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一、MPCK的研究背景
世界各地的教育改革表明，教师仍是学与教的核心，知识处于核心地位，它是影响教师专业发展水平的重要因素.然而，在教师专业化过程中，教育学知识与学科知识保持着分离，这种分离的“两张皮”现象，使教师在实际的学科教学实践中难以结合所学的教学理论.20世纪70年代，随着认知心理学的兴起，教师研究的重点从观察教师的行为与技能转向关注教师的认知过程.学者们逐渐认识到，教师知识作为教师认知活动的基础之一，深刻影响着教师的课堂教学行为，进而影响学生的学习.20世纪80年代中期，美国学者舒尔曼提出了“缺失的范式”（Missing Paradigm），给出了“PCK”（Pedagogical Content Knowledge）的概念.此后，国外许多学者对此作了大量研究.2005年以后，PCK开始引起中国学者的广泛关注，并迅速成为教师知识研究的热点话题[1～6].PCK概念的提出为人们进一步理解教与学提供了更加广阔的视角，也从教师知识的角度论述了教师职业的专业化与不可代替性.今天，PCK成为教师知识研究的重心与核心，越来越多的研究围绕这一话题展开讨论.就数学教育而言，掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展，教师更需具备“MPCK”（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）.目前，国内学者们从不同层面对MPCK进行了研究，已有不少成果[7～13]
二、MPCK的研究进展
（一）MPCK的内涵
相对于舒尔曼对PCK的定义，MPCK更加紧密结合数学学科的特点.中国不同学者用不同的词语表示MPCK.从教学的角度理解，数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为MPCK[14].有学者将其理解为针对特定数学内容的教学知识，认为MPCK是指关于某一特定的数学内容该如何进行表述、呈现和解释，以使学生更容易接受和理解的知识[15].还有学者认为，MPCK可理解为关于特定的数学内容或专题，如何进行表述、解释、示范和操作，以使学生更容易理解和掌握及预见和消除学生对特定数学内容的学习困难和误解的知识[16].从中国学科教学传统的角度理解，有学者认为，MPCK是关于教授某一具体内容的方式或方法的知识.具体地说，是指教授某一特定内容时，有多少有效或不太有效的方式？这些方式是什么？这些方式有什么优缺点？学生在理解某一特定数学概念时，可能会有哪些困难？有什么较为容易的方式让学生掌握[17]？显然，中国学者对MPCK内涵的研究，或者与中国学科教学传统结合起来进行分析，或者从教学的角度理解学科内容知识的重要性，但都与特定的数学内容、教学实践紧密相联.
（二）MPCK的结构
有学者将MPCK分成两要素：其一，特定数学内容与教学联合的知识，包括：怎样按有意义的顺序来组织和呈现数学内容？为了促进学生的理解应该提供哪种或哪些形式的表达方式？其二，特定数学内容与学生联合的知识，包括：学生在特定数学内容的学习中会遇到什么困难？学生有哪些看法或误解？教师所使用的教学方法是怎样处理学生的困难和误解的[15]？还有学者认为，MPCK是由MK、PK、CK以及TK（教育技术的知识）融合而成，其本质是教师如何将数学知识的学术形态转化为教育形态，以促进学生的数学理解、提高学生的数学能力和提升学生的数学素养[18].有研究者认为，MPCK含有5种要素：数学教学的统领性观念、内容组织的知识、学生理解的知识、效果反馈的知识、教学策略的知识[19].从促进教师的专业发展出发，黄毅英教授构建了MPCK的结构模型.认为数学教师开展常规教学应具备3类知识：数学学科知识（Mathematics Knowledge，简称MK）；一般教学法知识（Pedagogical Knowledge，简称PK）；有关数学学习的知识（Content Knowledge，简称CK）[14].在实际教学中，教师往往需要综合运用这3类知识，才能把科学形态的数学知识有效地转化为教育形态的数学知识.一般地，MPCK是3个基本集合MK、PK、CK的公共部分.在通常情况下，随着教学经验的积累，MK、PK、CK往往会增大，而且它们的交集部分会越来越大，形成的MPCK就会越来越丰富.可以看出，国内研究者都强调MPCK中的两类知识：数学教学该如何呈现的知识、数学教学该如何解释学生遇到的误解和困难的知识.
