联结词的角度刻画开放类的逻辑特征，而将量词与开放类的关系留作另文讨论。
定义3.5 设p为任一开放谓词，a为任一个体常元。我们称形如p(a)的表达式为开放语句。其中
。（在不会混淆的场合，我们用同一个符号标记个体常元与它在论域中所对应的个体）
以下，我们将通过分析经典逻辑中语句真值条件引出开放语句的真值条件。设p为经典一阶逻辑中的一元谓词，它解释为P，
，U为论域。根据经典模型论，语句p(a)为真（假）仅当a（不）属于P；不过，当P=｛x│x具有P性质，x∈U｝时，上述语句的真值条件可等价地表述为：
p(a)为真，当且仅当a具有P性质，a∈U。
3.1
p(a)为假，当且仅当a不具有P性质，a∈U。
3.2
表达式3.1-3.2在形式上不同于经典模型论中真值条件，它们用性质来定义语句的真值条件，前者则用属于关系。对于经典谓词而言，这两个真值条件等价；对于开放谓词而言，二者存在重要的区别。由于性质是开放类的不变量，前一种方式更适合于本文的目的。同时，从表面上看，后一组真值条件似乎是通过分析经典逻辑的真值条件得到的；但是，它们的直观基础却是独立于经典逻辑的真值条件。事实上，根据“真”和“假”的直观看法(Carnap 1947,p.5,Aristotel,1908)（注：R.Carnap,Meaning and Necessity.University of Chicage Press,1947;Aristotle,Metaphysica(Works,vol.Ⅷ)Oxford,1908.），如果某个体具有某性质，那么描述这一事实的语句为真；反之为假。
根据对定义2.4的分析和1.3节的结论，如果开放世界预设成立，尽管由P性质和not-P构成的分类系统对w做出穷竭的划分，新个体仍有可能游离在原有分类系统之外，从而既不具有P性质也不具有not-P性质。因此，当
不具有P性质时，它可能具有not-P性质，但也可能不具有not-P性质。显然，a不具有P性质这一事实，无法决定上述两种可能性中的任何一种。这意味着，在此条件下无法确定语句┐p(a)的真值条件是否成立。因此，当我们推广表达式3.1-3.2来确定开放语句的真值时就会发生如下情况：如果假定开放语句p(a)为假，那么┐p(a)的真值不确定。由此可知：当我们试图在开放世界预设下建立否定词真值函项，描述一个开放语句与它的否定之间的真值关系时，必须使用“既不能确定某个体具有某性质也不能确定它不具有这一性质”和“真值不确定”之类的概念。显然，在开放世界预设不成立的条件下，上述情况不会出现。事实上，根据2.2节中not-P的定义，在这一条件下性质P与not-P对
做出穷竭的划分，p(a)不成立当且仅当not-P(a)成立，故有语句p(a)为假当且仅当┐p(a)为真。因此，为了描述满足开放世界预设的开放语句的逻辑结构，我们必须考虑到真值条件的可判定性以及真值的不确定性，对表达式3.1-3.2进行拓广。
定义3.6 设p(a)为开放语句，其中。p(a)的真值条件定义为：(i)p(a)为真当且仅当a被确定具有P性质；(ii)p(a)为假当且仅当a被确定不具有P性质；(iii)p(a)的真值不确定当且仅当p(a)既不真也不假。
“真”、“假”和“真值不确定”分别被记为"t"、"f"和"u"，它们组成真值集合；v是从开放语句集合到真值集合的映射，它给语句指派真值。真值之间的大小由下列序关系定义：
上述定义中出现的动词“确定”可从两方面进行理解。从本体论的角度看，它意指存在某个过程，这一过程决定某一事件发生。于是，“a被确定具有P性质”表示存在某过程，它决定“a具有P性质”这一事件。显然，在满足开放世界预设的世界中，“a不具有P性质”这一事件对应着a具有not-P和a不具有not-P两种可能性；因此，除非同时发生其他事件，否则单凭“a不具有P性质”不可能存在一个过程决定它是否具有not-P性质。类似地，从认知的角度看，“确定”意味着主体通过某种方法或程序进行断定。毫无疑问，仅根据a不具有P性质这一信息，我们确实无法运用逻辑方法断定a是否具有not-P性质。因此，确定一词的用法适合于描述开放类的真值条件。另一方面，—根据表达3.1-3.2,确定a具有（不具有）P性质对应于确定p(a)为真（假）。从这一角度看，定义3.6中出现的“真”和“假”可以被理解为“确定为真”和“确定为假”。据此，定义3.6(i)和(ii)恰是从表达式3.1-3.2与“确定”一词的意义引申出来的。因此，上述定义与真值条件的直观理解相吻合。
