【统计应用研究 】

考虑记忆性质与时间滞后效应的非线性经济周期模型分析

林子飞^1，2，徐 伟²

(1.西安财经大学 统计学院，陕西 西安 710100；2.西北工业大学 理学院，陕西 西安 710072)

摘要 ：考虑非线性经济周期模型中经济变量存在记忆性质与时间滞后现象，研究随机周期作用激励下Goodwin模型的随机响应，以此研究记忆性质与时间滞后现象对经济周期波动的具体影响。通过随机多尺度方法得到了模型的确定性与随机情形下的稳态响应。结果发现：当考虑非线性投资函数时，经济变量的时间记忆性质和时间滞后现象均可以导致经济波动方式的改变；当考虑非线性消费函数时，经济变量的时间记忆性质与时间滞后现象均可以诱导出经济周期波动的随机跳跃现象，即引发经济系统的突变。同时，随机周期作用也可以诱发系统出现稳态概率密度函数的分岔现象出现，说明外部随机周期作用可以诱发经济系统的突变现象产生。

关键词 ：非线性经济周期模型；记忆性质；时间滞后现象；随机多尺度

一、引 言

Goodwin经济周期模型中自发函数的形式主要有三种类型：常数、周期函数、随机函数^[1-2]。Goodwin的研究中将自发函数设为常数零，并且经过动力学分析可以得到一个稳定的极限环^[3]。Strotz和Lorenz等都研究了自发函数为正弦函数形式的周期作用力，其对应了经济系统中如气候、政治、物价等周期性的变动^[4-5]。许多学者也研究了随机函数形式的自发函数^[6-8]，如：李佼瑞等计算得到了宽带噪声激励下的Goodwin模型的首次穿越失败的概率^[6]；李爽等研究了随机噪声作用下的Goodwin模型的混动预测与控制问题^[8]。

将Goodwin模型中的自发函数设为周期函数和随机函数相结合的自发函数形式，可以同时将周期作用力和随机扰动对经济周期波动的影响加以研究。对于窄带噪声激励的动力系统的研究，戎海武等通过多尺度方法，研究了窄带噪声激励下的非线性动力系统的响应^[9]；Xu等利用摄动法与多尺度方法相结合研究了含有分数阶、粘弹阻尼的随机非线性动力系统的响应问题^[10-12]；李佼瑞等研究了随机周期作用激励下非线性Goodwin模型的随机响应问题，得到了时间滞后现象对经济周期波动振幅的具体影响^[7]；林子飞等研究了随机周期作用下含有分数阶导数的Goodwin模型的随机响应问题^[13]。

在实际的系统当中，经济变量的时间记忆性质是不能忽视的，在笔者之前的文章中，分数阶导数描述了宏观经济政策制定过程中产生的时间记忆性质，即决策者制定经济政策时会参考以前的经济政策与政策实施效果来制定新的经济政策。Machado等分析了来自32个国家2000—2009年的日内股票市场数据，结果表明股票价格的波动含有明显的时间记忆性质^[14]。许多学者针对分数阶金融系统也展开了研究^[15]。同样地，经济变量存在着时间滞后现象，比如投资决策到实际的投资行为之间存在一定的时间滞后，经济政策的制定到实施存在着时间上的滞后^[16-17]；牛江川等研究了达芬振子的分数阶时滞PID控制问题^[18]；Gori等研究了带有时滞的Keynesian模型的非均衡动力学行为^[19]；Vliet等研究了金融市场中支付与利率的时间滞后现象^[20]；Matsumoto等考虑了希克斯模型中投资与消费的时间滞后现象对系统局部和全局稳定性的影响^[21]。在经济系统中，利用分数阶导数可以刻画经济变量的这种记忆性质，而经济系统中的记忆性质体现在宏观调控中制定的经济政策上，宏观经济的经济政策在制定之时必然参考了之前的经济政策的执行效果以及政策的制定过程。也就是说，过去的经济政策对目前的经济政策是有影响的，这就体现了经济政策制定时的记忆性质，这种记忆性质也体现在固定资产投资、投资决策中。林子飞等研究了高斯白噪声激励下的含有分数阶时滞的Goodwin模型中关于国民收入的稳态概率密度函数^[22]。许多学者针对含有时滞的Goodwin模型也进行了深入的研究^[23-24]。

