非整数年龄假设中的二次多项式死亡力研究，本文主要内容关键词为：多项式论文,整数论文,年龄论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
0 引言
在寿险精算中，对非整数年龄生存函数的形式进行假设是一个基本的问题，精算人员通过分析经验生命表提供的死亡率数据来进行寿险和年金产品的定价，并进行准备金的评估。由于生命表只提供了整数年龄点上的生存函数值和死亡率值，当缴费频率或支付频率高于一年时，就需要对生存函数的形式进行非整数年龄假设。
插值理论应用于分析人口统计数据由来已久，寿险精算中传统使用的三种非整数年龄假设就是对生存函数的不同形式进行了线性插值[1]：死亡均匀分布假设(UDD)对整数年龄处的生存函数进行线性插值；常数死亡力假设(CFN)对整数年龄处生存函数的对数进行线性插值；Balducci假设对整数年龄处生存函数的倒数进行线性插值。
样条插值方法在生存函数的研究中也有一定的历史。McNeil等[2]最早将样条插值理论应用于分析人口统计数据，他们通过分析意大利女性生育率数据得到了人口数据的三阶样条插值解，但使用的数据太少，而且未能将研究的年龄区间扩展到整个年龄段。McCutcheon[3]给出了“最适样条”的定义，并通过观察英国男性生命表的样条曲线来比较插值所产生的死亡率函数，而并没有提出定量的最优标准进行比较。Hsieh[4]使用Hermite插值方法得到了生存函数的多项式形式，并由按五年分组的加拿大男性生命表求得了年度连续的生命表。Hsieh在同一年的文章[5]中使用“平均绝对误差”标准，对使用Hermite插值方法得到的生命表与前人的结果进行精确度比较，认为Hermite插值方法更精确。在这些与样条插值方法有关的研究中，学者都是对生存函数和生育率、死亡率等不依赖非整数年龄假设的函数进行插值研究，而对于死亡力函数和密度函数这种依赖于非整数年龄假设的函数，只有关于参数模型的拟合研究。
近年来，学者们针对整数年龄上死亡力函数的不连续性，从非整数年龄假设的角度对生存函数和死亡力函数的插值形式进行了一些研究。S.A.Hossain[6]指出了传统的非整数年龄假设下死亡力函数在整数年龄处的不连续，并提出了一种生存函数的插值方法，这种模型在每个整数年龄区间上密度函数为线性，且死亡力函数在所有年龄上连续。Jones和Mereu[7]提出了一种叫做“power family”的非整数年龄假设，将三种传统假设统一为一种形式，在这种假设下，整数年龄间生存函数的
次幂为线性。作者进而假设死亡力函数在所有年龄上连续，并利用一个衡量曲线光滑度的最优化标准得到了相对光滑的死亡力函数曲线。Jones和Mereu[8]进一步讨论了二次生存函数假设和线性死亡力假设，并将他们与power family假设一起统称为单参数族(one-parameter families)假设。然而，在这三种假设下，死亡力函数和密度函数在整数年龄处都有拐折，即一阶导数不连续。作为两个源自于人口统计的函数，从直观看来，这种不连续至少是需要改进的。
我国学者吴贤毅和王静龙[9]比较了三种传统假设对生存函数和期望寿命的影响，并尝试对死亡力函数进行线性插值以得到光滑的生存函数，但只是进行了理论推导，而并没有给出死亡力的具体计算方法。
针对这些问题，本文第一部分推导二次多项式死亡力假设下死亡力函数和密度函数的计算方法；第二部分使用Makeham假设生成的生命表和中国人寿保险业经验生命表，利用Jones和Mereu[8]给出的一个最优标准，基于生命表对各种假设进行比较；第三部分给出本文的结论。
1 二次多项式死亡力假设的相关推导
在这一部分，本文讨论一种非整数年龄假设，这种假设在相邻的整数年龄之间具有二次多项式形式的死亡力函数μ(x)。另外，我们希望μ(x)连续，并且具有连续的一阶导数。
首先给出了一些标准精算符号的定义：
F(x)—新生婴儿死亡年龄随机变量X的分布函数。
f(x)—新生婴儿死亡年龄随机变量X的概率密度函数，f(x)=F'(x)。
S(x)—新生婴儿能活到x岁的概率，S(x)=1-F(x)。
图1 死亡均匀分布假设下的密度函数f(x)
其概率密度分布图如图2所示。
图2 常数死亡力假设下的密度函数f(x)
(iii)Balducci假其概率密度分布图如图3所示。
其概率密度分布图如图3所示。
图3 Balducci假设下的密度函数f(x)
(2)单参数族
假设下的密度函数
(i)power family假设