根据以上论述可知，以纯粹内涵主义方法建立的逻辑语义学的特点是：相对于外延性概念而言，内涵性概念是初始的。它与经典逻辑语义理论的外延主义方法不同，后者将谓词解释为论域上的关系，整个语义理论不需要涉及任何种类的内涵概念。它与Kripke为代表的主流内涵语义学所采用的伪内涵主义方法也不同，后者将内涵等同于集合之间的映射，用集合上的关系取代了内涵，通过将内涵外延化的方式彻底地将内涵还原为外延。它实际上是一种更为精致的外延主义。在Carnap(1947,pp.5-6)（注：R.Carnap,Meaning and Necessity.University of Chicage Press,1947.）的外延—内涵方法中，语句取值为真的条件与本文相同；但是，两者所建立的理论则大不相同；其主要区别在于：(1)Carnap的语义理论与伪外延主义是协调的。而本文所建立的语义理论是无法用外延性术语来刻画的。(2)Carnap所建立的理论具有一个经典二值逻辑的框架，而本文所建立的语义理论则是一个非规范的三值逻辑系统。造成这种区别的原因在于：本文始终着眼于描述开放类的逻辑结构。
4 开放语句的联结词真值函项理论
本文将从定义3.1-3.6和开放世界预设出发给出联结词真值函项。
开放世界预设 对于任何W，性质P和个体
，w具有W性质，但可能既不具有P性质也不具有not-P性质。其中，W是W中的个体必须具有的性质，W≠P；W中的个体或具有P性质或具有not-P性质。
定理4.1 在开放世界预设下，下述开放语句的否定联结词真值函项成立：
(1)如果v(p(w))=t，那么v(┐p(w))=f；
(2)如果v(p(w))=f，那么v(┐p(w))=u；
(3)如果v(p(w))=u，那么v(┐p(w))=u。
其中，p(w)是开放语句，；谓词p和┐p表达的性质分别是：P和not-P。
证明：情况1：设v(p(w))=t。根据定义3.6和定义3.4直接可得v(┐p(w))＝f。
情况2：设v(p(w))=f。根据P与not-P的定义和开放世界预设，对于任意，w或具有P，或具有not-P，或既不具有P也不具有not-P等三种可能性。根据定义3.6(ii)，和题设，同时存在两种可能性：w或具有not-P，或既不具有P也不具有not-P。但是，假定此时能确定w具有not-P，那么第二种可能性取消。又假定此时能确定w不具有not-P，则w既不具有P也不具有not-P，那么第一种可能性取消。由于已知同时存在上述两种可能性，上述两种假定必导致自相矛盾而不能成立。由此可得：既不能确定w具有not-P，也不能确定w不具有not-P。根据定义3.6(iii)和定义3.4，v(┐p(w))=u。
情况3：设v(p(w))=u。用类似于情况2的方法可以证明：v(┐p(w))=u。□
定理4.1给出了一个非规范的三值否定联结词真值函项，我们可称之为开放否定真值函项，具有非互补性特点。它从开放世界预设导出，描述了开放类的特征。
根据定义3.1-3.3及补充说明，如果我们知道构成某复合语句的所有简单语句的真值，按照定义3.6便能确定某个体是否被确定具有或不具有某简单性质。因此，我们可以根据这一结果判断某个体是否被确定具有或不具有上述性质之间的关联，从而在简单语句的真值给定的情况下，给出复合语句的真值。例如，根据“若……则”在素朴集合论或数学理论中的用法，当w具有Q，或不具有P时，它具有复合性质（严格地说，满足性质之间的关联）“若户则Q”；否则，它不具有上述性质关联。只要我们能确定上述关联成立与否，就能确定语句p(w)→q(w)的真值；否则，上述语句的真值不确定。
进一步，在三值逻辑的框架内考虑蕴涵句的真值时，一个不能回避的问题是：当蕴涵句的前后件都取真值u时，如何确定该复合语句的真值。对于这一问题，J.Shier（注：J.Shier,A Three-valued Sentential Calculus Based on the Negation in the Open-world(unpublished manuscript)，1996.）曾给出两种不同的处理方式。其一是所谓Kleene方式，它在上述赋值下将蕴涵句的真值定义为u；其二是所谓Lukasiewize方式，它将蕴涵句的真值定义为t。本文将分别为这两种方式辩护。