在城市污水主干线附近，可以选择建立污水换热能源站，利用能源站的供热能力，为周边小区供热。在污水主干线上开口，将污水引入到能源站内的污水泵。通过污水泵的加压作用，将污水输送如污水换热器。十几度的污水在换热器内充分换热后，通过污水输送管道，返回至污水主干线内。为了避免污水供回水的扰流作用，供水和回水的开口位置的距离要大于100m。

本文在以上文献的基础上，考虑了经济系统中的时间记忆性质和时间滞后现象，建立了具有分数阶时滞的经济周期模型，并且考虑了周期函数与随机函数相结合的自发函数，利用多尺度方法来研究经济变量的记忆性质以及时滞现象对系统动力学特征的影响。

合同结算管理作为物力集约化管理的重要内容，为进一步提升合同结算准确性和效率，充分发挥集约化带来的规模经济效益，从最开始的单据人工传递到影像传递，省级电网企业做了许多尝试。随着移动互联技术的发展，移动支付的便捷性使得省级电网企业不得不再次重新整合支付结算流程。结构化电子单据有着存储方便、验审效率高、单据统一规范等优点，引入移动互联、电子签章等新兴技术提升合同支付结算效率，这正是现代智慧供应链体系建设的内在要求。

阎连科：善良，是人之所以为人的根基和原本，而家庭和家族中世代酝酿的亲情与温情，则是养育善良的土壤、阳光和细雨。

二、模型分析

考虑一个广义的窄带噪声激励下的分数阶时滞Goodwin型经济周期模型的一般方程：

(1)

其中x 表示国民收入，ε 是正的小参数，β 是常系数，τ 代表时滞参数，是非线性函数，窄带噪声ξ (t )可以写作：

Ea ₁=0，

(2)

其中h 代表随机激励的振幅，Ω是随机激励的频率，W (t )表示标准的高斯过程，γ ≥0。本文中，设h 为小的正参数，所以ξ (t )表示窄带过程，其谱密度为：

(3)

选取Caputo定义分数阶导数：

(4)

在下面的研究中，只考虑系统的主共振响应，记Ω=ω +εσ ，(Ω-ω )T ₀=σT ₁，并消去久期项，可以得到：

iwA exp(iωT ₀)+cc )+

(5)

其中T ₀=t ，T ₁=εT ₀分别代表快时间尺度和慢时间尺度。记微分算子导数可以写成如下形式：

(6)

将方程(5)和方程(6)代入到方程(1)，分离对比参数ε 的同次幂，可以得到下式：

(7)

“盐垛斗虎”是黄河口历史的见证和文化的重要载体，是一种集民俗、娱乐、舞蹈等为一体的综合性民间艺术形式，它扎根于人民群众之中，具有深厚的群众基础，深受人们的喜爱，它的产生和发展过程与当地群众生活和风俗习惯息息相关，是劳动人民智慧的结晶，具有很强的历史和文化价值。

f (x ₀，D ₀x ₀)+ξ (t )

(8)

方程(7)解的一般形式为：

x ₀=A (T ₁)exp(iwT ₀)+cc

(9)

其中cc 代表复数项，A (T ₁)是关于时间的慢变量函数。将方程(9)代入到方程(8)的右边，可以得到如下方程：

-2D ₀D ₁(A (T ₁)exp(iωT ₀)+cc )-

目前研究较多的环氧硅油分别是侧基环氧硅油[6]和端基环氧硅油[7]。本文合成了一种端-侧环氧硅油(ESESO)并对其进行阳离子化，合成阳离子超支化硅油[8-10]，此类化合物是一种具有大量的支化结构的聚合物，合成超支化硅油的端基为阳离子基团(比如季铵盐等)，与一般的直链型的硅油相比较而言，它具有低黏度，高反应性，良好的相溶性和许多不同于直链型的新的性能。目前已经在生化制药领域、工业材料领域、工业助剂领域等方面得到了极其广泛的应用[11]。

f (A (T ₁)exp(iωT ₀)+cc ，

x (t )=x ₀(T ₀，T ₁)+εx ₁(T ₀，T )+…

(10)

对于分数阶微分，当T ₀较大时，方程(10)的右边第二项可以写作：

Ea =E (a ₀+a ₁)=a ₀，

=(iω )^α A (T ₁)exp(iω (T ₀-τ ))+cc

(11)

利用多尺度方法，方程(1)的一致逼近解可以写成：

(12)

其中

为了化简方程(12)，设：

(13)

另一方面由一个基本公式：

(14)