由Jones和Mereu[7]，容易得到：
图如图5所示。
图4 power family假设下的密度函数f(x)
图5 QSF假设下的密度函数f(x)
(iii)线性死亡力假设(Linear Force of Mortality,LFM)
由Jones和Mereu[8]，容易得到：
图6 LFM假设下的密度函数f(x)
(3)二次死亡力假设下的密度函数
图1、图2、图3分别由(11)式、(12)式、(13)式给出了死亡均匀分布假设、常数死亡力假设和Balducci假设下的密度函数f(x)。容易看出，三种传统假设下密度函数f(x)的曲线在整数年龄处有较大程度的跳跃，其中，死亡均匀分布假设下f(x)呈阶梯状，常数死亡力假设和Balducci假设下f(x)呈锯齿状，这种形状的曲线显然不是我们想要的。
图4、图5、图6分别由(14)式、(15)式、(16)式给出了power family、QSF和LFM三种单参数非整数年龄假设下的密度函数f(x)。显然，从整体上看f(x)曲线的形状比传统的三种假设在连续性上已经有了很大的改进，但局部仍然存在着较大的木光滑，即一阶导数不连续。可见，单参数族假设也有一定的局限性，仍然有改进的余地。
图7 二次死亡力假设下的密度函数f(x)
图7由(8)式和(17)式给出了二次死亡力假设下的密度函数f(x)。可见，不管是从整体还是从局部看，f(x)曲线的形状都比传统假设和单参数族假设光滑的多。二次死亡力假设既消除了传统假设下的跳跃，也消除了单参数假设下的一阶导数不连续，得到了连续且一阶导数连续的密度函数曲线。
在得到了各种假设下密度函数f(x)的表达式后，就可以通过数值方法求得L值（见表1）。
表1 使用Makeham生命表计算的各种假设下的L指标
由表1可见：由于L指标在计算中对密度函数曲线中的跳跃进行了较大的惩罚，三种传统假设得到的L值都相对较大；三种单参数假设因为满足了密度函数的连续性，L值误差的数量级在
，比传统假设有了很大的改进，但由于一阶导数存在较明显的拐折，仍然有进一步改进的余地；二次死亡力假设使得密度函数既满足了连续性，又有连续的一阶导数，L值误差的数量级缩小至
，是单参数假设误差的
，是很大程度的改进。在与f(x)的真实曲线比较时，二次死亡力假设下的曲线与真实曲线几乎完全吻合，这说明二次死亡力假设可以用来精确地描述真实的生存模型。
为了检验二次死亡力假设在实际应用中的效果，表2给出了使用中国人寿保险业经验生命表非养老金业务男性表CL1(2000-2003)计算的各种假设下的L指标。在使用二次死亡力假设进行计算时，由于无法获得边界条件
的初始值，这里使用最小化L指标的方法给出。
表2 使用中国人寿保险业经验生命表CL1(2000-2003)计算的各种假设下的L指标
由表2容易看出，二次死亡力假设得到了最小的L指标，意味着二次死亡力假设下f(x)的曲线是各种假设中最光滑的。这说明，二次死亡力假设同样可以用于精确地描述我国的生存模型。
3 结论
在传统的非整数年龄假设和近期提出的单参数族假设下，死亡力函数和密度函数的曲线存在着跳跃和一阶导数不连续。本文从理论方面给出了二次死亡力假设下死亡力函数和密度函数的计算方法，可求得一阶导数连续的死亡力函数和密度函数，并得到了具有良好性状的函数曲线，从而为更精确地进行人口统计和保费、年金的计算提供了理论基础。
通过比较分析各种非整数年龄假设下密度函数的L值，可以表明本文提出的二次死亡力假设比传统的三种非整数年龄假设和单参数族假设有了较大的改进。在现在的计算机技术支持下，基于二次死亡力假设的各种生命表函数都可以方便地计算，而且二次死亡力假设能够更精确地描述生存模型，为保险公司、养老金机构和人口统计机构等提供了可靠的理论依据。
最后，我们就更为一般的情况进行必要的说明：首先，我们可以进一步地考虑具有更高次死亡力的非整数年龄假设，但实验结果显示三次死亡力假设对二次死亡力假设的改进很小；其次，关于最优标准的选取，使用Makeham假设生成的生命表比较各种非整数年龄假设时，也可以使用均方误差最小化作为最优标准来确定单参数族假设的参数，但在使用真实生命表比较各种假设时，由于没有密度函数的真值可以参照，我们建议仍然使用L指标作为最优标准；最后，由于生命表编制过程中本身具有一定的主观性和风险附加，而二次死亡力假设对单参数族假设改进的绝对量并不大，二次死亡力假设在实务中的应用还有待于进一步的探讨。
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