引理4.1 设p(w)和q(w)是任意开放语句，。如果v(p(w))=v(q(w))=u，那么v(p(w)→q(w))=u。
证明：根据本引理条件和定义3.6，既不能确定w具有P/Q，也不能确定w不具有P/Q。因此，不能确定两种可能性“w具有P/Q”和“w不具有P/Q”之中何者成立。故有四种可能性：w具有P和不具有Q；w具有P和具有Q；w不具有P和具有Q；w不具有P和不具有Q。根据定义3.3及其补充说明，当后三种可能性中的某一种发生时，w具有复合性质“若P则Q”；当第一种可能性发生时，w不具有该复合性质。由于不能确定上述四种可能性中何者发生，因此，不能确定w是否具有该复合性质。根据定义3.6可得：v(p(w)→q(w))=u。□
由开放否定与Kleene的强蕴涵词构成的语义理论没有重言式，故无法利用经典的方式给出有效和完全的形式系统。相形之下，Shier Ju和Hu Liu(2003)（注：J.Shier,and Hu,L.,"The Logical Structure of Opening Sets"in Social Sciences in China,vol.XXIV,no.3,2003.）的工作表明，Lukasiewize的蕴涵词和开放否定组成一个联结词充足集，在此基础上可构造一个有效且完全的公理系统，它部分地描述了开放类的逻辑特征。同时，处理蕴涵词的Lukasiewize方式与开放蕴涵句的定义并不冲突。具体理由如下：公式p(w)→q(w)可解释为条件句：若w具有P，则w具有Q。当p(w)和q(w)取u时，可解释为：不能确定w是否具有P(Q)。根据这一解释，在上述条件句成立的前提下，如果不能确定w是否具有P，那么依据该条件句当然无法确定w是否具有Q。因此，p(w)和q(w)取u与p(w)→q(w)取t是协调的。最后，构造逻辑系统时，在形式完美性与直观描述的恰当性之间保持一种平衡是一种常用的研究策略（注：参见S.Haack,Philosophy of Logic.Cambridge University Press,1978,pp.28-38。）这一切为我们采用Lukasiewize方式提供了理由。在下述两个定理中，我们将分别根据Kleene方式和Lukasiewize方式给出两个蕴涵词真值函项。
定理4.2 设p(w)和q(w)是任意开放语句，。下述蕴涵联结词真值函数成立：
证明：情况1：p(w)和q(w)分别只取真或假两值。根据定义3.6和定义3.3直接可证定理成立。
情况2：p(w)和q(w)其中之一取真值t，另一取u。以下分两种子情况讨论。
(2.1)v(p(w))=t和v(q(w))=u。根据定义3.6，我们不能确定w是否具有Q。因此，不能确定两种可能性“w具有Q”和“w不具有Q”之中何者成立。对应地，根据定义3.3及其补充说明，在w具有P的条件下，同时存在两种可能性：如果w具有Q，那么w满足性质“若P则Q”；如果w不具有Q，那么w不满足该性质关系。由于不能确定前两种可能性中何者发生；所以，无法确定后两种可能性中何者发生。根据定义3.6可得：v(p(w)→q(w))=u。
(2.2)用类似(2.1)的方法可证：当v(p(w))=u和v(q(w))=t时，有v(p(w)→q(w))=t。
情况3：p(w)和q(w)同时取真值u。根据引理4.1，有v(p(w)→q(w))=u。
情况4：p(w)和q(w)其中之一取真值f，另一取真值u。用类似本证明(2.1)的方法可证本定理成立。□
定理4.2' 设p(w)和q(w)是任意开放语句，。下述蕴涵联结词真值函数成立：
证明：根据定理4.2的证明和定义蕴涵词的Lukasiewize方式直接可得。□
用类似证明定理4.2的方法，我们可以证明如下定理：
定理4.3 设p(w)和q(w)是任意开放语句，；则有：
v(p(w)∧q(w))=min｛v(p(w))，v(q(w))｝。
定理4.4 设p(w)和q(w)是任意开放语句，；则有：
v(p(w)∨q(w))=max｛v(p(w))，v(q(w))｝。
在定理4.1分别与定理4.2-4.4和定理4.2'-4.4的基础上可扩展出两套联结词真值函项系统，它们以各自的方式描述了开放类的逻辑特征。由此，本文揭示了开放类的主要特点，给出描述开放类的逻辑系统必须满足的语义原则，为构造开放语句逻辑形式公理系统奠定哲学基础。