将方程(13)、(14)代入方程(12)，得到：

(15)

其中其中f _i (a )和f _r (a )分别代表非线性函数的虚部和实部。

求解方程(15)，可以得到振幅a 和相位η 的解，因此可以得到方程(1)的近似解析解，振幅代表了国民收入在经济系统中周期性波动的幅度，得到振幅即可得到经济系统的周期性波动特征：

x (t )=a (εt )cos(Ωt -η (εt ))+O (ε )

(16)

a =0是方程(15)的平凡解。当且时，方程(15)的解为a =a ₀，η =η ₀。由此，可以得到：

(17)

可以得到频率响应方程：

(18)

接下来考虑噪声的影响，当时，设：

a =a ₀+a ₁，η =η ₀+η ₁

我国武术文化研究发文量呈现该趋势的原因主要体现在：一是武术文化是以武术技击技术为核心，以中国文化哲学为基础的产物，关于该主题的研究在武术研究和文化研究之后，因此2007年以前的发文量相对较少。二是2007年是北京奥运会前夕，武术项目申奥呼声较高，武术文化的相关理论与实践研究受到学者们的关注，发文量急剧上升。三是发文量整体呈现波浪趋势，说明了我国武术文化研究道路坎坷，学者们的学术热情起起伏伏，但近些年随着一带一路、体育深化改革政策的推进，武术文化交流、传播与传承问题再次备受关注。

(19)

其中a ₀和η ₀是方程(18)的解，a ₁、η ₁视作稳态解附近微小的扰动。

将方程(19)带入到方程(15)，可以得到(a ₀，η ₀)的线性化方程，并得到随机微分方程：

可以得到a ₁的一阶稳态矩和二阶稳态矩：

cos，

(20)

利用矩方法，a ₁和η ₁的稳态一阶矩和二阶矩满足：

(21)

“主动性”作为影响学生学习表现的积极因素在人的学习过程中有着无可替代的地位，教学的任何行为都应以其发挥为主线，它是影响教学课堂、优化教学资源必不可少的要素。一个没有“主动性”的课堂不但会沉闷、低效，还会对心理产生消极影响。随之而来的是懒惰、厌恶、漠不关心、熟视无睹、悲观、胆怯、甚至逃避等现象的出现。

ξ (t )=h cos(Ωt +γW (t ))

(22)

其中

(23)

因此可以得到方程(15)的一阶和二阶稳态矩：

Ea =E (a ₀+a ₁)=a ₀，

(24)

三、具有非线性投资函数的经济周期模型分析

考虑一个带有非线性投资函数的Goodwin型经济周期波动模型：

=εh cos(Ωt +γW (t ))

(25)

其中x 代表国民收入，β 、κ 、v 代表经济系统的宏观调控强度和投资函数系数。根据方程(15)，可以得到方程(25)的关于振幅和相位方程，振幅表示经济系统发生经济周期波动时国民收入的波动幅度：

安和庄所属下意识地向魔刀投去一瞥，因为“魔刀落花鬼王魂，玉面催心煞手恨，铁旗高风无回掌，纤手神指离梦人”魔刀在十二高手榜排名第一，天问大师排名第九，所以萧飞羽点头出手非魔刀莫属。

肺动脉栓塞是临床常见疾病，发病率高，常伴有呼吸功能、循环功能障碍，若诊治不及时，可致死。然而，肺动脉栓塞临床表现多样化，缺乏特异性，容易漏诊、误诊，耽误最佳治疗时机，影响预后[1]。现目前，选择性肺动脉造影是公认的诊断肺动脉栓塞的金标准，但是，该诊断方式具有创伤性，且受设备限制，难以实现普及[2]。这些年，影像学技术不断发展，多层螺旋CT被广泛用于疾病诊断，大大提高了疾病诊断效率。2016年8月—2018年4月，本文回顾性分析80例患者的临床资料，旨在评价分析多层螺旋CT肺动脉成像在诊断急诊肺动脉栓塞中的应用价值，现报道如下。

(26)

由此可以得到方程(26)的一阶和二阶稳态矩：

在盈余管理方面，张灵等（2015）认为上市公司如果聘请具有海外背景的独立董事，会控制和调节企业盈余管理程度。通过理论与实证研究都证实了当其他条件不变时，国有上市公司中具备海外背景的独立董事对盈余管理程度的控制和调节作用更强。原因在于，在国有企业中拥有海外背景的独立董事能够扭转信息不对称现象，切实维护中小投资者的利益，控制好企业盈余管理程度。张灵等（2015）进一步研究提出，企业应合理调整董事会的结构，引进海外背景的独立董事，同时鼓励专职独立董事的产生和发展。

