数学与生活密不可分，生活中会遇到这样的一些场景：雨中，将伞转动，伞沿上晶莹的水滴瞬间飞出；砂轮机打磨时飞溅的漂亮火花，这些都体现了数学中“圆与切线” 这一知识点。回顾四川省各市2018年数学中考题:南充第22题，绵阳第23题，广元第23题，宜宾第23题，我们会发现基本所有的倒数第二题都是关于“圆与切线”的问题，这是一个高频考点。同时，在高中教材内，它也是非常重要的内容。
一、原题呈现：（2017年四川省宜宾市中考数学卷23题）
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，AD平分∠CAE，交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E。
1.求证：直线CE是⊙O的切线。
2.若BC=3，CD=3 2, 求弦AD的长。
本题以能力立意，体现了初中数学的学科素养，侧重考查学生综合运用代数和几何的基础知识与基本方法解决问题的能力。从此题需要作答的问题看，主要考查切线、求弦长这两个知识点。但实际囊括了：角平分线的定义，平行线的性质及判定、等腰三角形的性质、垂直的定义、同角的余角相等、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的性质判定等知识点。此题中各知识点的综合应用，符合考纲要求。
此题在学生已经学完整个初中必学内容的基础上，侧重于考查学生分析问题、解决问题的能力和计算能力。渗透数形结合思想、转化思想和方程思想。此题的难点在于：学生难于掌握如何将未知线段的长转化到已知条件中去求解，及其如何添加辅助线、构建相似三角形。课程的三维目标作为学生应达到的潜在水平，与学生现实水平及每个学生不同的发展水平之间存在的空白地带，就是课程教学应该为学生学习自由发展提供的“最近发展区”。
切线与代数综合应用题，能有效地考查不同层次学生对学习数学知识的掌握及灵活运用程度。在全国各地的中考数学题中，切线与其他知识点的综合应用题总是占有相当的比例。与其他试题相比，此题题型设计优美、新颖独特、活不超纲，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想及要求。
二、此题的变式：将原题作如下改编，就可以让学生从不同的角度思考问题，达到举一反三的效果
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，AD平分∠CAE，交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E。
（1）求证：直线CE是⊙O的切线。
（2）若BC=3，CD=3 2，求弦AD的长。
变式1：改变提问,把第2问变为：若AB=3,CD=3 2，求△ADE的面积。
变式2：交换题设和结论：已知：如图，已知△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足BD=FD，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C点，交AF延长线于E点。
(1) 求证：AE⊥CD。
（2）若sin∠DBA= ，AE=3，求AF的长。
变式3：改变图形的形状：已知：如图，已知OAFD的三个顶点A、D、F在以O为圆心的半圆上，过D作DC⊥AF，分别交AO、AF延长线于点C、E，AC交半圆O于点B，连接BD。
（1）判断直线CE与半圆O的位置关系，并说明理由。
（2）①求证：BD=OD；②若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积。
三、 此题的拓展和延伸
1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD。
（1）证明：PD是⊙O的切线。
（2）求证：PD2=PB·PA。
（3）若PD=4，tan∠CDB=0.5，求直径AB的长。
2.如下图１，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D。
（1）如下图2，当PD//AB时, 求PD的长。
（2）如下图3, 当DC=AC时, 延长AB至点E, 使得BE= AB, 连接DE。①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长。
图1图2 图3
四、课后的思考
在教学的过程中，我们要引导学生探索数学问题的解题方法，教会学生思考，善于思考，进行一题多解的训练和变式训练，更能让学生的思维迁移、提高学生思维的敏捷性和灵活性，从而提升分析与解决数学问题的能力。解题技巧解题思想不同与知识点的学习，学生的掌握需要一个知识内化的过程，问题的解决需要从“特殊”到“一般”，方法技巧可以迁移，在解题过程中帮助学生提升对知识体系的调用能力，帮助其链接知识点，构建知识面，而解题思想贯穿其全程。
论文作者:韩文明
论文发表刊物:《教育学》2019年9月总第190期
论文发表时间:2019/9/16
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