（三）MPCK的特征
MPCK有其独特的性质.有学者指出MPCK具有如下特点：（1）情境性.它是数学教师独有的知识类型，其核心是向特定的学生有效地呈现和阐述特定数学内容的知识，离不开教师与学生互动的教学情境.（2）数学性.它是与特定主题相联系的知识，其目的是让学生能建立对数学知识的正确理解.（3）教学性.它是一种教学知识，即关于某数学主题如何教学的知识[15].还有学者认为，MPCK不仅具有数学性、教学性、情境性，而且还具有建构性.它是认知个体与外在情境交互作用而自主建构出的产物，具有动态结构.（4）整合性.MPCK并非独成体系，而是整合了MK、PK和CK，包含教师的个人价值观和对特定数学内容的自我理解.（5）内隐性.教师的知识转化过程是教师内在认知结构的调整和重组形成新的认知结构的过程，该过程是缄默的、内隐于教学实践过程之中，更多的与个体的教学行为保持着一种“共生”关系[16].可以看出，目前有关MPCK特征的研究仍不多见，充分探究挖掘MPCK的特征，对于发展与深化教师的MPCK以及改进教育教学都有重要意义.
（四）MPCK的价值
深化教师教育改革的关键是促进教师的专业发展，对于数学教师教育也不例外.由于MPCK是数学教师从事教学所应具备的核心知识，它影响着教师的教学行为，进而影响着数学课堂教学质量.有学者认为，数学教师专业发展的核心问题就在于发展他们的MPCK，这对数学教师专业发展的意义重大[15].还有学者强调，MPCK有助于数学教师进一步加深对教师专业的认识，有助于数学教师进一步发展专业知识[18].针对MPCK对具体教学过程的作用，有学者认为，MPCK弥补了仅仅关注教师的学历或学历资格带来的局限，实质性地提高了对促进数学教师所需要具备的知识的理解，产生了许多新的方法探查教师知识[20].可见，MPCK的价值主要体现在两个方面，从宏观上来看，MPCK对于促进教师的专业发展作用显著，是数学教师专业发展的核心；从微观上来说，在具体的教学过程中，MPCK实质性地提高了数学教师对知识与学生的理解.
（五）MPCK的发展途径
对于MPCK的发展，黄毅英教授认为，可以从3方面入手：数学知识结构的解读、引入数学史、学与教过程中常见的疑点[14].还有学者认为：应拓展本体性知识，朝着高等数学思维转变；提高贯彻探究能力，在自身学习过程中学会“做数学”；学一点数学史知识[21].结合具体案例，有学者认为，应该选择代表性的案例指导教师进行教学知识的自我重建，从高观点角度解读初等数学问题22.此外，从在职数学教师专业发展的角度，有学者认为在促进者的引导下，可以从“行动小组的构建时期”、“新课程理念与新行为标准的对接期”、“新课程行为与理念的协调期”3个阶段来研究和解决数学教师自身在数学教学实践中存在的问题和困惑，进而促进MPCK的发展，提升数学教师群体的专业水平[23].显然，不同学者从不同角度、采取不同方法阐述了MPCK的发展.多数研究者认同教师培训在MPCK发展中的重要作用，认为可以从不同切入点开展教师培训，它是MPCK发展与转化的重要途径.显然，已有研究较多关注在职教师MPCK的发展，而对于在校师范生关注较少.
（六）优秀教师的MPCK
黄毅英教授结合MPCK结构模型，指出优秀教师MPCK的结构特征是：教学法知识灵活；内容知识丰富；教学内容知识多样[14].从实习教师与专业教师的比较出发，有学者认为，专家教师具有良好的教育学科知识；专家教师注重对教材内容的“二次开发”；专家教师的教学行为自然，提问具有启发性[24].有学者针对中学特级教师进行了个案研究认为，（特级教师）在深刻理解数学的基础上形成了文化取向的学科知识；课程的知识体现了数学知识的发生发展和结构特点，并考虑了学生的认知特点；学情的知识切合了学生心理发展的特点，并能以具体内容为载体推动学生心理的发展；教学的知识拟合了做数学的过程[25].还有学者对数学专家教师研究后认为，专家教师对数学知识具有深刻的理解，包括深层的概念理解与结构化的知识组织.专家教师倾向于用“问题解决”的观点看待数学学科与学生的数学学习[26].显然，关于优秀教师的MPCK的研究成果并不多，总结和提炼优秀教师的MPCK是十分必要的.
（七）MPCK视角下的课堂考察
目前基于MPCK视角来考察数学课堂教学的研究主要集中在以下几个方面：从MPCK的角度来进行教学设计，有关教学内容的MPCK内涵解析，基于MPCK视角下的数学课堂教学研究等.例如，有学者通过分析比较不同教师对“一次函数与一次不等式”的教学设计，来说明数学教师应具备的MPCK[27].还有一些学者从课堂教学的视野出发，结合有关教学具体内容（数学定理、数学例题、数学史等），从不同侧面对教学内容的MPCK内涵进行解析等[28～31].王光明教授等对有效教学的研究取得了丰富成果[32～33].有学者从MPCK的角度，剖析数学课堂教学及有效教学，具体分析学科知识和学科教学知识在课堂教学中的有机融合，并认为MPCK是有效教学的基础[34～39].可以看出，目前MPCK视角下的课堂研究一般包括下列因素：分析相关数学内容，分析学生学习相关数学内容可能遇到的困难以及相应的数学教学策略[40～47].尽管关于MPCK视角下的课堂研究逐步成为中国已有MPCK研究的一个重要方面，但其研究有待进一步丰富和深化[48～53].