Ea ²

(27)

其中

采用HPLC方法对添加茶碱的发酵液进行含量检测分析，图5结果显示为期10 d的发酵对发酵液中茶碱的含量变化无明显影响，这意味着发酵液中的茶碱不能被冠突散囊菌生长繁殖直接利用；由图5-K可知，发酵结束时在发酵液中能检测到少量的咖啡碱，这说明冠突散囊菌可能以茶碱为底物合成咖啡碱。

(28)

对方程(25)中的参数进行赋值，进行数值模拟以此来证明上述解析方法的有效性。在图1(a)和图1(b)中，可以看出解析结果和数值结果可以很好地吻合，这证明了解析方法的有效性；在图1(a)中，可以得到宏观经济波动的振幅有不稳定的解，由图1可以得到时滞现象对系统振幅的影响；由图1(a)和图1(c)可以看出，当不考虑系统的时滞现象时，在特定的频率范围内，系统会出现三个稳态解，其中只有一个是稳定的。当考虑系统的时滞现象时，系统在同样特定的频率范围内只有两个稳态解，同样其中只有一个是稳定的，而系统的频率岛现象消除了，这表明时滞现象对宏观经济波动的影响是显著的，经济决策过程中必须要考虑到时滞现象的影响。同样地，由图1(c)和图1(d)可以得到分数阶导数阶数对于宏观经济波动幅度的影响，与时滞现象对系统波动幅度的影响是类似的。图2是随机强度对于经济波动幅度的稳态概率密度函数的影响，从图中可以看出，随着随机因素的增强，经济波动幅度的稳态概率密度的峰值变小了，说明随机因素增强了经济系统的波动性，降低了经济系统的稳定性。

注：图中实线为解析结果，菱形为数值结果：ω =1，ε =0.1，β =0.1，κ =0.5，v =0.1，h =0.5，γ =0.01；(a)α =1，τ =0；(b)α =1，τ =2；(c)α =0.2，τ =0；(d)α =0.2，τ =0.5；(e)α =0.5，τ =0.5。

图 1系统 (25)考虑时滞与时间记忆性质变化的频率响应曲线图

注：ω =1，ε =0.1，β =0.1，κ =0.5，v =0.1，α =0.5，τ =0.5，h =0.5，Ω=1.1；(a)γ =0.075；(b)γ =0.2；(c)γ =0.45。

图 2系统 (25)稳态概率密度函数图

四、具有非线性消费函数的经济周期模型分析

下面将研究窄带噪声激励下的含有非线性消费函数的分数阶时滞经济周期波动模型：

=εh cos(Ωt +γW (t ))

(29)

根据方程(15)，得到方程(29)的振幅和相位的微分方程，振幅表示经济系统发生经济周期波动时国民收入的波动幅度：

(30)

由此可以得到方程(30)的一阶和二阶稳态矩：

(31)

其中

(32)

对方程(29)中的参数进行赋值，进行数值模拟以此来证明上述解析方法的有效性。在图3中，可以看到解析结果和数值结果可以很好地吻合，这证明了解析方法的有效性；由图4(a)和图4(b)可以看出，当考虑宏观经济调控中时滞现象时系统会发生跳跃现象，也就是说当消费函数为非线性函数时，当宏观经济调控中存在时滞现象时，经济系统会发生状态的突变，这解释了经济运行中的突变现象；同样地，由图4(a)和图4(c)可以看出，当考虑经济系统的时间记忆特性时同样可以引发经济系统的突变，即随机跳现象，也就是说宏观经济调控中的记忆特性可以引发系统的突变，这对经济政策的制定具有十分重要的理论价值；图4(e)给出了周期作用力振幅大小对系统波动幅度的影响，可以看出，外部的周期作用振幅越大时系统的稳态解的振幅也越大，并且出现跳跃现象的频率范围也会随着外部的周期作用振幅的增大而增大。所以，根据图4可以得到如下的结论：宏观经济调控中的时间滞后现象以及宏观经济调控中存在的时间记忆性都可以引发经济运行的状态突变，所以计算宏观经济调控记忆性质和时间滞后现象对系统的影响对于经济平稳运行是至关重要的。图5是振幅的稳态概率函数，从中我们可以看出随机因素的强弱对于经济系统运行状态的影响，当随机强度逐渐增大，系统的稳态概率密度函数峰值变小，说明随机因素减小了经济系统的稳定性，增加了系统的波动性。而且，当随机强度变化时，稳态概率密度函数由单峰变为双峰，出现了稳态概率密度函数的分岔现象。