三、MPCK的研究前瞻
（一）明确MPCK的内涵与构成
尽管中国学界和教育界越来越强调MPCK的重要性，诸多学者也开展了广泛的研究，但对于“MPCK的内涵和构成要素”学界还没有一个清晰的、统一的阐述，因而进一步明确“MPCK”的内涵与构成要素具有十分重要的意义.未来MPCK的研究应该结合具体的教学实践，探究其内涵及构成要素表现在哪些层面与范畴上，这将有助于数学教育研究者和实践者更清晰地形成对MPCK的认识.
（二）厘清MPCK各成分间的关系
已有研究中不同的学者提出了不同的MPCK结构模型.例如，黄毅英教授提出MPCK是由MK、PK、CK三者构成的结构模型，那么这三者之间到底是一个什么样的关系？这些不同的成分对教学的影响机制是什么？以及MPCK与其他知识的关系是怎样的？显然，对于不同的数学课题，数学教师能够在课堂教学中使用的MPCK的程度是不同的，或者MPCK的各种成分的程度是不一样的.尽管如此，能否概括出一些特定课题的具有普适性的所有成分的MPCK，这还是一个值得研究的问题.特别地，对于师范生来说，在学校（包括中小学、大学）里学到的知识对于他们日后形成的MPCK有怎样的贡献？以及如何将这些知识转化为他们的MPCK？提升师范生的MPCK可先由什么入手等等.这些都是以后有待进一步研究的问题.
（三）提炼专家教师的MPCK
已有研究表明，专家教师MPCK的形成是一个长期的过程，新手教师与专家教师的MPCK存在显著不同.那么专家教师的MPCK与他们的教学实践的关系是怎样的？也就是说，这些专家教师在课程设计、课程实施、学生管理等过程中是如何应用MPCK的？特别地，当专家教师在教学实践中碰到问题或困难时，他们MPCK的发挥在哪些基础之上作出应对？更进一步，这些专家教师的MPCK的基础或来源是什么？这些来源或基础各自发挥着怎样的作用？以及怎样提升与深化MPCK？显然，加强对专家教师群体（特别是中学特级教师群体）的MPCK研究，可以让教师培训有鲜活的内容、学习的榜样、卓有成效的方法.对师范教育来说，这种研究也有助于促进师范生MPCK的生成.
（四）探求MPCK在课堂中的运用
有效的数学课堂教学是MPCK各成分的有机融合，目前这方面的相关研究成果较少.MPCK原本就是一种实践性知识，它的生长离不开课堂教学实践.未来的相关研究可以从以下几个方面展开.在数学课堂中，MPCK是通过怎样的结构和话语策略表征出来的？教师在日常教育教学实践中是如何运用这些知识的？教师是如何运用MPCK突破课堂教学重点与难点的？教师是如何诊断学生的错误观念的？例如，当学生出现数学理解上的迷惑时，教师采取了哪些适当的策略.在数学教学设计中，MPCK又是如何体现的？例如，教师如何进行课程材料的选取、教学活动的设计等.同时，教师又是如何不断地发展和提升这些MPCK以改进自己的教育教学实践的？
（五）加强MPCK的案例研究
为了使MPCK研究达到一定的广度和深度，且研究结论具有应用性和普适性，应加强MPCK的案例研究.案例是沟通数学教育理论与数学教育实践的桥梁，为教师提供了理解“实践情境”的机会.从教育哲学的角度来看，认知的最好策略之一便是“结合实践的对话”.从这个意义上来说，MPCK案例研究是从教师个人的实践角度去理解数学知识、理解数学教学理论的一次学习过程.正因为如此，加强MPCK案例研究有助于教师形成实践反思能力；有助于教师形成研究问题和解决问题的技能；有助于教师学会诊断和解决教育教学中出现的问题；有助于教师构建起个人的专业理论与知识；有助于教师提升个人教育教学素养和自主发展的能力.然而，目前优秀的MPCK案例并不多，可以选取一些典型案例进行研究.例如，数学解题、数学概念、数学性质以及数学定理等的MPCK内涵解析；又如，新手教师与专家教师、农村教师与城市教师的MPCK比较等.对于这些问题的研究，选择一个切入点，从不同的角度进行研讨是非常必要的.