4.运用问题情境教学，提升学生的发散思维能力。教师巧妙设置问题情境，促使学生沿着各种不同的方向去思考，重组眼前的信息和记忆系统的信息，产生新的信息，获取新的知识。如九年级下册第44页例题2“溶液的稀释计算”，教师可设置发散问题：（1）设稀释后溶液的质量为X，怎么解？（2）设需要加水的质量为X，怎么解？（3）直接利用溶质质量分数公式变形计算，不需设未知数，怎么解？

2.2.2 年龄;老人和儿童对药品反应与成年人不同,因为老年人和儿童对药品的代谢和排泄慢,容易出现不良反应;婴幼儿的身体没有成熟,对有些药品比较敏感也易发生不良反应。

注：实线为解析结果，菱形为数值结果；ω =1，ε =0.1，β =0.5，δ =0.5，α =0.8，τ =0.1，h =0.5，γ =0.01。

图 3系统 (29)频率响应曲线图

注：ω =1，ε =0.1，β =0.5，δ =0.5，h =0.5，γ =0.01；(a)α =1，τ =0；(b)α =1，τ =1.3；(c)α =0.2，τ =0；(d)α =0.5，τ =0.5。

图 4系统 (29)考虑时滞与时间记忆性质变化的频率响应曲线图

注：ω =1，ε =0.1，β =0.5，δ =0.5，α =0.5，τ =0.5，h =0.5，Ω=1.1；(a)γ =0.075；(b)γ =0.2；(c)γ =0.45。

图 5系统 (29)稳态概率密度函数图

五、结 论

本文建立了窄带噪声激励下的分数阶时滞经济周期波动模型。利用多尺度方法得到了一般宏观经济波动模型的解析解，同时得到了非平凡解的一阶和二阶稳态矩。通过对具有非线性投资函数和非线性消费函数的宏观经济波动模型进行分析，可以得到分数阶导数阶数与宏观经济调控中时滞现象对于宏观经济波动的影响。当经济系统含有非线性投资函数时，经济系统的记忆性质和时间滞后现象都可以改变系统稳态解的个数，而且可以消除频率岛现象，这意味着经济系统的波动性质也发生改变；当经济系统含有非线性的消费函数时，宏观经济调控中的时滞现象以及宏观经济调控中存在的时间记忆性都可以引发经济运行的状态突变。外部的随机扰动减小了经济系统的稳定性，增加了系统的波动性，而且在含有非线性消费函数的经济系统中，随机扰动可以引发系统的稳态概率密度函数发生分岔现象。

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Analysis of the Nonlinear Business Cycle Model with Memory Property and Time Delay

LIN Zi-fei^1，2，XU Wei²

(1.School of Statistics，Xi'an University of Finance & Economics，Xi'an 710100，China；)(2.Department of Applied Mathematics，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China)

Abstract ：In this paper，multi-scales method is applied to obtain the primary resonance response of the business cycle model with fractional delay under the narrowband random excitation.The steady-state responses in deterministic and stochastic cases are studied.The validity of the method is verified by the simulation solutions.By analyzing two examples，the effect of the fractional derivative on the amplitude of the system and the stationary probability function is investigated.When the consumption function is nonlinear function，the change of the fractional derivative and time delay can both induce the stochastic jump.Also，the intensity of the random excitation can induce the P-bifurcation of the stationary probability function.

Key words ：nonlinear business cycle model； memory property； time delay； stochastic multiple-scale

中图分类号 ：F224.1∶O211.5

文献标志码： A

文章编号： 1007-3116(2019)02-0042-07

收稿日期 ：2018-07-12；

修复日期 ：2018-08-17

基金项目 ：国家自然科学基金项目《经济-环境系统的分数阶随机动力学建模与分析》(11572231)

作者简介 ：

林子飞，男，山东济南人，理学博士，研究方向：数理统计与非线性动力系统；

徐 伟(通讯作者)，男，陕西西安人，理学博士，教授，博士生导师，研究方向：数理统计与非线性动力系统。

(责任编辑 ：崔国平 )

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